最新2019-概率论基础ch21-PPT课件_图文

Ch2:条件概率与统计独立性
§1 条件概率
一、条件概率 二、乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式

一、条件概率

1. 引例: 考虑有两个孩子的家庭:
? ? { ( b ,b ) ,( b ,g ) ,( g ,b ) ,( g ,g ) }

A——“家中至少有一个男孩”:P(A) ?3 4

B——“家中至少有一个女孩”:P(B) ?3 4

显 然 ? P (A B )?24

事件B 已经发生的条件下事件 A发生的概率,记为

P(A B),

? 2 4 ? P ( A B )? P( A).
3 4 P(B)

2019/5/1

数科院

Ch2.1-

针对几何概型:

A

B

?

P(A| B) ???AB? ??B? ???AB? ???? ??B? ???? ?P?AB? P?B?

2019/5/1

数科院

Ch2.1-

2. 定义
同理可得 P(B| A) ? P(AB) P(A)
为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.

条件概率 P(A|B) 的计算
1) 缩减样本空间:将 ? 缩减为?IB=B. 2) 用定义: P(A|B) = P(AB) / P(B).
注意:总假定条件事件的概率大于0.

3. 性质
条件概率也是概率, 故具有概率的性质:

? 非负性

P(BA)?0

? 规范性 ? 可列可加性

P(?A)?1

? ? ?
P? Bi

A????? P?Bi A?

?i?1

? i?1

?

? ?

注意点

? P(?|B) = 1 ;

P(B|?) = P(B) ;

? P(A|?) = P(A) ; P(A|A) = 1.

例1 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件, B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件,

则有

P(BA)?P(AB). P(A)

因P 为 (A )?0.8, P(B)?0.4, P (A)? B P (B ),

所以 P(BA)?P(AB) ? 0.4 ? 1. P(A) 0.8 2

例2 在某地区中任抽一人,若患有原发性肝癌则 记为A,若甲胎球蛋白高含量记为B,已知:
P(A)?0.00040, P(B)?0.00034,
P(AB)?0.00032, 则有 P(B A) ? P(AB) ? 0 .8
P(A)
P(A B) ? P(AB)?0.9412
P(B)

课堂练习

(1) 设P(B)>0,且A?B,则下列必然成立的是( ( 2 ) )

① P(A)<P(A|B)

② P(A)≤P(A|B)

③ P(A)>P(A|B)

④ P(A)≥P(A|B)

分析:P(A|B) = P(AB) / P(B)= P(A) / P(B)

(2) P(A)=0.6, P(A?B)=0.84, P(??B|A)=0.4,
则 P(B)=( 0 . 6 ).
分析:P(A?B)=P(A)+P(B)-P(B|A)P(A)

条件概率的三大公式
? 乘法公式; ? 全概率公式; ? 贝叶斯公式.

二、 乘法公式
设 P ( A ) ? 0 , 则 P ( A ) ? 有 P ( B B A ) P ( A ).
设 A ,B ,C 为 ,且 事 P (A )? 件 0 B ,则有
P ( A ) ? P B ( C A ) C P ( B B A ) P ( A ).
推 设 广 A 1 ,A 2 ,? ,A n 为 n 个 ,n 事 ? 2 , 件 且 P (A 1A 2? A n ? 1)? 0 ,则有
P (A 1 A 2 ? A n )? P (A n A 1 A 2 ? A n ? 1 )? P (A n ? 1 A 1 A 2 ? A n ? 2 )? ? ? P (A 2A 1 )P (A 1 ).

例3 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时 打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落 下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三 次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未 打破的概率.
解 以 A i(i? 1 ,2 ,3 )表示 " 透 事 i镜 次 件 第 落 " , 下
以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因B 为 ?A 1A 2A 3, 所 P (B ) 以 ? P (A 1A 2A 3 ) ? P (A 3A 1 A 2 )P (A 2A 1 )P (A 1 )
?(1?9)1 (?7)1 (?1)? 3 . 10 10 2 200

三、全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用

加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
A、B互斥

乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0

例4 有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装有

1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3号箱装

有3红球. 某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸

出一球,求取得红球的概率.

解:记 Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3; B ={取得红球}

12 3

B发生总是伴随着A1,A2运,用A加3 之法公一式同得时发生,

即 B= A1B+A2B+A3B,
且 A1B、A2B、A3B两两互斥

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
3
? P(B)? P(Ai)P(B| Ai)
i?1
对求和中的每一项 代入数据计算得:P(B)=8/15
运用乘法公式得
将此例中所用的方法推广到一般的情形,就 得到在概率计算中常用的全概率公式.

1. 全概率公式
定理 设试验E的样本空间为S,B为E的事件, A1, A2, , An, 为S的一个划分,且P(Ai) ?0(i ? 1, 2, ), 则
P(B) ? P(B A1)P(A1)?P(B A2)P(A2)? ?P(B An)P(An)?
全概率公式

n
? P(B)? P(Ai)P(B| Ai)
i?1
由公式不难看出:
“全”概率P(B)被分解成了许多部分之和.
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总是 伴随着某个Ai出现,适当地去构造这一组Ai 往往可以简化计算.

我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式. 某一事件B的发生有各种可能的原因
(i=1,2,…,n),如果B是由原因Ai所引起,则 B发生的概率是
P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)
每一原因都可能导致B发生,故 B发生的概率是各原因引起B发生概 率的总和,即全概率公式.

例 5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中 的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞 机被一人击中而击落的 概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.

解: 设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3
则 B=A1B+A2B+A3B
由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)
+ P(A3)P(B |A3)

依题意,
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1

为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
可求得:
P ( A 1 )? P ( H 1 H 2 H 3 ? H 1 H 2 H 3 ? H 1 H 2 H 3 )
P ( A 2 )? P ( H 1 H 2 H 3 ? H 1 H 2 H 3 ? H 1 H 2 H 3 ) P ( A 3 ) ? P ( H 1 H 2 H 3 )
将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.

于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+
P(A3)P(B |A3)
=0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 =0.458
即飞机被击落的概率为0.458.

例6

2. 贝叶斯公式

定理 设试验E的样本空间为S. B为E的事件, A1 A2, , An 为S 的一个划分,且P(B) ?0, P(Ai) ?0, (i ?1,2, ,n), 则

P(Ai B) ?

P(B Ai )P(Ai )
n

, i ?1,2,

, n.

?P(B Aj )P(Aj )

j?1

称此为贝叶斯公式.

? P(Ai B) ?

P(B Ai)P(Ai)
n
P(B Aj )P(Aj )

“已知结果求原因”

j?1

1、该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在 观察到事件B已经发生的条件下,寻找导致B发生 的每个原因的概率.
2、原因事件Ai的概率P(Ai) 称为先验概率,它反映 了各种原因发生的可能性大小,是以往经验的总结。
3、条件概率P(Ai|B) 称为后验概率,它反映了实验 之后对各种原因发生的可能性大小的修正。

例7 某电子设备制造厂所用 的元件是由三家元

件制造厂提供的 .根据以往的记录有以下 的数据 :

元件制造厂

次品率

提供元件的份额

1

0 .02

0 .15

2

0 .01

0 .80

3

0 .03

0 .05

设这三家工厂的产品在 仓库中是均匀混合的 ,且

无区别的标志 .

(1) 在仓库中随机地取一只 元件 ,求它是次品的

概率 ;

(2)在仓库中随机元 地件 ,取 若一 已只 知取到的 次品 ,为分析此次品,需 出求 自出 何此 厂次品 家工厂生产的是 概多 率 .试 少 分求别这些 . 概率
解 设A表示“取到的是一只次,品B i”(i?1,2,3)
表示 “所取到的产i品 家是 工由 厂第 提.供的
则B 1,B 2,B 3是样S 本 的空 一间 ,个划分
且 P ( B 1 ) ? 0 . 1 ,P ( B 5 2 ) ? 0 . 8 ,P ( B 0 3 ) ? 0 . 0 ,

P ( A B 1 ) ? 0 . 0 ,P ( A 2 B 2 ) ? 0 . 0 ,P ( A 1 B 3 ) ? 0 . 0 . (1) 由全概率公式得

P ( A ) ? P ( A B 1 ) P ( B 1 ) ? P ( A B 2 ) P ( B 2 ) ? P ( A B 3 ) P ( B 3 ) ?0.01.25

(2) 由贝叶斯公式得

P(B1A)?P(AP B(1A )P)(B1)?

0.02?0.15 0.0125

?0.2.4

P(B 2A)?P(AP B (2A )P )(B 2)?0.6,4 P(B 3A)?P(AP B (3A )P )(B 3)?0.1.2 故这只次品2来 家自 工第 厂的可能. 性最

例8 对以往数据分析结果明表,当机器调整得 良好时, 产品的合格率为 98%, 而当机器发生某 种故障时,其合格率为55%. 每天早上机器开动 时, 机器调整良好的概率9为 5%.试求已知某日 早上第一件产品是合品格时, 机器调整得良好的 概率是多少?
解 设A为事“ 件产品合, 格”
B为事件“机器调整良好. ” 则有
P (A B )? 0 .9 ,8 P (A B )? 0 .5 ,5

P (B )? 0 .9,5 P (B )? 0 .0,5 由贝叶斯公式得所求概率为

P (B A )?

P (A B )P (B )

P (A B )P (B )?P (A B )P (B )

? 0.9? 80.95 ?0.9.7 0.9? 80.9? 50.5? 50.05
即当生产出第 是一 合件 格,此 产 品时 品 时机器 整良好的0.9概 7. 率为

应用举例 —— 肠癌普查
设事件A i表示第 i 次检查为阳性,事件B
表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下: P (A iB )?P (A i B )?0.9,且 5P (B )?0.00
某患者首次检查反应为阳性, 试判断该 患者是否已患肠癌? 若三次检查反应均为 阳性呢?

由Bayes 公式得
P(BA1)?P(B)P(P A1(B B))P?(P A1(B B))P(A1B)
? 0.00?05.95 0.00?05.9? 50.99?05.05
?0.087.
1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义?
2. 检出阳性是否一定患有癌症?

1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义?
如果不做试验, 抽查一人, 他是患者的概率 P(B)=0.005
患者阳性反应的概率是0.95,若试验后得阳性 反应,则根据试验得来的信息,此人是患者的 概率为 P(B|A1)= 0.087
从0.005增加到0.087,将近增加约17倍.
说明这种试验对于诊断一个人是否患 有癌症有意义.

2. 检出阳性是否一定患有癌症?
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(B|A1)= 0.087
即使你检出阳性,尚可不必过早下结论 你有癌症,这种可能性只有8.7% (平均来说 ,1000个人中大约只有87人确患癌症),此 时医生常要通过再试验来确认.

P(B A1 A2)

?

P(B)P(A1A2B)

P(B)P(A1A2B)?P(B)P(A1A2B)

?

P(B)P(A1B)P(A2B)

P(B)P(A1B)P(A2B)?P(B)P(A1B)P(A2B)

0.00?05.925 ?0.00?05.925?0.99?05.025?0.644

接连两次检查为阳性

患肠癌的可能性过半

两次检查反应均为阳性,还不能断 定患者已患肠癌.
0 .0? 00 .9 535 P (BA 1A 2A 3)?0 .0? 00 .9 53? 50 .9? 90 .0 535
?0.9718
连续三次检查为阳性 几乎可断定已患肠癌

课堂练习
口袋中有一只球,不知它是黑的还是 白的。现再往口袋中放入一只白球, 然后从口袋中任意取出一只,发现是 白球。试问口袋中原来的那只球是白 球的可能性多大?
2/3

No5 作业
P101 习题二

5

6

13

第五周:思考题 P102 10


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