广东省湛江市2014—2015学年度高一第一学期期末调研考试数学试题


湛江市 2014—2015 学年度第一学期期末调研考试

高一数学(必修①、必修②)试卷
说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式: 球的表面积公式: S ? 4? ? R ,其中 R 是球的半径;
2

锥体的体积公式: V ?

1 ? s ? h ,其中 s 是锥体的底面积。 h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请把正确答案的代号填入下面的表格内 1.已知全集 U ? { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ,集合 A ? { 3 , 4 , 5 } ,则? U A ? A. { 1 , 2 , 6 }
?

B. { 3 , 4 , 5 }

C. { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }

D. ?

2.倾斜角等于 45 ,在 y 轴上的截距等于 2 的直线方程是 A. y ? ? x ? 2 B. y ? ? x ? 2 C. y ? x ? 2 C. [ e , ? ? ) D. y ? x ? 2 D. ( e , ? ? )

3.函数 f ( x) ? 1 ? ln x 的定义域是 A. ( 0 , e ) B. ( 0 , e ] 4.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (

1 2 , ) ,则 f (2) ? 2 2

A. ? 2 B. 2 C. ? 2 D. 2 5.一个棱长为 1 的正方体的顶点都在球面上,则这个球面的表面积是 A. ?
x

B. 3?
2

C. 4?

D. 12?

6.使函数 f ( x) ? 2 ? x 有零点的区间是 A. ( ? 3 , ? 2 )
2 2

B. ( ? 2 , ? 1 )
2 2

C. ( ? 1 , 0 )

D. ( 0 , 1 )

7.圆 x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.内含 8.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 AD1 和 C1 D 所成的角是 A. 30
?

B. 45 B. 20
2 2

?

C. 60 C. 4 ? 4 3

?

D. 90 D. 12
2

?

9.一个几何体的三视图及其尺寸如图,则该几何体的表面积为 A. 4 ? 8 3 10.已知圆的方程是 x ? y ? 36 ,记过点 P( 1 , 2 ) 的最长弦和 最短弦分别为 AB 、 CD ,则直线 AB 、 CD 的斜率之和等于

2 主视图

左视图

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1 页 (共

10

页) 俯视图

A. ? 1

B.

3 2

C. 1

D. ?

3 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 在空间直角坐标系中, 点 A( 1 , 2 , ? 1 ) 和坐标原点 O 之间的距离 | OA |? 12.已知函数 .

? f ( x ? 3) x ? 2 f ( x) ? ? ,则 f (?3) ? x?2 ? log3 x



13.由直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上任意一点向圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 引切线,则切线长的最小 值为 . 14.下列五个命题中: ①函数 y ? loga (2x ? 1) ? 2015 (a ? 0 且 a ? 1) 的图象过定点 ( 1 , 2015) ; ②若定义域为 R 函数 f ( x) 满足:对任意互不相等的 x1 、 x2 都有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,则 f ( x ) 是减函数; ③若 f ( x ? 1) ? x ? 1 ,则 f ( x) ? x ? 2x ;
2 2

④若函数 f ( x) ? ⑤若 a ?

a ? 2x ? a ? 2 是奇函数,则实数 a ? ?1 ; 2x ?1

log c 8 (c ? 0, c ? 1) ,则实数 a ? 3 . log c 2
. (填上相应的序号)

其中正确的命题是

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湛江市 2014—2015 学年度第一学期期末调研考试

高中数学(必修①、必修②)试卷
说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟.
题号 得分 一 二 三 15 16 17 18 19 20 总分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 线 题号 选项 学号 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. | OA |? .12. f (?3) ? . 13.最小值为 . 14.下列五个命题中:其中正确的命题是 . (填上相应的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分)
2 1 1 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

得分

姓名

计算: (1) 封

(2a 3 b 2 )(?6a 2 b 3 ) ? 4a b
1 6 5 6



(2) 4

log 4 2

? ? 0 ? ln e ? lg 4 ? lg

1 . 25

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班级

16. (本小题满分 12 分) 已知点 A( ? 3 , 0 ) , B( 3 , ? 3 ) , C ( 1 , 3 ) . (1)求过点 C 且和直线 AB 平行的直线 l1 的方程; (2)若过 B 的直线 l 2 和直线 BC 关于直线 AB 对称,求 l 2 的方程.

17. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,?ABC ? 60 ,OA ? M 底面 ABCD , OA ? 2 , 是 OA 中点, P 为 CD 中点. O (1)证明: CD ? 平面 MAP ; (2)证明: MP // 平面 OBC ; (3)求三棱锥 M ? PAD 的体积.
?

M

A P B

D

C

18. (本小题满分 14 分) 如图:长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 ,点 P 为 DD1 中点. (1)证明: BD1 // 平面 PAC ;
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C1

A1
P D

B1

C

(2)证明:平面 PAC ? 平面 BDD1 B1 ; (3)求 CP 与平面 BDD1 B1 所成角的度数.

19. (本题满分 14 分) 已知以点 C ( t ,

2 ) (t ? R, t ? 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、 A ,与 y 轴交于点 O 、 t

B ,其中 O 为原点.
(1)求 ?OAB 的面积; (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M , N ,若 OM ? ON ,求圆 C 的方程.

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20. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) 的图象过点 ( 0 , 4 ) ,对任意 x 满足 f (3 ? x) ? f ( x) ,且有最小值

7 . 4
(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? (2t ? 3) x ( t ? R )在区间 [ 0 , 1 ] 上的最小值; (3)是否存在实数 m ,使得在区间 [ ? 1 , 3 ] 上函数 f ( x) 的图象恒在直线 y ? 2 x ? m 的上 方?若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,说明理由.

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湛江市 2014—2015 学年度第一学期期末调研考试 高中数学(必修①、②)试题参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 选项 1 A 2 D 3 B 4 B 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 12. 1 13. 2 6 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (1)原式= 3 ? a
2 1 1 ? ? 3 2 6 1 1 5 ? ? 2 3 6

14. ①③⑤

b ? 3a .-----------------------------------------------------------------6 分 1 1 5 9 ) ? ? 2 ? .----------------------------------------------12 分 (2)原式= 2 ? 1 ? ? lg( 4 ? 2 25 2 2
16.解:

0?3 1 ? ? ,且 l1 过点 C ( 1 , 3 ) ,---------------------------------2 分 ?3?3 2 1 ∴所求方程为: y ? 3 ? ? ( x ? 1) ,即: x ? 2 y ? 7 ? 0 .-----------------------4 分 2 0?3 1 ? ? -------------------------------------------------------------------------5 分 (2) ∵ k AB ? ?3?3 2 1 ∴直线 AB 的方程是 y ? ? ( x ? 3) .-----------①.------------------------------6 分 2 设点 C 关于直线 AB 的对称点为 D , 1 ∴ k CD ? ? ? 2 .--------------------------------------------------------------------------8 分 k AB ∴直线 CD 的方程是 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,-----------② 联立①②解得交点,也即 CD 的中点坐标为 ( ? 1 , ? 1 ) , ∴点 D 的坐标为 ( ? 3 , ? 5 ) .-------------------------------------------------------------10 分 y?3 x?3 ? ∴ l 2 的方程是 ,即 x ? 3 y ? 12 ? 0 .------------------------------12 分 ?5?3 ?3?3 17. (1)证明:∵ OA ? 平面 ABCD ∴ OA ? CD .-------------------------------------1 分 ? ∵四边形 ABCD 是菱形且 ?ABC ? 60 , ∴ ?ACD 是正三角形,又. P 为 CD 中点.
(1)∵ k l1 ? k AB ?
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∴ AP ? CD .---------------------------------------------------------------------------3 分 又 OA ? AP ? A , ∴ CD ? 平面 MAP .-----------------------------------------------------------------5 分 (2)证明:设 N 为线段 OB 的中点,连结 MN 、 CN , O

1 AB , 2 ∴ MN // CP 且 MN ? CP , ∴四边形 MNCP 为平行四边形, ∴ MP // CN .---------------------------------8 分 ∵ MP ? 平面 OBC , CN ? 平面 OBC , ∴ MP // 平面 OBC .-------------------------10 分 (3)解:∵ OA ? CD ? 2 , ∴ AP ? 3 , PD ? 1 , MA ? 1 ,
则 MN // AB ,且 MN ? ∴ VM ? PAD ?

M
N

A P B

D

C

1 1 3 . -------------------------------------------14 分 ? ?1? 3 ?1 ? 3 2 6

18. (1)证明:设 AC ? BD ? O ,连结 PO , 依题意: PO 为 ?BDD 1 的中位线 ∴ PO // BD1 .--------------------------------------------2 分 ∵ BD1 ? 平面 PAC , PO ? 平面 PAC , (2)证明:在正方形 ABCD 中, AC ? BD , 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB1 ? 平面 ABCD , ∴ BD1 // 平面 PAC .-----------------------------------4 分

D1

C1
B1

A1
P D

∵ AC ? 平面 ABCD , ∴ BB1 ? AC .----------------------------------------------6 分 ∵ BD 、 BB1 均在平面 BDD1 B1 内,且 BD ? BB1 ? B , ∴ AC ? 平面 BDD1 B1 .

C
O

A

B

∵ AC ? 平面 PAC , ∴平面 PAC ? 平面 BDD1 B1 .---------------------------------------------------------8 分 (3)解:由(2)知: ?CPO 为 CP 与平面 BDD1 B1 所成角,-----------------------10 分 ∵ AB ? AD ? 1 , ∴ CO ?

2 . 2 又∵ DP ? 1 , ∴ PC ? 2 .-----------------------------------------------------------------------------12 分 CO 1 ? . 在 Rt ?COP 中, sin ?CPO ? PC 2 ? ∴ ?CPO ? 30 . ? 即: CP 与平面 BDD1 B1 所成角是 30 .--------------------------------------14 分
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19.解: (1)∵圆 C 过原点 O ,

4 . ---------------------------------------------------------------------2 分 t2 2 2 4 2 2 设圆 C 的方程是 ( x ? t ) ? ( y ? ) ? t ? 2 t t 4 令 x ? 0 ,得 y1 ? 0, y 2 ? ;令 y ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2t t 1 1 4 ∴ S ?OAB ? | OA | ? | OB |? | | ? | 2t |? 4 . -------------------------------------6 分 2 2 t (2)∵ OM ? ON , , CM ? CN , ∴ OC 垂直平分线段 MN . -------------------------------------------------------------7 分 1 ∵ k MN ? ?2 , k OC ? , 2 1 ∴直线 OC 的方程是 y ? x .-------------------------------------------------------8 分 2 2 1 ∴ ? t ,解得: t ? 2 或 t ? ?2 .-----------------------------------------------9 分 t 2 (i)当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为 (2,1) , OC ? 5 , 1 ? 5, 此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ? 5 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点,符合题意.-------------------------11 分
2 2 ∴ OC ? t ?

(ii)当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为 (?2,?1) , OC ? 5 ,

? 5, 5 圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交,故 t ? ?2 不符合题意舍去. 综上所述:圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 .-----------------------------14 分
20.解: (1)依题意 f ( x) 图象的对称轴为 x ? ∴可设 f ( x ) ? a ( x ?

此时 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

9

3 7 ,又最小值为 , 2 4

3 2 7 ) ? (a ? 0) ,----------------------------------------2 分 2 4 3 2 7 又图象过点 ( 0 , 4 ) ,代入 f ( x ) ? a ( x ? ) ? 解得 a ? 1 . 2 4 3 2 7 2 ∴ f ( x) ? ( x ? ) ? ? x ? 3x ? 4 . ------------------------------------------4 分 2 4
(2)依题意:

h( x) ? f ( x) ? (2t ? 3) x ? ( x ? t ) 2 ? 4 ? t 2 ,其对称轴为 x ? t ,---------5 分
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(i)当 t ? 0 时, h( x) 在区间 [ 0 , 1 ] 上单调递增,最小值为 h(0) ? 4 ; (ii)当 0 ? t ? 1 时, h( x) 的最小值为 h(t ) ? 4 ? t 2 ; (iii)当 t ? 1 时, h( x) 在区间 [ 0 , 1 ] 上单调递减,最小值为 h(1) ? 5 ? 2t .

?4 ? 2 ∴ h ( x ) ? ?4 ? t ? ?5 ? 2t

t?0 0 ? t ? 1 .--------------------------------------------------9 分 t ?1

(3)不妨设存在,依题意: f ( x) ? 2 x ? m 在 x ? [ ? 1 , 3 ] 恒成立,--------------------------------------11 分 ∴ m ? x ? 5 x ? 4 当 x ? [ ? 1 , 3 ] 时恒成立.
2

令 g ( x) ? x ? 5x ? 4 ( x ? [ ? 1 , 3 ] ) ,
2

∵当 x ? [ ? 1 , 3 ] 时, g min ? g ( ) ? ? ∴m ? ?

5 2

9 . 4

9 .-------------------------------------------------------------------------14 分 4

注:以上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.

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