广州高中数学辅导班
课前检测 n ' ' n ?1 1、 ; C ? 0 (C为常数); ( x ) ? nx ' ' ?sin x ? ? cos x ; (cosx) ? ? sin x
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?1? 2、
?u ? v ? ? ; ' ?2? ?u ? v ? ? u ??v? ?v u?v.?
'
' 特批： x
? 1
(Cu) ?
'
Cu ? ?C为常数?; (kx ? b) ? k .
'
?1? ? ; ? ? ? x2 ; ? x?
'
1
? x? ? 2
'
1 x .
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求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤: (1) 求增量
?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ( 2) 算 比 值 ? ; ?x ?x ?y ( 3) 当?x ? 0时, 则 ? f ?( x); ?x
审给定函数y=f(x)
计算 ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ?x ?x
令?x无限趋近于0
?y 无限趋近于f ' ( x） ?x
f? (x)
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示例1用导数的定义求下列各函数的导数：
(1) f ( x) ? kx ? b(其中k , b为常数) ( 2) f(x) ? C (C为常数） ( 3) f ( x ) ? x
1 (6 ) f ( x ) ? (7 ) f ( x ) ? x x ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) k ( x ? ?x ) ? b ? ( kx ? b) (1)提 示 ： ? ? ?k ?x ?x ?x ?y ?当?x ? 0时 ， ? k ?x 即f ' ( x ) ? k
(4) f ( x) ? x 2
(5) f ( x) ? x 3
(1)( kx ? b )' ? k ( k , b为常数） ( 2 )C ' ? 0(C为常数） ( 3)( x )' ? 1 (4)(x 2 )' ? 2x (5)(x 3 )' ? 3 x 2 1 ' 1 (6 )( ) ? ? 2 x x 1 ' (7 )( x ) ? a a ?1 ? 对 幂 函 数 y ? x 求 导 公 式 为 : y ? ax 2 x
口 诀 为: 求 导 幂 减 一 ， 原 幂 作 乘 数.
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(1)( x ) ? ?x
x ' x
? '
? ?1
(?为常数）
( 2)(a ) ? a lna(a ? 0,且a ? 1)
1 1 ( 3)( loga x ) ? loga e ? (a ? 0 , 且a ? 1) x xlna 1 x ' x ' (5)(lnx) ? (4 )(e ) ? e x
'
(6 )(sinx) ? cosx
'
' (7)(cosx) ? ? sinx
一、幂函数求导法则
对幂函数 y ? x a求 导 公 式 为 : y ? ? ax a ?1 口 诀 为: 求 导 幂 减 一 ， 原 幂 作 乘 数.
二、正、余函数求导法则
(1)(sinx) ? cosx ' (2)(cosx) ? ? sinx
'
三、对数函数与指数函数的求导法则
1、对数函数的导数
1 (ln x ) ? x
'
?1?
?2?
1 1 (log a x ) ? log a e ? x x ln a
'
2、指数函数的导数
?1?
(a ) ? a ln a
x '
x
?2?
(e ) ? e
x '
x
巩固1求下列函数的导数：
(1) y ? x
12
(2) y ?
1 x
4
(3) y ?
4 x5
5
x
3
(4) y ?
3 5 x2
5
1
3
x
1 3 x4
3
答案(1) y ? ? 12 x 11 (2) y? ? ?
(3) y ? ?
(4) y? ? ?
(5) y ? sinx
答 案(5) y ? ? cosx
(6) y ? x 2008 (7) y ? log2 x (8) y ? 5 x
(6) y ? ? 2008x
2007
1 (7) y ? ? (8) y ? ? 5 x ln 5 x ln 2
四、课堂练习
1、利用幂函数的求导公式,求下列函数的导数:
(1) y ? x
( 3) y ? 1 x
1.8
( 2) y ? x ?3
(4) y ? x 3 ? 4 x
解： (1) y? ? 1.8 x1.8?1 ? 1.8 x 0.8
( 3) y ? ? ( 1
1 x2
(2) y? ? ?3x ?3?1 ? ?3x ?4
1 2
1 ? ?1 x 2
)? ? ( x
?
1 2
)? ? ?
??
1 x 2
?
3 2
1 1 13 3? (4) y ? ? ( x 3 ? x 4 )? ? ( x 4 )? ? ( x 4 )? ?
13 13 4 ?1 x
4
?
9 13 4 x
4
2、已知y ? x 3 , 求y? x?2
解：? y? ? ( x 3 )? ? 3x 3?1 ? 3x 2
? y? x?2 ? 3 ? (2)2 ? 12
3、已知y ?
1 x2
, 求y? x ?3
解：? y? ? ( x ?2 )? ? ?2x ?2?1 ? ?2x ?3
? y? x?3 ? ?2 ? (3)
?3
1 2 ? ?2 ? ? ? 27 27
1.(1)函数y ? x 3 ? x的导数为 ________;
(2)曲线y ? cos x在点( ,0)处的切线的倾斜角为 _____; 2 ? 1 2.(1)求过曲线y ? cosx上点P（ ， ）且与过这点的切线 3 2 垂直的直线方程. π 3 ( 2)曲线y = sinx在点P（ ， ）处的切线斜率为_____; 3 2
(3)求曲线y ? 3x ? x 2上过点A(2,?2)的切线方程为 _____;
?
引例1 求y ? x 2 lnx? 3x在点(1,3)处 的切线方程.
? 3x ? 2? 引例2 求函数 y?
x
2
在点 (?1, ? 1)处的切线方程