江西省九江市2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)

江西省九江市2016-2017学年高一（ 下）期末数学试卷

一、选择题（每小题5分） 1．（2015春?九江期末）已知cosα=﹣ ，且α∈（﹣π，0），则tanα=（　　

）

　 A．

﹣

B．

C． ﹣

D．

考点：同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：
由cosα的值及α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值 ，即可确定出tanα的值．

解答：

解：∵cosα=﹣ ＜0，且α∈（﹣π，0），

α的终边在第三象限

∴sinα=﹣

=﹣ ，

则tanα= ，
故选：B． 点评：
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的 关键．
-1-

　 2．（2015春?九江期末）若在区间[﹣1，2]中随机地取一个数k，则使函数在f（ x）=kx+1在R上为增函数的概率是（　　）

　 A．

B．

C．

D．

考点：几何概型． 专题：概率与统计． 分析：
由题意，本题是几何概型，只要求出k对应事件的长度为区间长度，求出使 函数在f（x）=kx+1在R上为增函数的k的范围，利用公式解答． 解答：
解：由题意，本题是几何概型，k满足的区间[﹣1，2]长度为3，而在此条 件下满足使函数在f（x）=kx+1在R上为增函数的x的范围是（0，2]，区间长度为 2， 由几何概型的概率公式得到在区间[﹣1，2]中随机地取一个数k，则使函数在f（
x）=kx+1在R上为增函数的概率是 ；

故选A．

点评：

本题考查了几何概型的概率求法；关键是明确概率模型，选择正确的事件

测度，利用长度、面积或者体积比求概率．

　

3．（2015春?九江期末）已知非零向量 =（a，0）， =（0，a）， =（1，2

），若A，B，C三点共线，则a=（　　）

　 A．

﹣1

B．

1 C． 3

D．0或3

-2-

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．

专题：平面向量及应用．

分析：利用三点共线，通过向量平行的坐标运算求出a的值．

解答：

解：向量 =（a，0）， =（0，a）， =（1，2）， =（﹣a，a），

=（﹣1，a﹣2）．

若A、B、C三点共线，所以﹣a=﹣a（a﹣2），解得a=0或a=3，非零向量 =（a，

0），所以a=3．

故选：C．

点评：本题考查三点共线，向量的坐标运算，考查计算能力．

　

4．（2015春?九江期末）已知向量 =（﹣3，a）， =（1﹣a，2），若A，B，C

三点共线，则a=（　　）

　 A．

3或﹣2

B．

2或﹣3 C．

D．

3

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．

专题：平面向量及应用．

分析：向量共线，即向量平行，即可得到a（1﹣a）=﹣3×2，解得即可．

解答：

解：若A，B，C三点共线，向量 =（﹣3，a）， =（1﹣a，2），

∴a（1﹣a）=﹣3×2，

即a2﹣a﹣6=0

解得a=3或a=﹣2，

故选：A．

点评：本题考查了向量的共线的条件，以及向量共线的坐标运算，属于基础题．

　

-3-

5．（2015春?九江期末）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利

用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数

字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（　　）

7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198

3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481

（　　）

　 A．

07 B．

04 C．

02 D． 01

考点：收集数据的方法．

专题：概率与统计．

分析：根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．

解答：

解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数

字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，04，其中第二个和第⑤个都

是02，重复．

可知对应的数值为．08，02，14，07，01，04

则第6个个体的编号为04．

故选：B．

点评：

本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键

，比较基础．

　

6．（2015春?九江期末）已知函数f（x）=（ x+ ）2为偶函数，则向量 ， 可以

是（　　）

　 A．

=（1，0）， =（﹣1，1） B．

=（﹣1，1）， =（2，﹣2）

　 C．

=（1，1）， =（2，﹣2） D．

=（1，﹣1）， =（0，﹣1）

-4-

考点：平面向量数量积的运算．

专题：平面向量及应用．

分析：由已知函数为偶函数得到向量 ， 的数量积为0，由此选择．

解答：

解：因为函数f（x）=（ x+ ）2=

为偶函数，所以

=0；

观察各选项可得C满足；

故选C．

点评：

本题考查了函数的奇偶性以及平面向量的数量积；关键是由已知函数为偶

函数得到两个向量的数量积为0．

　

7．（2015春?九江期末）已知sin（x+ ）= ，则sin（ π﹣x）的值为（　　）

　 A．

﹣

B．

C．

﹣

D．

考点：运用诱导公式化简求值． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：运用诱导公式即可化简求值．

解答：

解：∵sin（x+ ）= ，

∴sin（ π﹣x）=sin[π﹣（x+ ）]=sin（x+ ）= ．
故选：D． 点评：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．
-5-

　 8．（2015春?九江期末）已知sinβ= ，则cos（ +β）的值为（　　）

　 A．

﹣

B．

C．

D．

﹣

考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：运用诱导公式即可化简求值．

解答：

解：∵sinβ= ，

∴cos（ +β）=sinβ= ．
故选：C． 点评：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查． 　 9．（2015春?九江期末）如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在五次综合测评 中的成绩，期中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 （　　）

　 A．

B．

C．

D．

考点：茎叶图． -6-

专题：概率与统计．

分析：根据茎叶图计算甲乙的平均数，利用古典概率的概率公式即可得到结论．

解答：

解：由茎叶图知：

=

=90，

设被污损的数字为a， = （83+83+87+90+99+a）=88.4+ ，

∵甲的平均成绩不超过乙的平均成绩， ∴88.4+ ≥90，解得a≥8，∴a=8或a=9，

∴甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为 ，

故选：D． 点评：
本题主要考查古典概率的计算，利用茎叶图求出x的值是解决本题的关键． 　
10．（2015春?九江期末）在菱形ABCD中，| |=2，∠BAD= ，E为CD的中点，则

? =（　　）

　 A．

﹣3

B．

3 C．

D．0

考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用． 分析：建立坐标系得出A，B，C，D，E的坐标，运用向量的坐标运算即可．

-7-

解答： 解；建立坐标系如图，则A（0，0），B（2，0），C（3， ），D（1，
），E（2， ）， =（0， ） =3
故选：B

点评：

本题考察了菱形的几何性质，平面向量的坐标运算，属于容易题，关键是

确定准点的坐标．

　

11．（2015春?九江期末）已知锐角α终边经过点P（cos50°，1+sin50°）．则

锐角α等于（　　）

　 A．

10°

B．

20°

C．

70°

D．

80°

考点：三角函数值的符号． 专题：三角函数的求值． 分析：由题意得到tanα=

，化简求值即可．

解答：

解：∵tanα=

=tan70°，
∴α=70°， 故选：C

=

=

-8-

=

=

点评：

本题考查了三角形函数的化简和求值，关键掌握二倍角公式和诱导公式，

属于基础题．

　

12．（2015春?九江期末）已知锐角α终边经过点P（cos40°+1，sin40°）．则

锐角α等于（　　）

　 A．

20°

B．

40°

C．

60°

D．

80°

考点：二倍角的余弦；三角函数值的符号． 专题：计算题；三角函数的求值． 分析：利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．

解答：

解：∵tanα=

=

=tan20°，

∴α=20°． 故选：A． 点评：本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力，属于基础题． 　 13．（2015春?九江期末）如图所示，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道 题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=10时，x3=（　　）

　 A．

8 B．

考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图．

9 C．

10 D． 11

-9-

分析：

根据已知中x1=6，x2=9，p=10，根据已知中的框图，分类讨论条件|x3﹣x1|

＜|x3﹣x2|满足和不满足时x3的值，最后综合讨论结果，即可得答案．

解答：

解：当x1=6，x2=9时，|x1﹣x2|=3不满足|x1﹣x2|≤2，

故此时输入x3的值，并判断|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，

若满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p=

= =10，解得，x3=14，

这与|x3﹣x1|=8，|x3﹣x2|=5，8＞5与条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|矛盾，故舍去，

若不满足条件|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|，此时p=

= =10，解得，x3=11，

此时|x3﹣x1|=5，|x3﹣x2|=2，|x3﹣x1|＜|x3﹣x2|不成立，符合题意， 故选：D． 点评：
本题考查的知识点是选择结构，是选择结构在实际中的应用问题，分类讨 论是解答本题的关键．还同时考查了学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条 结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法 的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题．属于基础题． 　
14．（2015春?九江期末）函数y=sinax+ 与函数y=（a﹣1）x2+x在同一坐标系内

的图象不可能是（　　）

　 A．

B．

C．

D．

考点：函数的图象．

- 10 -

专题：函数的性质及应用． 分析：
分别令a=0，a=1，a＞1，a＜0．根据二次函数（或一次函数，常数函数） 和三角函数的图象和性质判断即可．

解答：

解：当a=1时，函数y=sinx+ 与函数y=x，图象B符合，

当a=0时，函数y= 与函数y=x2+x，图象C符合， 当a＞1时，y=（a﹣1）x2+x开口向上，对称轴x=﹣

＜0，y=sinax+ 的

图象在y=sinax的基础上向上平移 单位，图象A符合，

当a＜0时，y=（a﹣1）x2+x开口向下，对称轴x=﹣

＞0，y=sinax+ 的

图象在y=sin|a|x的基础上翻转180后，再向上平移 单位，图象D不符合，
故选：D． 点评：
本题考查了图象和识别，以及二次函数和三角函数的图象和性质，属于基 础题． 　 15．（2015春?九江期末）已知函数y=logb（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所 示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（　　）

- 11 -

　

A．

B．

C．

D．

考点：函数的图象．

专题：函数的性质及应用．

分析：

先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的

图得到答案．

解答：

解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，

y=logb（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0）， ∴a+1=2，

∴a=1

∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位

得到的，

由图象可知函数的最小正周期T= ＜2π，

故选：B 点评：本题考查了正弦函数的图象和对数函数的图象，属于基础题．
- 12 -

　

16．（2015春?九江期末）已知向量 ， ，| |= ， = ﹣ ， = + ，若△AO

B是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积为（　　）

　 A．

8 B．

4 C．

2 D． 1

考点：向量加减混合运算及其几何意义．

专题：计算题；平面向量及应用．

分析：

根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的数量积求出模长，即可

计算△ABC的面积．

解答：

解：根据题意，画出图形，如图所示，

∵ ⊥ ，| |=| |，

∴ ? =0，

即（ ﹣ ）（ + ）=0，

∴| |=| |= ，

由| |=| |得，

| ﹣ |=| + |，

∴ ? =0， ∴| ﹣ |=| + |=

=2；

∴S△AOB= ×2×2=2．

故选：C．

- 13 -

点评： 本题考查了平面向量数量积的应用问题，也考查了求三角形的面积问题，
是基础题目． 　 17．（2015春?九江期末）△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若 + =2 ， 且| |=| |，则△ABC的面积为（　　）

　 A．

B．

C．

2

D．

1

考点：正弦定理．

专题：解三角形；平面向量及应用．

分析：

由 + =2 ，利用向量加法的几何意义得出△ABC是以A为直角的直角三

角形，又| |=| |，从而可求|AC|，|AB|的值，利用三角形面积公式即可得解

．

解答：

解：由于 + =2 ，由向量加法的几何意义，O为边BC中点，

∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，

∴三角形应该是以BC边为斜边的直角三角形，

，斜边BC=2，

又∵| |=| |，

∴|AC|=1，|AB|=

=

∴S△ABC=

=

故选：B．

=， ．

- 14 -

点评： 本题主要考查了平面向量及应用，三角形面积的求法，属于基本知识的考
查． 　 二、填空题（共4小题，每小题5分） 18．（2015春?九江期末）从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样 的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，则该样本中产品的最 大编号为　47　．

考点：系统抽样方法．

专题：概率与统计．

分析：根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．

解答：

解：样本间隔为50÷5=10，设第一个号码为x，

∵编号为27的产品在样本中，则27=2×10+7，

则第一个号码为7，

则最大的编号7+4×1O=47，

故答案为：47．

点评：本题主要考查系统抽样的应用，求解样本间隔是解决本题的关键．

　

19．（2015春?九江期末）已知向量 =（1，2）， =（0，1）， =（3，﹣1），

若（ +λ ）⊥ ，则实数λ=　1　．

考点：平面向量数量积的运算． 专题：平面向量及应用．

- 15 -

分析：

由已知求出 +λ 的坐标，利用向量垂直的坐标关系得到关于λ的方程解之

．

解答：

解：由已知得 +λ =（λ，1+2λ），

又（ +λ ）⊥ ，

所以（ +λ ）? =0，即3λ﹣（1+2λ）=0，则实数λ=1；

故答案为：1．

点评：

本题考查了平面向量的坐标运算以及向量垂直，数量积为0的运用；属于基

础题．

　

20．（2015春?九江期末）某同学为了解秋冬季节用电量（y度）与气温（x℃）

的关系，由如表数据计算出回归直线方程为y=﹣2x+60，则表中a的值为　38　．

气温

18

13

10

﹣1

用电量（度） 24

34

a

64

考点：线性回归方程． 专题：概率与统计． 分析：
先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的 的值，写出线 性回归方程，把样本中心点代入求出a的值．

解答：

解： =10， =

，

∴这组数据的样本中心点是（10，

），

∵回归直线方程为y=﹣2x+60， 把样本中心点代入得a=38， 故答案为：38

- 16 -

点评： 本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键
． 　 21．（2014?海南模拟）“无字证明”（proofs without words），就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请 利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公 式：　sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ　．

考点：三角函数恒等式的证明．

专题：计算题．

分析：

左右图中大矩形的面积相等，左边的图中阴影部分的面积为

S1=sin（α+β），在右边的图中，阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，等于sinαcosβ+cosαsinβ．而面积 S2 还等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积，再由

2个图中空白部分的面积相等，可得S1 =S2 ，从而得出结论． 解答：

解：在左边的图中大矩形的面积S=（cosβ+cosα）（sinβ+sinα）

=sinβcosβ+cosβsinα+cosαsinα+sinβcosα+sinαcosα=sin（α+β）+s

inβcosβ+sinαcosα．

用大矩形的面积S减去4个直角三角形的面积就等于阴影部分的面积 S1 ．

- 17 -

空白部分的面积等于4个直角三角形的面积，即2×（

+ sinαcosα

）=sinβcosβ+sinαcosα． 故阴影部分的面积 S1 =S﹣sinβcosβ+sinαcosα=sin（α+β）． 而在右边的图中阴影部分的面积 S2 等于2个阴影小矩形的面积之和，即S2=sinαcosβ+cosαsinβ． 在右边的图中大矩形的面积也等于S，S2等于大矩形得面积S 减去2个小空白矩形的面积， 而2个空白矩形的面积之和，即sinβcosβ+sinαcosα， 故左图中空白部分的面积等于右图中空白部分的面积． 故左右图中阴影部分的面积也相等，即 S1 =S2 ，故有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ， 故答案为 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ． 点评：
本题主要考查三角函数的恒等式的证明，体现了转化的数学思想，属于中 档题． 　 三、解答题（共7小题，满分60分） 22． （2015春?九江期末）已知向量 =（2，m）， =（﹣3，4）， =（2m+7，3）（m ∈R）． （1）若 ∥ ，求实数m的值； （2）若 ⊥ ，求（ + ）? 的值．

考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．

专题：平面向量及应用．

分析：

（1）根据共线向量的条件得出2×4﹣m×（﹣3）=0，求解即可．

- 18 -

（2）根据垂直向量的条件得出，2×（2m+7）+m×3=0，解得：m=﹣2，求解向量

的坐标即可得出数量积．

解答：

解：（1）∵ ∥ ，向量 =（2，m）， =（﹣3，4），

∴2×4﹣m×（﹣3）=0，

∴m= ，

（2）∵向量 =（2，m）， =（﹣3，4）， =（2m+7，3）（m∈R）． ⊥，
∴2×（2m+7）+m×3=0，解得：m=﹣2， ∴ =（2，﹣2）+（3，3）=（5，1）， ∴（ + ）? =5×（﹣3）+4×1=﹣11． 点评：
本题考察了平面向量的坐标运算，向量的平行，垂直的性质，属于容易题 ，计算准确即可． 　 23． （2015春?九江期末）如图，在以AE=2为直径的半圆周上，B，C，D分别为弧AE的 四等分点． （1）以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取一点为终点得到一个向量 ， 求满足 在 上的射影为正的概率； （2）以O为起点，从A，B，C，D，E这5个点中任取两点分别为终点得到两个向量 ，求这两个向量垂直的概率．

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 专题：平面向量及应用；概率与统计．
- 19 -

分析： （1）求出 在 上的射影为正的事件个数，进而根据概率定义，计算即可
； （2）通过列举法，列出所有满足条件的向的基本事件数，然后观察符合条件的 基本事件，计算即可． 解答：
解：（1）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取一点为终点得 到一个向量 ， 所有的基本事件有： ， ， ， ， ，共5个； 其中满足 在 上的射影为正的有 ， ，共2个； ∴满足 在 上的射影为正的概率P= ；
（2）以O点为起点，从A，B，C，D，E，这5个点中任取两点分别为终点得到两个 向量所有的基本事件有： （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），共10个， 其中这两个向量垂直的有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），共3个， 故这两个向量垂直的概率P= ．
点评：本题主要考查了概率的求法以及向量的有关知识，属于基础题． 　 24． （2015春?九江期末）已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），| ﹣ |= ． （1）求 ? 的值； （2）若0＜α＜ ，﹣ ＜β＜0，且sinβ=﹣ ，求sin（α+β）的值．
- 20 -

考点：

平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦

函数．

专题：平面向量及应用．

分析：

（1）由已知模的等式两边平方，得到所求；

（2）由（1）求出α﹣β，得到sin（α+β）=sin（ +2β）=cos2β，进一步

利用倍角公式求值．

解答：

解：（1）因为| ﹣ |= ，

所以| ﹣ |2=2即

，

又 = =1，

所以 =0；

（2）因为0＜α＜ ，﹣ ＜β＜0，且sinβ=﹣ ，

所以0＜α﹣β＜π， 又 =cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）=0，

所以

，即

，

所以sin（α+β）=sin（ +2β）=cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2× = ．

点评： 本题考查了平面向量的数量积、模的运算以及三角函数的化简求值．比较
基础． 　 25．（2015春?九江期末）已知tanα=2．

（1）求

的值；

（2）若tan（α﹣β）=2，求tan（β﹣2α）的值． - 21 -

考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用． 专题：三角函数的求值． 分析：

（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得

的值．

（2）由条件利用两角差的正切公式求得tan（β﹣2α）的值．

解答：

解：（1）∵tanα=2，∴

=

= =3．

（2）若tan（α﹣β）=2，则tan（β﹣2α）=﹣tan（2α﹣β）=﹣tan[（α﹣

β）+α]=﹣

=﹣

=．

点评： 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础
题． 　 26． （2015春?九江期末）从某校随机抽取10个班，调查各班中有网购经历的人数， 所得数据的茎叶图和频率分布直方图如图所示．（分组区间依次为[10，15），[ 15，20），[20，25），[25，30），[30，35）） （1）求所调查的班级中有网购经历的人数的中位数、平均数及频率分布直方图 中m的值； （2）若要从有网购物经历的人数在区间[20，30）内的班级中任取两个班，求其 中至少有一个班有网购物经历的人数大于25的概率．

- 22 -

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．

专题：概率与统计．

分析：

（1）由茎叶图可知，中位数，求出平均数，第三组的频数为3，求出此组

的频率，用频率÷组距得到m．

（2）由茎叶图可知，有网上购物经历的人数在区间[20，30]内的班级共有4个，

通过列举法得到任取两个班级的方法数及至少有一个班有网上购物经历的方法数

，利用古典概型的概率公式求出概率．

解答：

解：（1）由茎叶图可知，中位数为21，

平均数为 （12+15+18+19+20+22+25+27+30+32）=22，

第二组的频数为3，频率为 =0.3，则m= =0.06
（2）记事件Q：至少有一个班有网上购物经历的人数大于25． 由茎叶图可知，有网上购物经历的人数在区间[20，300]内的班级共有4个，不妨 设为A，B，C，D，其中有网上购物经历的人数大于25的1个班级为A， 则从A，B，C，D中任取2个，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种， 其中满足题意的有AB，AC，AD，BE共3种 故P（Q）= =0.5
点评： 本题考查茎叶图及频率分布直方图，古典概型的概率公式，属于一道基础
题 　

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27． （2015春?九江期末）已知函数f（x）=Asin（ +φ），（A＞0，0＜φ＜
），y=f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象上相邻的最高点和最低
点，点P在x轴上的射影为R（1，0），cos∠PRQ=﹣ ． （1）求A，φ的值； （2）将函数f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位，得到函数g（x ）的图象，若g（x）在区间[0，3]上单调递增，求θ的最小值．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：

（1）根据三角函数的图象和性质即可求A，φ的值；

（2）根据平移关系求出g（x）的表达式，结合函数的单调性进行求解即可．

解答：

解：（1）∵点P在x轴上的射影为R（1，0），

∴P（1，A）在函数f（x）的图象上，

则Asin（ +φ）=A，即sin（ +φ）=1，

∵0＜φ＜ ，∴ ＜φ+ ＜ ，

∴φ+ = ，解得φ= ， 设Q（a，﹣A），

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则 a+ = ，解得a=4， 即Q（4，﹣A）， ∵cos∠PRQ=﹣ ．

∴sin∠xRQ= ．

tan∠xRQ= ．

即tan∠xRQ= = ． 解得A=4； 即A=4，φ= ．

（2）∵A=4，φ= ．

∴f（x）=4sin（ x+ ），

g（x）=4sin[ （x﹣θ）+ ]=4sin（ x﹣ θ+ ），

由2kπ﹣ ≤ x﹣ θ+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

得6k﹣2+θ≤x≤6k+1+θ，k∈Z， 即函数的递增区间为[6k﹣2+θ，6k+1+θ]，k∈Z， ∵若g（x）在区间[0，3]上单调递增，

∴

，

- 25 -

即

，解得θ=2﹣6k，k∈Z．

点评： 本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性，要求熟练掌握三角
函数的图象和性质． 　
28．（2015春?九江期末）已知函数f（x）=Asin（ +φ），（A＞0，0＜φ＜

），y=f（x）的部分图象如图所示，P，Q分别为该图象上相邻的最高点和最低

点，点P在x轴上的射影为R（1，0），cos∠PRQ=﹣ ．
（1）求A，φ的值； （2）求函数f（x）的单调增区间及对称中心．

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：

（1）根据三角函数的图象和性质即可求A，φ的值；

（2）根据三角函数的单调性和对称性进行求解即可．

解答：

解：（1）∵点P在x轴上的射影为R（1，0），

∴P（1，A）在函数f（x）的图象上，

则Asin（ +φ）=A，即sin（ +φ）=1，

- 26 -

∵0＜φ＜ ，∴ ＜φ+ ＜ ，∴φ+ = ，解得φ= ， 设Q（a，﹣A），则 a+ = ，解得a=4，即Q（4，﹣A）， ∵cos∠PRQ=﹣ ． ∴sin∠xRQ= ． tan∠xRQ= ． 即tan∠xRQ= = ． 解得A=4； 即A=4，φ= ． （2）∵A=4，φ= ． ∴f（x）=4sin（ x+ ）， 由2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z， 得6k﹣2≤x≤6k+1，k∈Z， 即函数的递增区间为[6k﹣2，6k+1]，k∈Z， 由 x+ =kπ，解得x=3k﹣ ， 即函数的对称中心为（3k﹣ ，0），k∈Z．
- 27 -

点评： 本题主要考查三角函数的解析式以及三角函数单调性，对称性的求解，要
求熟练掌握三角函数的图象和性质． 　 请考生在第29-31题中任选一题作答（共3小题，满分10分） 29．（10分）（2015春?九江期末）执行如图所示的程序框图，若任意输入区间[ 1，10]中实数x，求输出x大于49的概率．

考点：程序框图．

专题：概率与统计；算法和程序框图．

分析：

根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的结果是什么

，从而求出答案．

解答：

解：模拟执行程序框图，可得

第1次执行，n=2，x∈[1，19]

第2次执行，n=3，x∈[1，37]

第3次执行，n=4，x∈[1，73]，结束．

所以，输出x大于49的概率为

．

点评： 本题考查了算法和程序框图的应用问题，也考查了几何概率的应用问题，
解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题． 　 30．（2015春?九江期末）如图所示的一个算法，其作用是输入x的值，输出相应 y的值，若要使输出的y的值为正数，求输入的x值的取值范围．

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考点：伪代码．

专题：算法和程序框图．

分析：

根据程序算法语言，得出分段函数f（x）的解析式，讨论x的值，求出输入

x的取值范围即可．

解答：

解：根据程序算法语言，得分段函数

y=f（x）=

；

当x＜0时，由ln（﹣x）＞0，得x＜﹣1； 当0≤x≤2π时，由y=sinx＞0，解得0＜x＜π； 当x＞2π时，y=0，不符合题意； 所以，输入的x的取值范围是（∞，﹣1）∪（0，π）． 点评：
本题考查了程序算法语言的应用问题，也考查了分段觳觫的应用问题，是 基础题目． 　
31．（2015春?九江期末）如图所示的程序框图，若输出的y值的取值范围是（
，+∞），求输入的x值的取值范围．

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考点：程序框图． 专题：图表型；算法和程序框图． 分析：
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该 程序的作用是计算并输出分段函数

y=

的函数值．结合题中条件：“输出的y值的取值范围是（ ，

+∞），”，反求出x的取值范围即可．

解答：

解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=

的值．

解：当x＞π时，由y=0，不符合条件， 当0＜x≤π时，得sinx∈[0，1]，y=sin2x∈[0，1]，从而可得：当 ＜x＜

时，y=sin2x∈（ ，1]，

当x≤0时，y=x2∈（ ，+∞），可解得：x

，

综上，输入的x值的取值范围是：（﹣∞，﹣ ）∪（ ， ）
点评： 本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键
，属于基本知识的考查． - 30 -

　 - 31 -