2017-2018学年高中数学:第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

二元一次不等式?组?与简单的线性规划问题**** 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 预习课本 P82~86,思考并完成以下问题 (1)二元一次不等式是如何定义的? (2)应按照怎样的步骤画二元一次不等式表示的平面区域? (3)应按照怎样的步骤画二元一次不等式组表示的平面区域? [新知初探] 1.二元一次不等式 含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式称为二元一次不等式. 2.二元一次不等式组 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 3.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x, y), 叫做二元一次不等式(组) 的解,所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 4.二元一次不等式表示平面区域 在平面直角坐标系中, 二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一侧 所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. 5.二元一次不等式表示的平面区域的确定 (1)直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x, y)代入 Ax+By+C, 所得的符号都相 同. (2)在直线 Ax+By+C=0 的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由 Ax0+By0+C 的 符号可以断定 Ax+By+C>0 表示的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. [点睛] 确定二元一次不等式表示平面区域的方法是“线定界,点定域”,定边界时需 分清虚实,定区域时常选原点(C≠0). [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由于不等式 2x-1>0 不是二元一次不等式,故不能表示平面的某一区域( (2)点(1,2)不在不等式 2x+y-1>0 表示的平面区域内( ) ) ) (3)不等式 Ax+By+C>0 与 Ax+By+C≥0 表示的平面区域是相同的( (4)二元一次不等式组中每个不等式都是二元一次不等式( (5)二元一次不等式组所表示的平面区域都是封闭区域( ) ) 1 解析:(1)错误.不等式 2x-1>0 不是二元一次不等式,但表示的区域是直线 x= 的右 2 侧(不包括边界). (2)错误. 把点(1,2)代入 2x+y-1, 得 2x+y-1=3>0, 所以点(1,2)在不等式 2x+y-1>0 表示的平面区域内. (3)错误.不等式 Ax+By+C>0 表示的平面区域不包括边界,而不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,所以两个不等式表示的平面区域是不相同的. ? ?2x+y-1≥0, (4)错误.在二元一次不等式组中可以含有一元一次不等式,如? 也称为 ?3x+2<0 ? 二元一次不等式组. (5)错误.二元一次不等式组表示的平面区域是每个不等式所表示的平面区域的公共部 分,但不一定是封闭区域. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 2 2 (5)× ) 2.在直角坐标系中,不等式 y -x ≤0 表示的平面区域是( 解析:选 C 原不等式等价于(x+y)(x-y)≥0,因此表示的平面区域为左右对顶的区域 (包括边界),故选 C. 3.在不等式 2x+y-6<0 表示的平面区域内的点是( A.(0,7) C.(0,1) B.(5,0) D.(2,3) ) 解析:选 C 对于点(0,1),代入上述不等式 2×0+0×1-6<0 成立,故此点在不等式 2x+y-6<0 表示的平面区域内,故选 C. 4.已知点 A(1,0),B(-2,m),若 A,B 两点在直线 x+2y+3=0 的同侧,则 m 的取 值集合是________. 解析:因为 A,B 两点在直线 x+2y+3=0 的同侧,所以把点 A(1,0),B(-2,m)代入 1 可得 x+2y+3 的符号相同,即(1+2×0+3)(-2+2m+3)>0,解得 m>- . 2 ? 1 ? m>- ? 答案:?m? 2 ? ? ? 二元一次不等式(组)表示的平面区域 [典例] 画出下列不等式(组)表示的平面区域. (1)2x-y-6≥0; x-y+5≥0, ? ? (2)?x+y≥0, ? ?x≤3. [解] (1)如图,先画出直线 2x-y-6=0, 取原点 O(0,0)代入 2x-y-6 中, ∵2×0-1×0-6=-6<0, ∴与点 O 在直线 2x-y-6=0 同一侧的所有点(x,y)都满足 2x- y-6<0, 因此 2x-y-6≥0 表示直线下方的区域(包含边界)(如图中阴 影部分所示). (2)先画出直线 x-y+5=0(画成实线),如图,取原点 O(0,0)代入 x-y+5, ∵0-0+5=5>0, ∴原点在 x-y+5>0 表示的平面区域内,即 x-y+5≥0 表示直 线 x-y+5=0 上及其右下方的点的集合.同理可得,x+y≥0 表示直 线 x+y=0 上及其右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的集合.如图所 示的阴影部分就表示原不等式组的平面区域. (1)在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取 它们的公共部分即可.其步骤为:①画线;②定侧;③求“交” ;④表示. (2)要判断一个二元一次不等式所表示的平面区域,只需在它所对应的直线的某一侧取 一个特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负判定. [活学活用] x≤0, ? ? 若关于 x,y 的不等式组?x+2y≥0, ? ?kx-y+1≥0 的值为( A.1 C.3 ) B.2 D.4 表示的平面区域是直角三角形区域,则正数 k 解析:选 B 如图,易知直线 kx-y+1=0 经过定点 A(0,1),又 x≤0, ? ? 知道关于 x,y 的不等式组?x+2y≥0, ? ?kx-y+1≥0 表示的平面

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