17-18版 第10章 热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题

热点探究课(六) 概率与统计中的高考热点问题 [命题解读] 1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容, 处理问题的方式、 方法体现了较高的思维含量, 该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意 识及阅读理解能力、 分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算,其 中事件的互斥、 对立是概率计算的核心.统计问题的核心是样本数据的获得及分 析方法,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.统计与概率内容相 互渗透,背景新颖. 热点 1 统计与统计案例 以实际生活中的事例为背景,通过对相关数据的统计分析、抽象概括,作出 估计、判断.常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查, 考查学生的数据处理能力. 近几年出现各种食品问题,食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、 血糖增高等疾病.为了解“三高”疾病是否与性别有关,医院随机对入院的 60 人进行了问卷调查,得到了如下的列联表: 【导学号:31222407】 患“三高”疾病 男 女 总计 36 不患“三高”疾病 6 总计 30 (1)请将如图的列联表补充完整;若用分层抽样的方法在患“三高”疾病的 人群中抽 9 人,其中女性抽多少人? (2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关,请计算出统计量 K2 的观测值 k, 并说明是否可以在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为“三高”疾病与性别 有关. 下面的临界值表供参考: P(K2≥k0) k0 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 1 n?ad-bc?2 (参考公式 K = ,其中 n=a+b+c+d) ?a+b??c+d??a+c??b+d? 2 [解] (1)完善补充列联表如下: 患“三高”疾病 男 女 总计 24 12 36 不患“三高”疾病 6 18 24 总计 30 30 60 2分 9 1 在患“三高”疾病人群中抽 9 人,则抽取比例为36=4, 1 所以女性应该抽取 12×4=3(人).5 分 (2)根据 2×2 列联表,则 K2 的观测值 k= 60×?24×18-6×12?2 =10>7.879.10 分 30×30×36×24 所以在允许犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为是否患“三高”疾病与 性别有关.12 分 [规律方法] 1.将抽样方法与独立性检验交汇,背景新颖,求解的关键是抓 住统计图表特征,完善样本数据. 2.(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻,作出无关错误判 定.(2)进行独立性检验时,提出的假设是两者无关. [对点训练 1] (2017· 邯郸质检)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年 增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 时间代号 t 储蓄存款 y(千亿元) 2012 1 5 2013 2 6 2014 3 7 2015 4 8 2016 5 10 ^ ^ ^ (1)求 y 关于 t 的回归方程y=bt+a; (2)用所求回归方程预测该地区 2017 年(t=6)的人民币储蓄存款. 2 n -- ∑tiyi-n t y ^ ^ ^ ^ i=1 ^ - ^- 附:回归方程y=bt+a中,b= n ,a= y -b t . - ∑ti2-n t 2 i=1 - 1 [解] (1)易求 t =5(1+2+3+4+5)=3, - 15 y =5∑yi=7.2,2 分 i=1 5 -- 又∑tiyi-5 t y =120-5×3×7.2=12, i=1 5 -2 2 ∑ t2 i -5 t =55-5×3 =10.5 分 i=1 -- ∑tiyi-5 t y 12 ^ i=1 从而b= 5 =10=1.2, -2 ∑ t2 i -5 t i=1 5 ^ - ^- ∴a= y -b t =7.2-1.2×3=3.6, ^ 故所求回归方程为y=1.2t+3.6.8 分 ^ (2)将 t=6 代入回归方程,可预测该地区 2017 年的人民币储蓄存款为y= 1.2×6+3.6=10.8(千亿元).12 分 热点 2 古典概型与几何概型的概率计算 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性, 几何概型经常涉及 的几何度量有长度、面积、体积等,解决几何概型的关键是找准几何测度;古典 概型是命题的重点, 对于较复杂的基本事件空间, 列举时要按照一定的规律进行, 做到不重不漏. 某商场为吸引顾客消费,推出一项优惠活动.活动规则如下:消费 每满 100 元可以转动如图 1 所示的圆盘一次,其中 O 为圆心,目标有 20 元,10 元,0 元的三部分区域面积相等.假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针 停在某区域时,返相应金额的优惠券.例如:某顾客消费了 218 元,第一次转动 获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其共获得了 30 元优惠券.顾客甲和乙都 3 到商场进行了消费,并按照规则参与了活动. 图1 (1)若顾客甲消费了 128 元,求他获得的优惠券面额大于 0 元的概率; 【导学号:31222408】 (2)若顾客乙消费了 280 元, 求他总共获得的优惠券金额不低于 20 元的概率. [解] (1)设“甲获得优惠券”为事件 A. 因为假定指针停在任一位置都是等可能的, 而题中所给的三部分区域的面积 1 相等,所以指针停在 20 元,10 元,0 元区域内的概率都是3.2 分 顾客甲获得优惠券, 是指指针停在 20 元或 10 元区域,所以甲获得优惠券面 额大于 0 元的概率为 1 1 2 P(A)=3+3=3.5 分 (2)设“乙获得的优惠券金额不低于 20 元”为事件 B. 因为顾客乙转动转盘两次,设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为 x 元, 第二次获得优惠券的金额为 y 元,则基本事件空间为 Ω={(20,20), (20,10), (2

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