河北省抚宁县第六中学高三数学专题复习7.2概率、随机变量及其分布列教案(第2课时)

课 题 概率、随机变量及其分布列 专题七 知识模块 概率与统计 课 时 共 3 课时 课 型 本节第 2 课时 复习 选用教材 教学目标 重 难 关 点 点 键 熟练掌握概率、随机变量及其分布列 熟练掌握概率、随机变量及其分布列 熟练掌握概率、随机变量及其分布列 熟练掌握概率、随机变量及其分布列 教学方法 及课前准备 多媒体辅助教学 学生自主探究 讲练结合 多媒 体辅 助教 学内 容 教 学 流 程 考向三 独立重复试验与二项分布的考查 以实际生活或生产为背景来考查独立重复试验与二项分布是高考的重点与热点,难点是透过问 题的实际背景发现 n 次独立重复试验模型及二项分布问题,准确把握独立重复试验的特点是解 答二项分布问题的关键. 【例 3】 (2013·山东高考)甲、乙两支排球队进 行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比 1 2 赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比 2 3 赛结果相互独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则胜利方 得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望. 2 [思路点拨] (1)甲队 3∶0 获胜,相当于成功概率为 的三次独立重复试验三次成功;3∶1 获胜, 3 则前三局甲队胜两局且第四局甲队获胜; 3∶2 获胜, 则前四局甲队胜两局且第五局甲队获胜. (2) 乙队得分 X=0, 1,根据(1)的结果和对立事件概率之间的关系求出其概率分布 ,根据数学期望 的公式计算其数学期望. 解 (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜 利”为事件 A3, 1 由题意知,各 局比赛结果相互独立, ?2?3 8 故 P(A1)=? ? = , ?3? 27 2 P(A2)=C2 , 3? ? ?1- ?× = 3 3 ?2? ? ? ?? ?2? ? ? ?? 2? ? ? 2 8 3 27 2 2 P(A3)=C2 . 4? ? ?1- ? × = 3 3 2? 1 4 2 27 8 4 所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 ,以 3∶2 胜利的概率为 . 27 27 (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 2?2?2?2 ? 1? 4 2? 所以 P(A4)=C4?1- ? ? ? ×?1- ?= . ? 3? ?3? ? 2? 27 由题意知,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= , 4 又 P(X=1)=P(A3)= , 27 16 27 P(X=2)=P(A4)= , P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= , ∴X 的分布列为 3 27 4 27 X P 0 16 27 1 4 27 2 4 27 3 1 9 16 4 4 1 7 ∴E(X)=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 9 9 [探究提升] 1.(1)本题最易出现的错误是不能理解问题的实际意义,弄错事件之间的关系.(2) 求解的关键是理解“五局三胜制”的含义,从而理清事件之间的关系. (2)解决概率分布问题,应先明确是哪种类 型的概率分布,然后再代入公式计算,若随机变量 X 服从二项分布,可直接代入二项分布的期 望公式. 【变式训练 3】 (2013·福建高考)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方 2 2 案,方案甲的中奖率为 ,中奖可以 获得 2 分;方案乙的中奖率为 ,中奖可以获得 3 分;未中 3 5 奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑 2 换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累 计得分的数学期望较大? 解 2 2 (1)由已知得,小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率 为 ,且两人中奖与否互不影响. 3 5 记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A,则事件 A 的对立事件为“X=5”, 2 2 4 因为 P(X=5)= × = , 3 5 15 11 所以 P(A)=1-P(X=5)= , 15 11 即这 2 人的累计得分 X≤3 的概率为 . 15 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖 次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2,则这两人 选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). ? 2? ? 2? 由已知可得,X1~B?2, ?,X2~B?2, ?, ? 3? ? 5? 2 4 2 4 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2× = , 3 3 5 5 8 12 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= , 3 5 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择 方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 考向四 离散型随机变量的概率分布与均值、 方差 以考生比较熟悉的实际问题为背景,综合考查排列组合、互斥事件、独立事件及独立重复事件 的概率等基础知识,求期望与方差的关键是正确列出随机变量的分布列,考查对随机变量的识 别及概率计算的能力. 【例 4】 (2013·辽宁高考)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道 题解答. (1)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; 3 (2)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张

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