山东省聊城一中届高三期末考试(数学理)

山东省聊城一中 2010 届高三期末考试(数学理)
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡的相应 位置。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试卷上。 3.第 II 卷要用钢笔或圆珠笔在给定答题纸的相应位置,答卷前请将答题纸密封线内的 学校、班级、姓名、考试号填写清楚。 4.考试结束,监考人员将答题卡和答题纸按顺序一并收回。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.集合 M ? {3,2a}, N ? {a, b}, 若M ? N ? {2}, 则M ? N = A.{0,1,2} B.{1,2,3} ( )

C.{0,1,3} D.{0,2,3} 1 ? 2i 2.i 为虚数单位,在复平面内,复数 z ? 对应的点位于 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限





3. 已知等差数列 {an }的通项公式为 an ? 3n ? 5, 则(1 ? x) 5 ? (1 ? x) 6 ? (1 ? x) 7 的展开式 中含 x 4 项 的系数是该数列的 ( A.第 9 项 B.第 19 项 C.第 10 项 D.第 20 项 4.如图为一个几何体的三视图,正视图和侧视图均为矩形, 俯视图为正三角形,根据图中尺寸,可知该几何体的 体积为 ( ) A.
15 3 4



B.

5 3 4

C. 5 3

D. 3

5.已知直线 m,n 及平面 ? ,其中 m // n ,那么在平面 ? 内到 两条直线 m, n 距离相等的点的集合可能是:(1)空集; (2)一个点;(3)一个平面;(4)一条直线。其中正确 的是 ( ) A.(1)(2)(3) B.(1)(4) C.(2)(4) (4)

D.(1)(3)

5 ), 且a ? b, 则锐角 ? 为 ( ) 4 sin ? A.45° B.15° C.30° D.60° 1 1 1 7.如图给出的是计算 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执 3 5 29 行框中的(2)处应填的语句是( )

6.设 a ? (cos ? , sin ? ), b ? (cos ? ,1 ?

A. i ? 29, n ? n ? 1 B. i ? 29, n ? n ? 2 C. i ? 15, n ? n ? 2 D. i ? 15, n ? n ? 2
1 8.在二项式 ( x 2 ? ) 5 的展开式中 , 含x 4 的项的系数是 x A.10 B.—10 C.—5

( D.5



9.设双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的两条渐近线与直线 x?

2 所围成的三角形区域(包括边界)为 E, 2

P( x, y) 为该区域内的一动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值为





A.

5 2

B. ?

2 2

C.

7 2

D. ?

3 2

10.若动点 P 的横坐标为 x,纵坐标为 y,使得 lg y, lg | x |,lg 的图形是

y?x 成等差数列,则点 P 所表示 2 ( )

11.从数字 0,1,3,5,7 中取出不同的三个数作系数,可以组成的一元二次方程中有实根 的概率为 ( ) 1 1 3 5 A. B. C. D. 8 4 8 12 12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c的导数为 f ?( x), f ?(0) ? 0 ,对于任意的实数 x 都有
f ( x) ? 0, 则 f (1) 的取值范围为 f ?(0)





A. (2,??)

B. (3,??)

3 C. ( ,?? ) 2

5 D. ( ,3) 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将答案直接填写在答题纸给定的横线 上。
? ?2 x,?2 ? x ? 0 13.设函数 f ( x) ? ? , 若f ( x) 为奇函数,则当 0 ? x ? 2 时,g ( x) 2 ? g ( x ) ? log ( x ? 5 ? x ), 0 ? x ? 2 5 ?

的最大值是 。 14.为了了解高三学生的数学成绩,某市教研室 抽取了某校 1 000 名学生,将所得数据整理 后,画出其频率分布直方图(如图),已知 从左到右各长方形高的比为 2:3:5:6: 3:1,则该班学生数学成绩在(80,100) 之间的人数是 。 15.已知函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1, 若? f ( x)dx ? 2 f (a) 成立,则 a=
?1 1

16.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”:

?13 ?7 ?15 ?3 3 ? ? 3 3 2 ? ? ,3 ? ?9 ,4 ? ? , ……仿此,若 m 3 的“分裂数”中有一个是 59,则 m 的值为 ?5 ?11 ?17 ? ? ?19 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤,务必 在答题纸指定的位置作答。 17.(本小题满分 12 分)
已知向量 m ? (cosx,? sin x),n ? (cosx, sin x ? 2 3cox), x ? R, 令f ( x) ? m ? n. (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

? (2)当 x ? [0, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 4

18.(本小题满分 12 分)

为了丰富学生的课外生活,缓解高考压力,某中学高三(5)班成立了文娱队,每位 队员唱歌、跳舞至少会一项,其中会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 人,现从中选 2 人, 7 设 ? 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(? ? 0) ? . 10 (1)求文娱队的人数; (2)写出 ? 的概率分布列并计算 E ? 。

19.如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°。 (1)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (2)求点 A 到平面 PBD 的距离; (3)求二面角 A—PB—D 的余弦值。

20.(本小题满分 12 分)
1 已知数列 {a n }的前 n项和 S n ? ?a n ? ( ) n ?1 ? 2(n为正整数 ). 2

(I)令 bn ? 2n an , 求证数列 {bn }是等差数列 , 并求数列 {an } 的通项公式; (II)令 c n ?
n ?1 a n , Tn ? c1 ? c 2 ? ? c n n 5 . 当 n ? 3时, 证明 : Tn ? 2n ? 1

21.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 E 的长轴的一个端点是抛物线 y 2 ? 4 5 x的焦点, 离心率是

6 . 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)过点 C(—1,0),斜率为 k 的动直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,请问 x 轴上是 否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理 由。

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?
a (a ? 0), 设F ( x) ? f ( x) ? g ( x). x

(1)求函数 F ( x) 的单调区间; (2) 若以函数 y ? F ( x)(x ? ?0,3?) 的图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 成立,求实数 a 的最小值; (3)是否存在实数 m,使得函数 y ? g (
2a ) ? m ? 1的图象与函数 y ? f (1 ? x 2 ) 的图象恰 x ?1 有四个不同的交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。
2

1 恒 2

参考答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1—5 BBDCD 6—10 CCABC 11—12 CA 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。将答案直接填写在答题纸给定的横线 上。 13.5 14.550 1 15.—1 或 3 16.8 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤,务必 在答题纸指定的位置作答。 17.解:(1)由题知 f ( x) ? m ? n ? cos2 x ? sin x(sin x ? 2 3 cos x)
? cos 2x ? 3 s i n 2 x ? 2 s i n2(x ?

?
6

) …………3 分

又函数y ? sin x的单调递增区间为 [2k? ? ? 2k? ? k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

](k ? Z )

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ? ( k ? Z)

?
2

( k ? Z)

?
3

? x ? k? ?

?
6

?函数 y ? f ( x)的单调递增区间为 [k? ?

?
3

, k? ?

?
6

]( k ? Z) …………8 分

? ? ? 2? (2)当 x ? [0, ]时, ? 2 x ? ? 4 6 6 3
? 1 ? ? s i n2( x ? ) ?1 2 6

?1 ? 2 s i n2(x ?

?
6

)?2

即函数 y ? f ( x) 的值域为[1,2] ………………12 分 18.解:设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有 (7 ? x) 人, 那么只会一项的人数是 (7 ? 2 x) 人。 ………………1 分
7 10

(1) P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ?
? P (? ? 0) ? 3 ,即 10

3 C7 3 ?2 x ? 2 C7? x 10

………………3 分

?

(7 ? 2 x)(6 ? 2 x) 3 ? . (7 ? x)(6 ? x) 10

解得 x ? 2 故文娱队共有 5 人。 (2) P(? ? 0) ?

………………5 分

C 1C 1 3 3 ; P(? ? 1) ? 2 2 3 ? 10 5 C5
………………8 分

P(? ? 2) ?

2 C2 1 ? . 2 C5 10

? 的概率分布列为 ?
P 0
3 10

1
3 5

2
1 10

………………10 分
3 3 1 4 ? 1? ? 2 ? ? ………………12 分 10 5 10 5 19.解:(1)设 AC 与 BD 交于 O 点,∵底面 BACD 是菱形,∴AC⊥BD,以 OA、OB 所 在直线为 x 轴、y 轴,以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间 直角坐标系 ? E? ? 0 ?

则A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (? 3 ,0,0) D(0,?1,0), P( 3 ,0,2)

? DB ? (0,2,0), AP ? (0,0,2)

………………2 分

? DB ? AP ? 0,? DB ? AP, 又AC ? DB, AC ? AP ? A. ? DB ? 平面PAC, 又DB ? 平面P D B

∴平面 PBD⊥平面 PAC。

………………4 分

(2)设平面 PDB 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )
? DP ? ( 3 ,1,2), DB ? (0,2,0) ? ?n1 ? DP ? 0 ? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 由? 得? , 令z1 ? 1 ? ?n1 ? DB ? 0 ?2 y1 ? 0

得 n1 ? ( ?

2 3 ,0,1) 3

………………7 分

? DA ? ( 3,1,0)
?点A到平面PDB的距离d ? | n1 ? DA | 2 21 ? | n1 | 7
………………8 分

(3)设平面 ABP 的一个法向量为 n 2 ? ( x2 , y2 , z 2 )
? AP ? (0,0,2), AB ? (? 3 ,1,0) ? ? AP ? n 2 ? 0 ?2 z 2 ? 0 由? 得? 令y 2 ? 1. ? 3 x ? y ? 0 ? AB ? n ? 0 2 2 ? 2 ?

得 n2 ? (

3 ,1,0) 3

………………10 分
2 3 3 ,0,1) ? ( ,1,0) 7 3 3 ?? . 7 7 4 ? 3 3

n ?n ? cos ? n1 , n 2 ?? 1 2 ? | n1 || n 2 |

(?

所以二面角 A—PB—D 的余弦值为

7 . 7

………………12 分

1 20.解:(I)在 S n ? ?a n ? ( ) n ?1 ? 2中, 令n ? 1, 2 1 可得 S1 ? ?a n ? 1 ? 2 ? a1 , 得a1 ? ………………1 分 2

1 当n ? 2时, S n ?1 ? ?a n ?1 ? ( ) n ? 2 ? 2, 2 1 ? a n ? S n ? S n ?1 ? ?a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 , 2 1 ? 2a n ? a n ?1 ? ( ) n ?1 , 即2 n a n ? 2 n ?1 ? 1. 2 n ? bn ? 2 a n ,? bn ? bn ?1 ,

即当 n ? 2时, bn ? bn?1 ? 1.
又b1 ? 2a1 ? 1,

………………4 分

? 数列{bn }是首项和公差均为 1的等差数列 . 于是bn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 2 n a n ,

? an ?

n . 2n

………………6 分
n ?1 1 a n ? (n ? 1)( ) n ,所以 n 2

(II)由(I)得 c n ?
Tn ? 2 ?

1 1 1 1 ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( ) 3 ? K ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( ) 3 ? 4 ? ( ) 4 ? K ? (n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 由①—②得 Tn ? 1 ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? K ? ( ) n ? (n ? 1)( ) n ?1 …………8 分 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 …………10 分 1 2 2 2 1? 2 n?3 ? Tn ? 3 ? n 2 5n n?3 5n (n ? 3)(2 n ? 2n ? 1) Tn ? ? 3? n ? ? 2n ? 1 2n ? 1 2 2 n (2n ? 1) 5n 于是确定Tn 与 的大小关系等价于比较 2 n 与2n ? 1的大小. 2n ? 1 当n ? 3时
0 1 2 n ?1 n 0 1 n ?1 n 2 n ? (1 ? 1) n ? C n ? Cn ? Cn ? K cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

5n ………………12 分 2n ? 1 21.解:(1)根据条件可知椭圆的焦点在 x 轴,且

综上所述,当 n ? 3时, Tn ?

6 30 ? 5? , 3 3 10 5 故b ? a 2 ? c 2 ? 5 ? ? , 3 3 x2 y2 故所求椭圆E的方程为 ? ? 1, 5 5 3 a ? 5 , 又c ? ea ?
即 x 2 ? 3y 2 ? 5 ………………3 分

(2)假设存在点 M 符合题意,设 AB: y ? k ( x ? 1), 代入 E : x 2 ? 3 y 2 ? 5 得:

(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (m,0) 则

………………4 分

x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

………………6 分

MA ? MB ? (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (k 2 ? m)(x1 ? x1 ) ? k 2 ? m 2 ? m 2 ? 2m ? 1 6m ? 14 ? 3 3(3k 2 ? 1) ????10分
7 3

要使上式与 K 无关,则有 6m ? 14 ? 0, 解得 m ? ?
7 存在点 M (? ,0) 满足题意。 3

………………12 分
a ( x ? 0), x

22.解: F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ?
1 a x?a ? 2 ? 2 ( x ? 0) x x x ? x ? 0,由F ?( x) ? 0得x ? a. F ?( x) ? ? F ( x)在(a,??)上单调递增 , 由F ?( x) ? 0, 得0 ? x ? a, ? F ( x)在(0, a )上单调递减 .

? F ( x)的单调递增区间为 (a,??) ,
单调递减区间为 (0, a). (2) F ?( x) ? ………………4 分

x ?a 1 x?a (0 ? x ? 3), k ? F ?( x0 ) ? 0 2 ? (0 ? x0 ? 3) 2 2 x x0

1 2 恒成立,即a ? ? x0 ? x0 在?0,3?恒成立, 2 1 2 1 当x0 ? 1时,? x0 ? x0 取最大值 , 2 2 1 ?a ? 2
1 即 a的最小值为 . ………………7 分 2 2a 1 1 (3)若 y ? g ( 2 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图象与 y ? f (1 ? x 2 ) 2 2 x ?1

? ln(x 2 ? 1)的图象恰有四个不同的 交点,即 1 2 1 x ? m ? ? ln(x 2 ? 1)有四个不同的根 , 亦即 2 2
m ? ln( x 2 ? 1) ? 1 2 1 x ? 有四个不同的根。 2 2

………………9 分

1 2 1 x ? 2 2 2x 2 x ? x 3 ? x ? x( x ? 1)(x ? 1) 则G ?( x) ? 2 ?x? ? , x ?1 x2 ?1 x2 ?1 当x变化时, G ( x), G ?( x)的变化情况如下表: 令G ( x) ? ln(x 2 ? 1) ?

x
G?( x) G ( x)

(??,?1)

(—1,0) — 单调递减

(0,1) + 单调递增

(1,??)

+ 单调递增

— 单调递减

由表格知: G( x )极小值 ? G (0) ?
? ln 2 ? 0.

1 , G( x )极大值 ? G (1) ? G (?1) 2 ………………12 分

1 ?当m ? ( , ln 2)时, y ? G ( x)与y ? m恰有四个不同的交点 , 2 1 2a 1 1 即当m ? ( , ln 2)时, y ? g ( 2 ) ? m ? 1 ? x 2 ? m ? 的图象与 2 2 2 x ?1 2 2 y ? f (1 ? x ) ? ln(1 ? x )的图象恰有四个不同的 交点.

………………14 分


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