例说导数在不等式恒成立与存在性问题中的应用


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解 题 技 巧 与 方 法 

擘 艚  

诡导   数在 等式   恒威塞   鸟巷   在   懂 题中  虞用 l  
◎ 冯联 英  ( 福建 省武平县第一 中学 3 6 4 3 0 0 )   1 ∈D, V  2  

【 摘要】 不等式恒成 立及存在 性 问题 , 特别 以导 数为 背  
景 的题 型在 高 考 中 频 频 出现 , 解 决 这 类 问题 的 关 键 是 等 价 
转化 为 求 函 数 最 值 的 问题 , 它归纳起来有三大类型.  

1 ∈ D, V   2   E   E√ ^ (  1 ) ≥g (  2 ) 成 立  E   E   (  ) … ≥g(  ) ….  

侈 4   4   ① 函数 f (  )= 3 x  + 6 x一  , g (  )=   + 2  +  ,  
V   ,   : ∈[一2 , 2 ] , , (  。 ) ≥g (  ) 成立, 求 实 数  的 取 值 
范 围.  

【 关键词 】 不等式恒成立 ; 存在 性问题 ; 导数 ; 函数最值 ;  
三 大 类 型 

② 函数/ (  )=3 x 。 +6 x一  ,  (  )=   +2   +  ,   不 等式恒成立及存 在性 问题 是历 年 高考 的热 点 , 特 别  是 以导数为背景 的题 型更是 在高 考 中频频 出现. 这 类 问 题  涉 及的知识面广 、 综合 性强 、 能 力 要 求 高. 解 决 这类 问题 的   关 键是等价转化 为求 函数最 值 的问题 , 通 过 转 化 使 恒 成 立  问题 、 存在性 问题得到简化. 它 归纳 起 来 有 三 大 类 型 .   类 型 一 :V   ∈ D, f(   )≥ 0 恒 成 立 § V   ∈ D,   ,(  ) … ≥0 .   V  ∈D’ , (  ) ≤0恒 成 立 铮 V  ∈D, f(  ) … ≤0 . ( 即: 大 
于最大 , 小于最小 )  

l ,  

E[一 2 , 2 ] , , (  。 ) ≥g (  ) 成立 , 求 实 数  的 取 值 范 围.   ③ 函数 /   )= 3 x  + 6  一  , g(  )=   +2   +  , V  1 ∈  
[一2 , 2 ] ,  
取 值 范 围.  

∈[一 2 , 2 ] , f (   ) ≥g (   ) 成立, 求 实 数  的   l ∈  

④ 函数 _ 厂 (  )= 3 x  + 6 x一  , g (  )=   +2   +  ,  
取 值 范 围.  

[ 一2 , 2 ] , V   ∈[一 2 , 2 ] , f (   ) ≥g (   ) 成立, 求 实 数  的   解析 此例涉 及两 个不 同变 量 , 应 转 化 成 求 两 个 不 同 

函数 的最 值 , 然后用导数法求最值.   ∈ D, f(  ) … ≥0 .  

j   ∈D, , (  ) 10成 立 甘   >
最小 , 小于最大 )  

① 转 化 为 ,(  ) … ≥g(  ) ….  
② 转 化 为 f(  ) … ≥g(  )  .   ③ 转 化 为 ,(  ) … ≥g(  )  .   ④ 转 化 为  (  )   ≥g(  ) ….  

∈D  (  ) ≤0成 立 甘 j   ∈D, f(  ) … ≤0 . ( 即: 大 于 

侈 0   1   ① 函数 f (  )=3 x  +6 x一  , 对V   ∈ [一2 , 2 ] ,  
厂 (  ) ≥0恒 成 立 , 求 实 数  的取 值 范 围.  

② 函数f (  )=3 x  + 6 x一  , j   ∈[一 2 , 2 ] , _ , (  ) ≥ 0成 
立, 求 实 数  的取 值 范 围.  

例 5  已 知 函 数 , (   ) = l n   一 ÷  3 — 1 , g (   ) =   2 —  
2 b x+ 4, 若对 V   E( 0 , 2 ) ,   : ∈[ 1 , 2 ] , 使f (   ) ≥g (   : ) ,  
求 实 数 b的取 值 范 围.  

解 析  ① 转 化 为 函 数 , (  ) … ≥0 . ② 转 化 为 函 数  _ 厂(  ) … ≥0 .  
类 型二 : V   ∈ D, f(   )≥ g(  ) 恒 成 立 § V   ∈ D,  

解析

转 化 为 ,(  )   ≥g(  )   的问 题 求 解 . 用 导 数 法 

求 ,(  )   , 又g (  )=   一2 b x+ 4为 二 次 函数 , 动 轴 定 区 间  类型 , 对轴 讨 论 求 g(  ) ….  
例 6   已知 A, B, C是 直 线   上 的三点, 向量  ,   ,   满足 :   一[ ) , +   ( 1 ) ].   + I n (  +1 )?   = 0 .  

[ , (  )一g (  ) ] … ≥0 .   ED   对V  
范 围.  

) ≥g (   ) 成立 铮 j  E D, [ _ 厂 (  ) 一 g ( x ) ] …> 10 .  

例2   ① 函数f (  )=3 x  +6 x一  , g (  )=   + 2   +  ,   [一2 , 2 ] , f (  )≥g(  ) 恒成立, 求 实数   的 取 值 

( 1 ) 求 函 数 Y= f (  )的 表 达 式 ; ( 2 ) 若  >0 , 证 明:  

② 函数 . 厂 (  )=3 x  +6 x一  , g(  )=   +2   +  , |  ∈  

) >   ; ( 3 ) 若 不 等 式 ÷   ≤ , ( X 2 ) + m   一 2 6 m 一 3 时 ,  
∈[一1 , 1 】 及 b   E [一1 , 1 】 都 恒 成 立, 求 实 数 m 的 取 值 
范 围.  

[ 一2 , 2 ] ’ , (  ) ≥g (  ) 成立 , 求 实数  的 取 值 范 围.  
解析 构 造 函数 h ( x )= g (   )- f (  ) . ① 转 化 成  (  ) …≥  

0 . ②转 化成 h ( x ) …> 10 , 然 后 用 导数 法 求 最 值 .  
例 3   求证 : l n ( x+1 ) ≤   .  

解 析  ( 1 ) 略. ( 2 ) 令g (  )= , (  )一  

, 再 用 导 数 求 

解 析  构 造 新 函 数 _ 厂 (  ) =I n(   +1 )一  , 转 化 为  ,(  ) … ≤0 , 然后用导数 法求最值.   类型三 : V  1   E D, V   2 ∈E, 厂 _ (  1 ) ≥g (   2 ) 成立甘 V  l   E  
D, V   ∈E   (  ) … ≥g(  ) ….   1 ∈D,   2∈E, ,(  1 )≥ g (  2 ) 成 立车 争   l   E   D,  

g (   ) … . ( 3 ) 令   (   ) = ÷ 一 , (  ) = ÷ 一 l n ( 1 +  ) , 再  
用导数法求 h (  ) ….  

总之 , 不 等 式 恒 成 立 及 存 在 性 问 题 都 可 以 转 化 为 函 数 
最 值 问题 处 理 , 借 助 导数 这一 有 效 工 具求 函数 最值 , 把 抽  象、 复杂的问题转化 为直 观 、 简单 的 问题 , 从 而 达 到 解 决 问 
题 的效 果 .  

j   ∈E, f(  ) … ≥g(  ) ….  

V  1 ∈D, j  2 ∈E, , (  1 ) ≥g (   2 ) 成 立 甘 V戈 l ∈D, 了戈 2  
∈E, f(  ) … ≥g(  ) ….  

数学学习与研究

2 0 1 5 . 1 5  


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