2016届《创新设计》数学一轮(文科)北师大版配套精品课件 第四章 第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数_图文

第3讲

两角和与差及二倍角的三角函数

? 夯基释疑 考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结 例1 例2 例3 训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、 余弦公式中的角 α, β 是任意的. ( ) (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立( ) tan α+tan β (3)公式 tan(α+β)= 可以变形为 tan α+tan β 1-tan αtan β =tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成立.( (4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α.( ) )

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
(1)已知 α∈(0,π),化简: α α (1+sin α+cos α)· (cos -sin ) 2 2 =________. 2+2cos α 例1 (2)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =______.



(1)原式=

? α α ?2cos2 +2sin cos 2 2 ?

α cos cos α α π 2 因为 0<α<π,所以 0< < , = ? 2 2 α? . ?cos ? 2? ? α 所以 cos >0,所以原式=cos α. 2
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α? α? 2α α? ? α α? 2 ?· ?cos -sin ? cos ?cos 2-sin 2? 2? ? 2? ? 2 2? = ? α? α 2 ?cos ? 4cos 2? ? 2

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
(1)已知 α∈(0,π),化简: α α (1+sin α+cos α)· (cos -sin ) 2 2 =________. 2+2cos α 例1 (2)[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =______.
? cos 10° + 3sin 10° ? 解 50° +sin 10° · ?· 2sin 80° cos 10° ? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ? ? 2 2 =? ?· 2cos 10° 2sin 50° +2sin 10° · ? cos 10° ? =2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] ? (2)原式=? ?2sin ?

3 =2 2sin(50° +10° )=2 2× = 6. 2 答案 (1)cos α (2) 6
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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值

规律方法
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ①一看角之间的差别与联系, 把角进行合理的拆分, 正确使 用公式. ②二看函数名称之间的差异, 确定使用的公式, 常见的有“切 化弦”. ③三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要 通分”,“遇到根式一般要升幂”等. (2)对于给角求值问题, 一般给定的角是非特殊角, 这时要善 于将非特殊角转化为特殊角.另外此类问题也常通过代数变形 (比如:正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值.

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (1)4cos 50° -tan 40° =( ) 2+ 3 A. 2 B. C. 3 D.2 2-1 2
sin 40° 4cos 40° sin 40° -sin 40° 解析 (1)原式=4sin 40° - cos 40° = cos 40°

-40° )-sin 40° 2sin 80° -sin 40° 2sin(120° = = cos 40° cos 40°
3cos 40° +sin 40° -sin 40° = cos 40°

3cos 40° = = 3,故选 C. cos 40°

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 (2)法一

(从“角”入手,复角化单角) 1 2 2 2 2 原式=sin αsin β+cos αcos β- (2cos2α-1)(2cos2β-1) 2 1 2 2 2 2 =sin αsin β+cos αcos β- (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 1 2 2 2 2 2 2 =sin αsin β-cos αcos β+cos α+cos β- 2 1 2 2 2 2 2 =sin αsin β+cos αsin β+cos β- 2 1 1 1 2 2 =sin β+cos β- =1- = . 2 2 2

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 法二

(从“名”入手,异名化同名) 1 2 2 2 2 原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β- cos 2αcos 2β 2 1 2 2 2 2 =cos β-sin α(cos β-sin β)- cos 2αcos 2β 2 1 2 2 =cos β-cos 2β(sin α+ cos 2α) 2 1+cos 2β 1 1 = - cos 2β= . 2 2 2

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 法三

(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 原式= · + · - cos 2α· cos 2β 2 2 2 2 2 1 1 = (1+cos 2α· cos 2β-cos 2α-cos 2β)+ (1+cos 2α· cos 2β 4 4 1 +cos 2α+cos 2β)- cos 2α· cos 2β 2 1 1 1 = + = . 4 4 2

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考点突破 考点一 三角函数式的化简与给角求值
【训练 1】 (2)(2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 法四

(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
2

1 原式=(sin αsin β-cos αcos β) +2sin αsin β· cos αcos β- cos 2αcos 2β 2

1 1 =cos2(α+β)+ sin 2α· sin 2β- cos 2α· cos 2β 2 2 1 2 =cos (α+β)- cos(2α+2β) 2 1 1 2 2 =cos (α+β)- [2cos (α+β)-1]= . 2 2 1 答案 (1)C (2) 2
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考点突破

考点二

三角函数的给值求值、给值求角

? ?α ? β? π 1 2 ? ? ? 例 2 (1)已知 0<β< <α<π,且 cos α-2 =- ,sin 2 -β?= , 2 9 3 ? ? ? ? 求 cos(α+β)的值;

∴cos(α+β)=2cos

π π β π α π 解析 (1)∵0<β< <α<π,∴ <α- <π,- < -β< , 深度思考 2 4 2 4 2 2 运用两角和(差) ? ? β? β? 4 5 2 ∴sin?α- ?= 1-cos ?α- ?= , 的三角函数公 2? 2? 9 ? ? ?α ? ? ? 式,其关键在于 5 2α cos? -β?= 1-sin ? -β?= , 2 3 构造角的和(差), ? ? ?2 ? ?? ?? α+ β β? ?α 在构造的过程 ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? 2 ?? ? ? ?? 中,要尽量使其 ? ? ? ? β? ?α β? ?α 中的角为特殊角 =cos?α- ?cos? -β?+sin?α- ?sin? -β? 2? ?2 2? ?2 ? ? ? ? 或已知角,这样 ? 1? 5 4 5 2 7 5 =?- ?× + ×= , 的变角过程你掌 9 3 9 3 27 ? ? 49× 5 239 握了吗? 2α+ β
2 -1=2× 729 -1=- . 729
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考点突破

考点二

三角函数的给值求值、给值求角

1 1 例 2 (2)已知 α, β∈(0, π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7 1 1 解析 - tan(α-β)+tan β 2 7 1 (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= = = >0, 1 1 3 1-tan(α-β)tan β 1+ × π 2 7 又 α∈(0,π). ∴0<α< , 2 1 由已知条件尽力缩小α的范围 2× ,以便将要求的2α-β准确定 2tan α 3 3 又∵tan 2α= = >0, 位,从而不至于增解 2 = ? ? 12 4 1-tan α 1-? ? ?3 ? π ∴0<2α< , 2 3 1 + tan 2α-tan β 1 4 7 ∴tan(2α-β)= = =1. ∵tan β=-7<0, 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 π 3π ∴ <β<π,-π<2α-β<0,∴2α-β=- . 2 4
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考点突破

考点二

三角函数的给值求值、给值求角

规律方法
? α+ β ? β? ?α (1)解题中注意变角,如本题中 =?α-2?-?2-β?; 2 ? ? ? ? (2)通过求角的某种三角函数值来求角, 在选取函数时, 遵照 以下原则:①已知正切函数值,选正切函数;②已知正、余弦函 ? π? 数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2 ?,选正、余弦皆 ? ? ? π π? 可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2?, ? ? 选正弦较好.

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考点突破

考点二

三角函数的给值求值、给值求角

1 13 π 训练 2 已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2 (1)求 tan 2α 的值;(2)求 β.
解析
1 π 4 3 (1)∵cos α= ,0<α< , ∴sin α= , ∴tan α=4 3, 7 2 7
2tan α 2× 4 3 8 3 ∴tan 2α= =- . 2 = 47 1-tan α 1-48 π π 3 3 (2)∵0<β<α< ,∴0<α-β< , ∴sin(α-β)= , 2 2 14 1 13 4 3 3 3 1 ∴cos β=cos[α-(α-β)] = × + × = . 7 14 7 14 2 π ∴β= . 3
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考点突破
例3 (1)求 A

考点三

三角变换的简单应用
? 3 ? ?=2. ?

? ?5π π? ? ? ? (2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? 4? ? ? 12 ? ?3π ? π? 3 ? ? ? 的值;(2)若 f(θ)-f(-θ)= ,θ ∈?0, ?,求 f? -θ? ?. 2 2 4 ? ? ? ?

解析 ? ? 5π 3 2π 3 2π 3 ? ? (1)由 f 12 = ,得 Asin = ,又 sin = ,∴A= 3. 3 2 ? ? 2 3 2 ? 3 π? (2)由(1)得 f(x)= 3sin?x+4 ?, 由 f(θ)+f(-θ)=2, ? ? ? ? ? π? π? 3 π? 6 ?0, ?, 得 3sin?θ+4 ?+ 3sin?-θ+4 ?= , 化简得 cos θ = ,∵ θ ∈ 2? 4 ? ? ? ? 2 ?
? 6?2 10 ? ? ∴sin θ= 1-cos θ= 1- = , 4 ? 4 ? ?3π ? ?3π π? 故 f? 4 -θ?= 3sin? 4 -θ+4? = 3sin θ= 3× ? ? ? ?
2
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10 30 = . 4 4
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考点突破

考点三

三角变换的简单应用

规律方法
解三角函数问题的基本思想是“变换”, 通过适当的变换达到 由此及彼的目的,变换的基本方向有两个,一个是变换函数的名 称,一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同 角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;变换角的形式,可以使 用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.

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考点突破

考点三

三角变换的简单应用
? π? f(x)=sin?3x+4 ?. ? ?

训练 3 (2014· 四川卷)已知函数

(1) 求 f(x)的单调递增区间; ?α? 4 ? π? (2)若 α 是第二象限角,f?3 ?= cos?α+4?cos 2α,求 cos α-sin α 的值. ? ? 5 ? ?

解析 (1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为 ? π ? π π π π ?- +2kπ, +2kπ?,k∈Z, 由- +2kπ≤3x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 2 ? 2 ? π 2kπ π 2kπ 得- + ≤x≤ + ,k∈Z. 4 3 12 3 ? π 2kπ π 2kπ? ?,k∈Z. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 ?- + , + 4 3 12 3
? ?

? π? 4 ? π? (2)由已知,有 sin?α+4 ?= cos?α+4 ?(cos2α-sin2α), ? ? 5 ? ? π π? π π 4? cos αcos -sin αsin ?(cos2α-sin2α), 所以 sin αcos +cos αsin =5? 4 4? ? 4 4
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考点突破

考点三

三角变换的简单应用
? π? f(x)=sin?3x+4 ?. ? ?

训练 3 (2014· 四川卷)已知函数

(1) 求 f(x)的单调递增区间; ?α? 4 ? π? (2)若 α 是第二象限角,f?3 ?= cos?α+4?cos 2α,求 cos α-sin α 的值. ? ? 5 ? ?

3π 当 sin α+cos α=0 时,由 α 是第二象限角,知 α= +2kπ,k∈Z. 4 此时 cos α-sin α=- 2. 5 2 当 sin α+cos α≠0 时,有(cos α-sin α) = . 4 由 α 是第二象限角,知 cos α-sin α<0,
5 5 此时 cos α-sin α=- . 综上所述,cos α-sin α=- 2或- . 2 2
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4 即 sin α+cos α= (cos α-sin α)2(sin α+cos α). 5

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课堂小结

思想方法

1.三角函数求值的类型及方法 (1)给角求值:关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相 约或相消,从而化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值 ,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)给值求角:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求 角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求 得角,有时要压缩角的取值范围. 2.巧用公式变形 和差角公式变形:tan x± tan y=tan(x± y)· (1?tan x· tan y); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 倍角公式变形:降幂公式 cos α= ,sin α= ,配方变 2 2
形:1± sin
? α=?sin ?

α α?2 α ± cos ? ,1+cos α=2cos2 , 2 2? 2

α 1-cos α=2sin2 . 2
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课堂小结

易错防范

1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、 倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的 各种变通. 2 2.在(0,π)范围内,sin(α+β)= 所对应的角 α+β 不是唯一 2 的.
3.在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.

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(见教辅)

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