2016届《创新设计》数学一轮北师大版配套精品课件 第四章 第2讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式_图文

第2讲 同角三角函数基本关系式 与诱导公式
? 夯基释疑 考点一 例2 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结 训练2 训练3 训练4 例1

训练1

例3
例4

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角.( ) (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角.( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其 π 中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名 2 称的变化.( ) (4)若 α≠ +
(

∈ ),则 cos

2

α= +

(

)

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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
2sin α-3cos α 例 1 (1)已知 tan α=2,则 =____________ 4sin α-9cos α (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2 θ=( 4 5 3 4 A.- B. C.- D. 3 4 4 5
2sin α-3cos α 2tan α-3 2× 2-3 解 (1) = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 =4× 2-9
(2)由于 tan θ=2,
特点:分子分母是关于sniα、cosα“齐次式”
2 2 sin θ + sin θ cos θ - 2cos θ 2 2 则 sin θ+sin θcos θ-2cos θ= sin2θ+cos2θ

)

特点:关于sniα、cosα“齐2次整式”

22+2-2 4 tan2θ+tan θ-2 = 2 = . = 5 2 +1 tan2θ+1
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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用

规律方法
若已知正切值, 求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值, 则 可以通过分子、 分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个 关于正切的分式, 代入正切值就可以求出这个分式的值, 这是同 角三角函数关系中的一类基本题型.

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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
【训练 1】 值为( ) 1 若 3sin α +cos α =0,则 2 的 cos α +2sin α cos α 10 5 2 A. B. C. D.-2 3 3 3

解析 3sin α+cos α=0?cos α≠0?tan α=- ,

cos2α+sin2α 1 = 2 2 cos α+2sin αcos α cos α+2sin αcos α 1+tan2α = = 1+2tan α
? 1? 2 1+?-3? ? ?

1 3

答案

A

2 1- 3

10 = . 3

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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
1 例 2 (1)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ= , 8 π π 且 <θ< ,则 cosθ-sinθ 的值为________. 4 2

解 π π (1)当 <θ< 时, sin θ>cos θ, 4 2 ∴cos θ-sin θ<0,

深度思考 第(2)小题有两种解法,其一 结合平方关系解方程组求 sin α 与 cos α; 其二求 cos α-sin α; 你用到的哪一种?但作为选择 题本题还可以根据已有的结论 猜测 sin α 与 cos α.
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3 ∴cos θ-sin θ=- . 2

又(cos θ-sin θ)2 =1-2sin θcos θ 1 3 =1- = , 4 4

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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
π 1 1 例 2 (2)已知- <α<0,sin α+cos α= ,则 2 的值为 2 5 cos α-sin2α 7 7 25 24 ( ) A. B. C. D. 5 25 7 25

1 ? ?sin α+cos α= , ① 5 解法一 联立? ? ② 注意隐含条件 ?sin2α+cos2α=1, 1 的利用 由①得,sin α= -cos α,将其代入②, 5 π 2 整理得 25cos α-5cos α-12=0. 因为- <α<0, 2 3 ? ?sin α=-5, 1 1 25 于是 2 = . 所以? 2 =?4? ? ? 3 7 cos α - sin α ? ?2-?- ?2 ?cos α=4, ?5? ? 5? ? 5
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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
π 1 1 例 2 (2)已知- <α<0,sin α+cos α= ,则 2 的值为 2 5 cos α-sin2α 7 7 25 24 ( ) A. B. C. D. 5 25 7 25
?1?2 1 2 解法二 因为 sin α+cos α= , 所以(sin α+cos α) =? ? , 5 ?5? 24 注意符号的判断 可得 2sin αcos α=- . 25 24 49 2 2 2 而(cos α-sin α) =sin α-2sin αcos α+cos α =1+ = , 25 25 7 π 所以 cos α-sin α= . 又- <α<0,所以 sin α<0,cos α>0, 5 2 1 25 1 于是 2 2 =(cos α+sin α)(cos α-sin α)= 7 . cos α-sin α 3 答案 (1)- (2)C 2
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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用

规律方法
求解此类问题的关键是:通过平方关系,对称式 sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α 之间可建立联系, t2 - 1 若令 sin α+cos α=t, 则 sin αcos α= , sin α-cos α=± 2-t2 2 (注意根据 α 的范围选取正、负号),这种关系在三角函数式的化 简、求值、证明中十分有用.

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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
【训练 2 】已知 sin α - cos α = 2 , α ∈ (0 , π) ,则 tan α = ( ).A.-1 2 B.- 2 2 C. 2 D.1

解法一

? ?sin α-cos α= 2, 由? 2 2 ? ?sin α+cos α=1,
2

? ?2 ? 2cos α+1? =0, 即 得:2cos α+2 2cos α+1=0, ? ?

2 ∴cos α=- . 2

3π 又 α∈(0,π),∴α= , 4

3π ∴tan α=tan =-1. 4

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考点突破 考点一 同角三角函数基本关系式及应用
【训练 2 】已知 sin α - cos α = 2 , α ∈ (0 , π) ,则 tan α = ( ).A.-1 2 B.- 2 2 C. 2 D.1

解法二

因为 sin α-cos α= 2,
所以
? π? 2sin?α-4 ?= ? ?

解法三 因为 sin α-cos α= 2, 所以(sin α-cos α)2=2,

所以 sin 2α=-1.

因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π), 3π ? 所以 2α= , π? 2 所以 sin?α-4 ?=1. ? ? 3π 所以 α= , 所以 tan α=-1. 3π 4 因为 α∈(0,π),所以 α= , 4 答案 A 所以 tan α=-1.
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2,

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考点突破

考点二

利用诱导公式化简三角函数式

例 3 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )=____. 2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α) (2)设 f(α)= (1+2sin α≠0), ?3π ? ?π ? 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? ? ? 23π? 则 f?- 6 ?=________. ? ?

cos 1290° -cos 1020° sin 1050° 解析 (1)原式=-sin 1200° = - sin(3× 360° + 120° )cos(3× 360° + 210° ) - cos(2× 360° +300° )sin(2× 360° +330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330° =-sin(180° -60° )cos(180° +30° )-cos(360° -60° )· sin(360° -30° )

3 3 1 1 =sin 60° cos 30° +cos 60° sin 30° = × + × =1. 2 2 2 2
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考点突破

考点二

利用诱导公式化简三角函数式

例 3 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )=____. 2sin(π+α)cos(π-α)-cos(π+α) (2)设 f(α)= (1+2sin α≠0), ?3π ? ?π ? 1+sin2α+cos? 2 +α?-sin2?2+α? ? ? ? ? ? 23π? 则 f?- 6 ?=________. ? ?
(-2sin α)(-cos α)+cos α 解析 (2)∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α cos α(1+2sin α) 2sin αcos α+cos α 1 = = = , sin α(1+2sin α) tan α 2sin2α+sin α ? 23π? 1 1 1 ? ? = ? = = 3. ∴f - 6 = ? ? ? π π 23 π ? ? tan?-4π+6 ? tan 6 tan?- 6 ? ? ? ? ?
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考点突破

考点二

利用诱导公式化简三角函数式

规律方法
利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 (1)基本思路:①分析结构特点,选择恰当公式;②利用公式 化成单角三角函数;③整理得最简形式. (2)化简要求: ①化简过程是恒等变形; ②结果要求项数尽可 能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

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考点突破

考点二

利用诱导公式化简三角函数式

训练 3 (1)sin( - 1 071° )sin 99° + sin( - 171° )sin( - 261° )+ tan(-1 089° )tan(-540° )=________. ? 3π ? tan(π-α)cos(2π-α)sin?-α+ 2 ? ? ? (2) 化简: = ________ . cos(-α-π)sin(-π-α)

解析

(1) 原式=(-sin 1071° )· sin 99° +sin 171° · sin 261° + tan 1089° · tan 540° =-sin(3× 360° -9° )sin(90° +9° )+sin(180° -9° )· sin(270° -9° )+tan(3× 360° +9° )· tan(360° +180° )
=sin 9° cos 9° -sin 9° cos 9° +tan 9° · tan 180°

=0+0=0.
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考点突破

考点二

利用诱导公式化简三角函数式

训练 3 (1)sin( - 1 071° )sin 99° + sin( - 171° )sin( - 261° )+ tan(-1 089° )tan(-540° )=________. ? 3π ? tan(π-α)cos(2π-α)sin?-α+ 2 ? ? ? (2) 化简: = ________ . cos(-α-π)sin(-π-α)

解析

-tan α· cos α· (-cos α) (2)原式= cos(π+α)· (-sin(π+α))
tan α· cos α· cos α = -cos α· sin α sin α · cos α cos α = =-1. -sin α

答案

(1)0 (2)-1
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考点突破
例4

考点三
(1)已知

利用诱导公式求值
?π ? 1 sin?3-α?= ,则 ? ? 2 ?π ? cos?6+α?=______; ? ?

?5 ? 3 (2)已知 ,则 tan?6π+α?=________. 3 ? ? ?π ? ?π ? π 解析 (1)∵? -α?+? +α?= , 规律方法 ?3 ? ?6 ? 2 ?? ?π ?π ?π ? 巧用相关角的关系会简化 ? ? ? ? ? ? ∴cos 6+α =cos - 3-α ?? ? ? ?2 ? 解题过程.常见的互余关系有 ?π ? 1 π π π π =sin?3-α?= . - α 与 + α; + α 与 - α; ? ? 2 3 6 3 6 ?π ? ?5π ? π π (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π, +α 与 -α 等, 常见的互补关 ? ? ? ? 4 4 ?5 ? ? ?5 ?? π 2π π ∴tan?6π+α?=-tan?π-?6π+α?? 系有 +θ 与 -θ; +θ 3 3 4 ? ? ? ? ?? 3π ?π ? 3 与 -θ 等. =-tan?6-α?=- . 4 3 ? ?
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?π ? tan?6-α?= ? ?

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考点突破

考点三

利用诱导公式求值
? 11π? cos?α- 12 ?=________. ? ?

训练 4 (1)已知

?7π ? 2 sin?12+α?= ,则 ? ? 3

1 (2)若 tan(π+α)=- ,则 tan(3π-α)=________. 2
?11π ? ? ?π ?? 11π? ? ? ? ? ? ? ?? 解析 (1)cos? = cos = cos π - α - - α + α ? ? 12 ? ? ?12 ?? 12 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?π ? ?π ?π ?7π ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? =-cos? +α?,而 sin? = sin + + α + α ? ?2 ?12 ?? ?12 ? ? 12 ? ? ?? ? ?π ? 2 ? 11π? 2 ? ? ? ? =cos? +α?= , 所以 cos?α- =- . ? ?12 ? 3 3 12 ? ? 1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=- , 2 所以 tan(3π-α)=tan(π-α) 1 =-tan α= . 2
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课堂小结

思想方法

1.同角三角函数关系可用于统一函数;诱导公式主要用 于统一角,其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明 ,如已知一个角的某一三角函数值,求这个角的其他三角函 数值时,要特别注意平方关系的使用。 2. 三角求值、 化简是三角函数的基础, 在求值与化简时, sin x 常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 tan x= 进行 cos x
切化弦或弦化切,如
+ ,asin2x+bsinxcosx+ccos2x +

等类

型可进行弦化切。(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2 =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换: ? 1 ? π 2 2 2 2 2 ? ? 1 = sin θ + cos θ = cos θ(1 + tan θ) = sin θ 1+tan2θ = tan 4 ? ? =….
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课堂小结

易错防范

1.诱导公式的应用及注意事项 (1)应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断. 求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角 三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化 锐角”→求值. (2)使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特 别是在具体题目中出现类似kπ±α的形式时,需要对k的取值进 行分类讨论,从而确定出三角函数值的正负.

2.化简三角函数应注意的几点 (1)化简不同名的三角函数的式子, 解答此类问题的一般规律是 利用“化弦法”,即把非正弦和非余弦的函数都化为正弦和余弦, 以达到消元的目的. (2)化简形如 A(A 可化为形如 a2 的三角函数式), 这种问题是利 用 A= a2=|a|(a 是实数)化去根号. (3)化简含有较高次数的三角函数式,此类问题多用因式分解、 约分等.
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(见教辅)

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