2019年高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4

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3.2

简单的三角恒等变换

学习目标: 1.能用二倍角公式导出半角公式, 体会其中的三角恒等变换的基本思想方法, 以及进行简单的应用.(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的 基本思想方法, 能利用三角恒等变换对三角函数式化简、 求值以及三角恒等式的证明和一些 简单的应用.(难点、易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 半角公式 α (1)sin =± 2 α (2)cos =± 2 α (3)tan =± 2 1-cos α , 2 1+cos α , 2 1-cos α , 1+cos α

α α α sin sin ·2cos 2 2 2 α sin α (4)tan = = = , 2 α α α 1+cos α cos cos ·2cos 2 2 2 α α α sin sin ·2sin 2 2 2 1-cos α α tan = = = . 2 α α α sin α cos cos ·2sin 2 2 2 [基础自测] 1.思考辨析 (1)cos α = 2 1+cos α .( 2 ) ) ) )

(2)存在 α ∈R,使得 cos (3)对于任意 α ∈R,sin

α 1 = cos α .( 2 2

α 1 = sin α 都不成立.( 2 2 α = 2 1-cos α .( 1+cos α

(4)若 α 是第一象限角,则 tan [解析] (1)×.只有当- α = 2

π α π +2kπ ≤ ≤ +2kπ (k∈Z),即-π +4kπ ≤α ≤π + 2 2 2

4kπ (k∈Z)时,cos

1+cos α . 2

(2)√.当 cos α =- 3+1 时,上式成立,但一般情况下不成立. (3)×.当 α =2kπ (k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不成立.

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α α (4)√.若 α 是第一象限角, 则 是第一、 三象限角, 此时 tan = 2 2 [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ α 2.已知 180°<α <360°,则 cos 的值等于( 2 A.- C.- C 1-cos α 2 1+cos α 2 B. D. )

1-cos α 成立. 1+cos α

1-cos α 2 1+cos α 2

α [∵180°<α <360°,∴90°< <180°, 2
2

又 cos

α 1+cos α = ,∴cos α =- 2 2

1+cos α .] 2

3 θ 3.已知 2π <θ <4π ,且 sin θ =- ,cos θ <0,则 tan 的值等于________. 5 2

-3

3 4 [由 sin θ =- ,cos θ <0 得 cos θ =- , 5 5

θ θ θ sin 2sin cos 2 2 2 θ sin θ ∴tan = = = 2 θ θ 1 + cos θ 2 cos 2cos 2 2 3 - 5



=-3.] ? 4? 1+?- ? ? 5? [合 作 探 究·攻 重 难] 化简求值问题 θ θ (1)设 5π <θ <6π ,cos =a,则 sin 等于( 2 4 )

A.

1+a 2 1+a 2

B.

1-a 2 1-a 2

C.-

D.-

3π (2)已知 π <α < ,化简: 2 1+sin α 1+cos α - 1-cos α + 1-sin α 1+cos α + 1-cos α . 【导学号:84352339】
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θ 1-cos 2 θ 2θ [思路探究] (1)先确定 的范围,再由 sin = 得算式求值. 4 4 2 (2)1+cos θ =2cos (1)D
2

α α 2α ,1-cos α =2sin ,去根号,确定 的范围,化简. 2 2 2

θ ?5π ? θ ?5π ,3π ?. [(1)∵5π <θ <6π ,∴ ∈? ,3π ?, ∈? ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 ? 4

θ 又 cos =a, 2 θ 1-cos 2 =- 2

θ ∴sin =- 4

1-a . 2

?sinα +cosα ?2 ?sinα -cosα ?2 ? ? ? ? 2 2 2 2? ? ? ? (2)原式= + . α ? α ? α ? α ? ? ? ? ? 2?cos ?- 2?sin ? 2?cos ?+ 2?sin ? 2? 2? 2? 2? ? ? ? ?
3π π α 3π α α ∵π <α < ,∴ < < ,∴cos <0,sin >0, 2 2 2 4 2 2

?sinα +cosα ?2 ? ? 2 2? ? ∴原式= + α α ? ? - 2?sin +cos ? 2 2? ?

?sinα -cosα ?2 ? ? 2 2? ? α ? ? α 2?sin -cos ? 2 2? ?

α α α α sin +cos sin -cos 2 2 2 2 α =- + =- 2cos .] 2 2 2 [规律方法] 1.化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之 间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、 开方等. 2.利用半角公式求值的思路 (1)看角:看已知角与待求角的 2 倍关系. (2)明范围:求出相应半角的范围为定符号作准备. α sin α 1-cos α (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 tan = = ,涉及半 2 1+cos α sin α 角公式的正、余弦值时,常利用 sin (4)下结论:结合(2)求值.
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2

α 1-cos α 1+cos α 2α = ,cos = 计算. 2 2 2 2

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α 提醒:已知 cos α 的值可求 的正弦、余弦、正切值,要注意确定其符号. 2 [跟踪训练] 3 θ 1.已知 cos θ =- ,且 180°<θ <270°,求 tan . 5 2 θ θ θ [解] 法一:∵180°<θ <270°,∴90°< <135°,即 是第二象限角,∴tan <0, 2 2 2

∴tan

θ =- 2

1-cos θ =- 1+cos θ

? 3? 1-?- ? ? 5? =-2. ? 3? 1+?- ? ? 5?

法二:∵180°<θ <270°,即 θ 是第三象限角, ∴sin θ =- 1-cos θ =-
2

9 4 1- =- , 25 5

? 3? 1-?- ? θ 1-cos θ ? 5? ∴tan = = =-2. 2 sin θ 4 - 5

三角恒等式的证明 求证: 1 = sin 2α . 1 α 4 -tan α 2 tan 2 cos α
2

[思路探究] 法一:切化弦用二倍角公式由左到右证明; 法二:cos α 不变,直接用二倍角正切公式变形. [证明] 法一:用正弦、余弦公式. cos α 左边= α α cos sin 2 2 - α α sin cos 2 2
2 2

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α α 2 cos α sin cos 2 2 cos α = = α α α α 2 2 2 2 cos -sin cos -sin 2 2 2 2 α α sin cos 2 2
2

α α 2 cos α sin cos 2 2 α α = =sin cos cos α cos α 2 2 1 1 = sin α cos α = sin 2α =右边, 2 4 ∴原式成立. 法二:用正切公式. α α 2 cos α tan 2tan 2 1 2 1 1 1 2 2 左边= = cos α · = cos α ·tan α = cos α sin α = sin 2α α 2 α 2 2 4 2 2 1-tan 1-tan 2 2 =右边, ∴原式成立. [规律方法] 三角恒等式证明的常用方法 执因索果法:证明的形式一般化繁为简; 左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子; 拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异, 简言之,即化异求同; 比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”; 分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或 明显的事实为止,就可以断定原等式成立. [跟踪训练] 2.求证: 2sin xcos x x+cos x- x-cos x+ = 1+cos x . sin x 【导学号:84352340】 [证明] 左边= 2sin xcos x

?2sinxcosx-2sin2x??2sinxcosx+2sin2x? ? ? 2 2 2? 2 2 2? ? ?? ?
= sin x = 2x 4sin ?cos -sin ? 2sin 2 2? 2 2?
2x? 2x 2x?

2sin xcos x

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cos =

x x
2 =

2cos

2

x
2

sin 2

2sin cos 2 2

x

x



1+cos x =右边. sin x

所以原等式成立.

三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 π? ? 已知函数 f(x)= 3cos?2x- ?-2sin xcos x. 3? ? (1)求 f(x)的最小正周期. 1 ? π π? (2)求证:当 x∈?- , ?时,f(x)≥- . 【导学号:84352341】 2 ? 4 4? [思路探究] 化为f x =A ω x+φ 2π +b → 由T= 求周期 → |ω |

? π π? 分析f x 在?- , ?上的 ? 4 4? → 求最小值证明不等式 单调性
π? 3 3 1 ? [解](1)f(x)= 3cos?2x- ?-2sin xcos x= cos 2x+ sin 2x-sin 2x= sin 2x 3 2 2 2 ? ? + π? 3 ? cos 2x=sin?2x+ ?, 3? 2 ? 2π 所以 T= =π . 2 π π π (2)证明:令 t=2x+ ,因为- ≤x≤ , 3 4 4 π π 5π 所以- ≤2x+ ≤ , 6 3 6

? π π? ? π 5π ? 因为 y=sin t 在?- , ?上单调递增,在? , ?上单调递减, 6 ? ? 6 2? ?2
1 ? π? 所以 f(x)≥sin?- ?=- ,得证. 2 ? 6? [规律方法] 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略: 运用三角函数 的和、差、倍角公式将函数关系式化成 y=asin ω x+bcos ω x+k 的形式,借助辅助角公 式化为 y=A ω x+φ +k 或 y=A ω x+φ +k 的形式,将 ω x+φ 看作一

个整体研究函数的性质. [跟踪训练] π? π? ? 2? 3.已知函数 f(x)= 3sin?2x- ?+2sin ?x- ?(x∈R). 6? ? ? 12?
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(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. π? π? ? 2? [解] (1)∵f(x)= 3sin?2x- ?+2sin ?x- ? 6? ? ? 12?

? ? π ?? ? ? π ?? = 3sin?2?x- ??+1-cos?2?x- ?? ? ? 12?? ? ? 12??
=2?
? ? 3

? ? π ?? sin?2?x- ?? 2 ? ? 12?? ? ?

1 ? ? π ??? - cos?2?x- ???+1 2 ? ? 12???

? ? π? π? =2sin?2?x- ?- ?+1 ? ? 12? 6 ?
π? 2π ? =2sin?2x- ?+1,∴T= =π . 3? 2 ? (2)当 f(x)取得最大值时, π? ? sin?2x- ?=1, 3? ? π π 5π 有 2x- =2kπ + ,即 x=kπ + (k∈Z), 3 2 12
? ? ? 5π ∴所求 x 的集合为?x?x=kπ + ,k∈Z 12 ? ? ? ? ? ?. ? ?

三角函数在实际问题中的应用 [探究问题] 1.用三角函数解决实际问题时,通常选什么作为自变量?求定义域时应注意什么? 提示:通常选角作为自变量,求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影 响. 2.建立三角函数模型后,通常要将函数解析式化为何种形式? 提示:化成 y=Asin(ω x+φ )+b 的形式. 如图 3?2?1 所示,要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形,应怎样截取,才能 使△OAB 的周长最大? 【导学号:84352342】

图 3?2?1 [思路探究] 设∠AOB=α → 建立周长l α → 求l的最大值

[解] 设∠AOB=α ,△OAB 的周长为 l,则 AB=Rsin α ,OB=Rcos α , ∴l=OA+AB+OB
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=R+Rsin α +Rcos α =R(sin α +cos α )+R π? ? = 2Rsin?α + ?+R. 4? ? π π π 3π ∵0<α < ,∴ <α + < , 2 4 4 4 π π ∴l 的最大值为 2R+R=( 2+1)R,此时,α + = ,即 α 4 2 π = , 4 π 即当 α = 时,△OAB 的周长最大. 4

母题探究:1.在例 4 条件下,求长方形面积的最大值.

? ? π ?? [解] 如图所示,设∠AOB=α ?α ∈?0, ??,则 AB=Rsin 2 ?? ? ?
α ,OA=Rcos α . 设矩形 ABCD 的面积为 S,则 S=2OA·AB, ∴S=2Rcos α ·Rsin α =R ·2sin α cos α =R sin 2α .
2 2

? π? ∵α ∈?0, ?,∴2α ∈(0,π ). 2? ?
π 因此,当 2α = , 2 π 2 即 α = 时,Smax=R . 4 这时点 A,D 到点 O 的距离为
2

2 R, 2

矩形 ABCD 的面积最大值为 R . π 2.若例 4 中的木料改为圆心角为 的扇形,并将此木料截成矩形,(如图 3?2?2 所示), 3 试求此矩形面积的最大值.

图 3?2?2 [解] 如图,作∠POQ 的平分线分别交 EF,GH 于点 M,N,连接 OE,
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? π? 设∠MOE=α ,α ∈?0, ?,在 6? ?
Rt△MOE 中,ME=Rsin α ,OM=Rcos α ,

NH π 在 Rt△ONH 中, =tan , ON 6
得 ON= 3NH= 3Rsin α , 则 MN=OM-ON=R(cos α - 3sin α ), 设矩形 EFGH 的面积为 S, 则 S=2ME·MN=2R sin α (cos α - 3sin α ) π? ? 2 2 2 =R (sin 2α + 3cos 2α - 3)=2R sin?2α + ?- 3R , 3? ? π π 2π ? π? 由 α ∈?0, ?,则 <2α + < , 6? 3 3 3 ? π π 所以当 2α + = , 3 2 π 2 即 α = 时,Smax=(2- 3)R . 12 [规律方法] 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 方法:解答此类问题,关键是合理引入辅助角,确定各量之间的关系,将实际问 题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关知识求解. 注意:在求解过程中,要注意三点:①充分借助平面几何性质,寻找数量关系 . ②注意实际问题中变量的范围.③重视三角函数有界性的影响. 提醒:在利用三角变换解决实际问题时,常因忽视角的范围而致误. [当 堂 达 标·固 双 基] 3 α ?3π ? 1.已知 cos α = ,α ∈? ,2π ?,则 sin 等于( 5 2 ? 2 ? ) 【导学号:84352343】 A. 5 5 B.- 5 5
2

4 C. 5 A

2 5 D. 5 1-cos α 5 = .] 2 5 )

α ?3π α α ,π ? [由题知 ∈? ,∴sin >0,sin = ? 2 ? 4 2 2 ?

2. (2018·全国卷Ⅱ)若 f(x)=cos x-sin x 在[0, a]是减函数, 则 a 的最大值是( π A. 4 π B. 2

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3π C. 4 C

D.π

π π π π [f(x)=cos x-sin x= 2cosx+ .当 x∈[0,a]时,x+ ∈ ,a+ ,所以结 4 4 4 4

π 3π 3π 合题意可知,a+ ≤π ,即 a≤ ,故所求 a 的最大值是 .故选 C.] 4 4 4 3.函数 f(x)=sin x 的最小正周期为________. π 1-cos 2x 2 [因为 f(x)=sin x= , 2 2π =π .] 2
2

所以 f(x)的最小正周期 T=

1 3 3 2 4.设 a= sin 2°+ cos 2°,b=1-2sin 13°,c= ,则 a,b,c 的大小关系 2 2 2 是________.

c<a<b [a=cos 60°sin 2°+sin 60°cos 2°=sin 62°, b=1-2sin213°=cos 26°=sin 64°, c=
3 ? π? =sin 60°,又 y=sin x 在?0, ?上为增函数, 2? 2 ?

∴c<a<b.] 5. 北京召开的国际数学家大会, 会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的. 弦 图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图 3?2?3 所示). 如果小正 方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ ,求 cos 2θ .

图 3?2?3

? π? [解] 由题意,5cos θ -5sin θ =1,θ ∈?0, ?, 4? ?
1 所以 cos θ -sin θ = . 5 由(cos θ +sin θ ) +(cos θ -sin θ ) =2, 7 所以 cos θ +sin θ = , 5 7 所以 cos 2θ =cos2θ -sin2θ =(cos θ +sin θ )(cos θ -sin θ )=25.
2 2

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