3.2.1数学概念及其教学_图文

数学概念概述
? 数学概念的涵义

数量关系和空 间形式

数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关 系属性的思维形式。 ? 数学概念产生和发展的途径 (1)从现实模型直接得来; (2)经过多级抽象概括得来; (3)从数学内部需要产生出来;

?概念的内涵和外延
1、概念的内涵亦称内包,指概念所反映的对象的 特有属性、本质属性。 2、 概念的外延亦称外包,指概念所反映的对象 的总和。 例:平行四边形 平行四边形的内涵:“对边平行”“对角相 等”“同旁内角互补”“对角线互相互相平分” 平行四边形的外延:“所有的平行四边形”

概念的内涵和外延

注:(1)数学概念的内涵和外延是在一定的数 学科学体系中来认识的。 例如,角的概念在平面几何中和在平面三 角中的内涵和外延均不同。 (2)概念的内涵和外延是发展的 (3)概念的内涵越大,其外延就越小;反之, 内涵越小,其外延就越大。即内涵和外延的反 比关系

内涵和外延的反比关系 正方形内涵 ? 矩形内涵 ?平行四边形内涵 ? 四边形内涵 正方形外延 ? 矩形外延 ? 平行四边形外延 ? 四边形外延

?概念间的关系(外延)
(1)同一关系(全同关系或重合关系)
A( B)
外延完全重合,内涵可以不同。 例如:数0是扩大的自然数集中最小的数,又是正数 与负数的分界数,在数的运算中它又是两个相等数 的差等; 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线 的外延都是同一条线段,而内涵也各不相同。 注:研究概念间的同一关系,可以对概念所反映的对 象得到较深刻、较全面的认识。另外,在推理证明中 具有全同关系的概念可以互相代换,使得论证简明。

(2)从属关系
如果甲概念的外延A真包含于乙概念的外延B,如 下图所示,那么,A、B这两个概念具有从属关系。 其中,外延较大的那个概念叫做属概念,外延较 小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延A和 B的关系可以写成
A B

A? B

(3)交叉关系
如果两个概念的外延有且只有部分重合, 那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重 合关系,如下图。用集合符号表示概念的交叉 关系,可设两个概念的外延分别是集合A和集 合B,如果 A ? B是非空集合而且不是 A或B , 那么这两个概念具有交叉关系。 例:等腰三角形和直角三角形

A

B

(4)不相容关系(全异关系)
如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关 系,那么这两个概念具有全异关系,这种关系又 叫做“拳异关系”或“排斥关系”。 全异关系又分为反对关系和矛盾关系。

A

B
反对关系

A? B ? ? A? B ? U

A B
矛盾关系

A? B ? ? A? B ? U

概念的定义和原始概念
把概念的内涵用语言表达出来,就是给概念下 定义。 任何定义都是由被定义项、定义项和定义联项 三部分组成 例:等边三角形是三边相等的三角形。 例如:函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫做x的对数函数。 定义联项有“是”“就是”“指的是”“叫 做”“称为”等。

原始概念

? 点、线、面、空间、集合、元素、对应等。
一般采用描述法和抽象化法或用直观说明或指 明对象的方法来明确。 “针尖刺木板”的痕迹引入“点”、用“拉紧 的绳”或“小孔中射入的光线”来引入“直线” 的方法是直观说明法,“1,2,3,· · · 叫做自 然数”是指明对象法。

数学中常用的几种定义方式 (1)属概念加种差定义法 四边形+两组对边分别平行=平行四 边形 (2)发生法定义 在平面上,射线绕它的端点旋转所 成的图形叫做角。 平面内动点与一个定点的距离为定长 时,动点所成的轨迹叫做圆。

(3)外延式的定义法 例:整数和分数统称为有理数;有理数和 无理数统称为实数。 (4)约定式定义 为了数学上的某种特殊需要,可以通过约 定的方式下定义。 我们规定“a 0 ? 1(a ? 0) ” 。 (5)递归定义

f (1) ? 2 f (n ) ? f (n ? 1) ? n

(6)公理化定义
?

皮亚诺的自然数N的公理化定义:

公理 1: 1 是 自 然 数 , 即 1 ? N; 公 理2: 对 于 每 一 个 a ? N, 恰 有 另 一 个 自 然 数 称 为a 的 后 续 数 , 记 为 a? 公 理3: 恒 有a ? ? 1 公 理4: 设a ? ? b ?, 则a ? b 公 理5: (归 纳 公 理 ) 设 M为 自 然 数 组 成 的 集 合 如 ,果 ( 1 ) 1? M (2)若a ? M, 则a ? ? M 那 么M包 含 一 切 自 然 数 , 即 M?N

?下定义的基本要求
(1)定义应当相称 (2)定义不能循环 (3)定义一般不用否定形式 不是有理数的数是无理数。 × (4)定义应当简明 两组对边平行的平面四边形是平行四边形。 四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。

数学概念的教学
数学概念的教学既是数学教学的重要环节, 又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭 示概念的内涵和外延,使学生思考问题、推理 证明有所依据,能有创见地解决问题。

1、了解概念的体系

例如:绝对值 ? a , a ? 0时 ? 1 、 在 有 理 数 中 a ? ?0,a ? 0 时 ? ? a , a ? 0时 ?
2、 在 实 数 中 , a2 ? a 3、 在 复 数 中 , 绝 对 值 概 的念 扩 展 成 了 复 数 的 模 a ? bi ? a 2 ? b 2 (a , b ? R )

2、注意概念的引入
2.1提供现实原型(例:引入正负数的概 念) 2.2从数学内部需要引入概念 2.3用类比的方法引入或区别概念 分数的学习 方程的学习
类比 类比

分式的学习 不等式的学习

注意区别概念
.乘方与幂 大于与不小于 正数与非负数 全不相等与不全相等

3、剖析概念的本质 4、掌握概念的符号 5、重视概念的巩固


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