高中数学人教A版选修2-3练习:3.2独立性检验的基本思想及其初步应用(含答案)

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 [学习目标] 1.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用; 2.理解判断两个分类变量是否有关系的常用方法、独立性检验中 K2 的含义及其实施步骤. [知识链接] 1.举例说明什么是分类变量? 答 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量, 分类变量的取值一定是 离散的,而且不同的取值仅表示个体所属的类别,如性别变量,只取男、女两个值,商品的 等级变量只取一级、二级、三级等等. 2.什么是列联表?怎样从列联表判断两个分类变量有无关系? 答 一般地,假设两个分类变量 X 和 Y,它们的值域分别为{x1,x2}和{y1,y2},列出两个变 量的频数表,称为列联表(如下图) y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d |ad-bc|越小,说明两个分类变量 x,y 之间的关系越弱; |ad-bc|越大,说明两个分类变量 x,y 之间的关系越强. [预习导引] 1.分类变量和列联表 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这样的变量称为分类变量. (2)列联表 ①定义:列出的两个分类变量的频数表称为列联表. ②2×2 列联表 一般地,假设两个分类变量 X 和 Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联 表(也称为 2×2 列联表)为下表. y1 x1 x2 总计 2.等高条形图 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d (1)等高条形图与表格相比,更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响,常用等高条 形图展示列联表数据的频率特征. (2)观察等高条形图发现 3.独立性检验 (1)定义:利用随机变量 K2 来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. n(ad-bc)2 (2)K = ,其中 n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 2 a c 和 相差很大,就判断两个分类变量之间有关系. a+b c+d (3)独立性检验的具体做法 ①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界 α,然后查表 确定临界值 k0. ②利用公式计算随机变量 K2 的观测值 k. ③如果 k≥k0,就推断“X 与 Y 有关系”,这种推断犯错误的概率不超过 α,否则就认为在犯错 误的概率不超过 α 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”, 或者在样本数据中没有发现足够证据 支持结论“X 与 Y 有关系”. 要点一 有关“相关的检验” 例 1 某校对学生课外活动进行调查,结果整理成下表: 用你所学过的知识进行分析,能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下,认为“喜欢体育 还是文娱与性别有关系”? 体育 男生 女生 总计 21 6 27 文娱 23 29 52 总计 44 35 79 解 判断方法如下: 假设 H0“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系” ,若 H0 成立,则 K2 应该很小. ∵a=21,b=23,c=6,d=29,n=79, ∴K2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 79×(21× 29-23× 6)2 = ≈8.106. 44×35×27×52 且 P(K2≥7.879)≈0.005 即我们得到的 K2 的观测值 k≈8.106 超过 7.879,这就意味着:“喜欢体 育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于 0.005,即在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”. n(ad-bc)2 规律方法 (1)利用 K2= 求出 K2 的观测值 k 的值.再利 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 用临界值的大小来判断假设是否成立.(2)解题时应注意准确代数与计算,不可错用公式, 准确进行比较与判断. 跟踪演练 1 为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关,对某年级学生作调查得 到如下数据: 成绩优秀 兴趣浓厚的 兴趣不浓厚的 总计 64 22 86 成绩较差 30 73 103 总计 94 95 189 判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关? 解 由公式得 K2 的观测值 189×(64× 73-22× 30)2 k= ≈38.459. 86×103×95×94 ∵38.459>10.828,∴有 99.9%的把握说学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的. 要点二 有关“无关的检验” 例 2 为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关,某同学调查了 361 名高二在校 学生,调查结果如下:理科对外语有兴趣的有 138 人,无兴趣的有 98 人,文科对外语有兴 趣的有 73 人,无兴趣的有 52 人.分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关? 解 列出 2× 2 列联表 理 有兴趣 138 文 73 总计 211 无兴趣 总计 代入公式得 K2 的观测值 98 236 52 125 150 361 361×(138× 52-73× 98)2 - k= ≈1.871×10 4. 236×125×211×150 ∵1.871×10 4<2.706,∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关. - 规律方法 运用独立性检验的方法: (1)列出 2× 2 列联表,根据公式计算 K2 的观测值 k. (2)比较 k 与 k0 的大小作出结论. 跟踪演练 2 第 16 届亚运会于 2010 年 11 月 12 日至 27 日在中国广州进行,为了搞好接待 工作,组委会招募了 16 名男志愿者和 14 名女志愿者,调查发现,男、女志愿者中分别有 10 人和 6 人喜爱运动,其余人不喜爱运动. (1)根据以上数据完成以下 2× 2 列联表: 喜爱运动 男 女 总计 10 6 不喜爱运动 总计 16 14 30 (2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的

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