河南省林州一中2012-2013学年高二上学期1月月考数学试题

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河南省林州一中 2012-2013 学年高二上学期 1 月月考数学 试题
一. 选择题:(每小题 5 分,共 60 分)
1 ”的( ) 2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知 A 和 B 是两个命题,如果 A 是 B 的充分条件,那么 ?A 是 ?B 的( )
1.在△ABC 中, “A>300”是“sinA> A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

3.已知条件 p: x ? 1 <2,条件 q: x 2 -5x-6<0,则 p 是 q 的( ) A、充分必要条件 C、必要不充分条件
2

B、充分不必要条件 D、既不充分又不必要条件

4.对抛物线 y ? 4 x ,下列描述正确的是( )

1 ) 16 1 C、开口向右,焦点为 (1, 0) D、开口向右,焦点为 (0, ) 16 2 5.若点 A 的坐标为(3,2) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一
A、开口向上,焦点为 (0,1) B、开口向上,焦点为 (0,

动点,则 PA ? PF 取得最小值时点 P 的坐标是 ( ) A. (0,0) B. (1,1) 1 C. (2,2) D. ( ,1) 2 6 若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F1 ,则满足 ?ABF1 为等边三角形的椭圆 的离心率是( ) 2 3 1 1 A. B. C. D. 2 2 4 2 7.已知平面内有一固定线段 AB,其长度为 4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最 小值为 ( ) (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5
8.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0, 2) ,那么实数 k 的值为( )
2 2

A、 ?25

B、 25
2 2

C、 ?1

D、 1

9.设 ? ? ? 0, ? ? ,则方程 x sin ? ? y cos ? ? 1 不能表示的曲线为( ) A、椭圆
2 2

B、双曲线

C、抛物线

D、圆

10. 椭圆 4 x ? 9 y ? 144 内有一点 P(3,2)过点 P 的弦恰好以 P 为中点,那么这弦所在 直线的方程为
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A. 3x ? 2 y ? 12 ? 0 C. 4 x ? 9 y ? 144 ? 0

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B. 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D. 9 x ? 4 y ? 144 ? 0

11.椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一个直角 4
3 3
2 2

三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) A.

1 2

B.

C.

3 1 或 3 2

D.以上均不对

12.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点, 那么 k 的取值范围是( ) A. (?

15 15 , ) 3 3

B. ( 0,

15 15 15 ,0 ) D . ,?1 ) ) C. (? (? 3 3 3

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二. 填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 13.命题: ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 的否定是 14. 抛物线的焦点 F 在 x 轴的正半轴上,A(m,-3)在抛物线上,且|AF|=5,求抛物 线的标准方程 _________ 15.若双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的焦点是 F1 , F2 过 F1 的直线交左支于 A、B,若|AB|=5, 则△AF2B 的周长是
16 方程

x2 y2 ? ? 1 表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 4 ? k k ?1

①若 1 ? k ? 4 ,则曲线 C 为椭圆; ②若曲线 C 为双曲线,则 k ? 1 或 k ? 4 ; ③若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1 ? k ?
5 ; 2

④曲线 C 不可能表示圆的方程. 其中正确命题的序号是 三.解答题(共 70 分) 17. (10 分) 已知命题 p:方程
x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 2m m ? 1

q:双曲线 范围。

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) ,若 p, q 只有一个为真,求实数 m 的取值 5 m

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18.(12 分) (1)求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ,且经过点 ( ? 2 , ? 2 ) 的椭圆的标准方程。
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(2) .已知双曲线与椭圆

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x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程 49 24 3 x2 y2 ? ? 1 的左焦点, a2 b2

19.(12 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线经过双曲线

且与 x 轴垂直,此抛物线与双曲线交于点(

3 , 6) ,求此抛物线与双曲线的方程. 2

20.(12 分)一条隧道的横 断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸如图所示(单位: m ) ,一辆卡车空车时能通 过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 m ,车与箱共高 4.5m ,此车是否能通过隧道?并说明理 由

21.(12 分)直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C : 3x 2 ? y 2 ? 1 相交于不同的 A 、 B 两点.
(1)求 AB 的长度; (2)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过坐标第原点?若存在,求出 k 的 值;若不存在,写出理由 22(12 分)如图,从椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好 a2 b2 通过椭圆的左焦点 F1,且它的长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB//OM. 求(1)椭圆的离心率 e;

(2)设 Q 是椭圆上任意一点,F2 是右焦点,F1 是左焦点,求 ?F1QF2 的 取值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2 ? AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P, 若 ?F1 PQ 的面积为 20 3 ,求此时椭圆方程。

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y

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B M Q F2 F1 O A x

P

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高二数学月考试题参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1-6 BBBBCD
2

7-12 DDCBCD

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13 ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

14 16

y 2 ? 2 x或y 2 ? 18 x

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15 18 三、解答题(共 70 分) 1 17.解:P:0<m< 3 q:0<m<15
1 故 ? m ? 15 。 3

②③

p 真 q 假,则空集

1 p 假 q 真,则 ? m ? 15 3

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 18. 解: (1)设椭圆的标准方程为 a ,a ?b ? 0, y2 x2 ? ?1 2 2 2 2 ∴ a ? b ? 4 ,即椭圆的方程为 b ? 4 b ,

2 ∵ 点 ( ? 2,? 2 ) 在椭圆上, ∴ b ?4

4

?

2 ?1 2 2 b2 , 解得 b ? 4 或 b ? ?2(舍) ,

x2 y2 ? ?1 4 由此得 a ? 8 ,即椭圆的标准方程为 8 .
2
2 2 (2)由椭圆 x ? y ? 1 ? c ? 5 .

49

24

设双曲线方程为

4 ?b x2 y2 ?? ? 2 ? 1 ,则 ? a 3 2 ? a b 2 ? 2

2 ? ?a ? 9 ?? 2 ? ?b ? 16 ?a ? b ? 25

故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 9 16

19. 解:由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为 2C(即双曲线的焦距) . 2 设抛物线的方程为 y ? 4cx. 4 分 ∵抛物线过点 ( 3 , 6) ? 6 ? 4c ? 3 ? c ? 1即a 2 ? b2 ? 1
2 2
( ) 2 又知 2 2 ? ( 6) ?1 2 a b 3
2



?

9 6 ? ?1 4a 2 b 2

② 8分

由①②可得 a 2 ? , b2 ?

1 4

3 , 10 分 4
2

∴所求抛物线的方程为 y ? 4 x ,双曲线的方程为 4 x2 ? 20. 解:建立坐标系,则 A(-3,-3) ,B(3,-3) .
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4 2 · · · · · · · · · · · 12 分 y ? 1 .· 3

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2

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设抛物线方程为 x ? ?2 py( p ? 0) , 将 B 点坐标代入,得 9 ? ?2 p ? (?3) ,

3 . ∴ 抛 物 线 方 程 为 2 x 2 ? ?3 y(?3 ? y ? o) . ∵车与箱共高 4.5m ∴集装箱上表面距 抛物线型隧道拱顶 0.5m . 设抛物线上点 D 的坐标为 ( x0 ,?0.5) ,2 3 2 则 x0 ? , 2
∴ p? ∴ x0 ? ?

3 6 ' ?? , | DD |? 2 | x0 |? 6 ? 3 , 2 2

故此车不能通过隧道 21. (1)联立方程组 ?

? y ? ax ? 1 ?3 x ? y ? 1
2 2

消去 y 得 3 ? a x ? 2ax ? 2 ? 0 ,因为有两个交点,所
2 2

?

?



?3 ? a

2

?0
2

? ? 4a ? 8 3 ? a

?

2

?? 0

,解得 a ? 6, 且a ? 3, x1 ? x 2 ?
2 2

2a ?2 。 , x1 x2 ? 2 3?a 3 ? a2

AB ? 1 ? a 2 x1 ? x2 ? 1 ? a 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?

2 ? a 4 ? 5a 2 ? 6 a ?3
2

(a 2 ? 6且a 2 ? 3)

(2)由题意得 k oa k ob ? ?1,即x1 x2 ? y1 y 2 ? 0,即x1 x2 ? (ax1 ? 1)( ax2 ? 1) ? 0 整 理得 a ? 1, 符合条件,所以a ? ?1 。
2

22. 解 (1) 由 MF1 ? x 轴可知 x M =-c

将 x M =-c 代入椭圆方程得 y M ?

b2 a

? k OM ? ?

b2 ac

又? k AB ? ?

b , 且 OM//AB a

??

b2 b 2 ? ? 即 b=c, e ? 2 ac a
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(2)设 QF1 ? r1 , QF2 ? r2 , ?F1QF2 ? ? ,

? r1 ? r2 ? 2a, F1 F2 ? 2c

? cos? ?

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1 r2 ? 4c 2 a2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1 r2 2r1 r2 r1 r2 ( ) 2

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当且仅当 r1 ? r2 时,上式等号成立

? 0 ? cos? ? 1, 故 ? ? [0, ] 2
(3)? b ? c, a ?

?

2c

?可设椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 2c 2 c 2

? PQ ? AB, k AB ? ?

2 ,? k PQ ? 2 2
5 x 2 ? 8cx ? 2c 2 ? 0

? 直 线 PQ 的 方 程 为 y ? 2 ( x ? c) , 代 入 椭 圆 方 程 得
8c 2 4 ? 2c 2 6 2 ) ? ](1 ? 2) ? c 5 5 5

? PQ ? [(

又点 F1 到 PQ 的距离 d=

2 6 c 3

? S ?F1PQ ?
2

1 4 3 2 d PQ ? c ? 20 3 2 5
2 2

x2 y2 c ? 5, , b ? 5, a ? 10, ? ?1 10 5

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