2017_2018学年高中数学第2章参数方程2.2直线和圆锥曲线的参数方程2.2.1直线的参数方程学案北师大版选修4_4

2.2.1 直线的参数方程 1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线的参数方程.(重点) 3.能够利用直线的参数方程解决有关问题.(难点) 教材整理 1 参数方程的概念 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数 t 的函数 ?x=f ? ? ?y=g ? t , t ①,并且对于 t 取的每一个允许值,由方程组①所确定的点 P(x,y)都在 这条曲线上,那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程,联系 x,y 之间关系的变数 t 叫作 参变数,简称参数. 相对于参数方程,我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程 f(x,y)=0 叫作曲线的普 通方程. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)参数可以是一个有物理意义或几何意义的量, 但不能是没有实际意义的变数.( (2)参数与变量 x,y 间存在函数关系.( (3)点 M(2,1)在曲线? ?x=2t, ? ? ?y=t +1 2 ) ) ) (t 为参数)上.( 【解析】 (1)× 参数既可以是一个有物理或几何意义的量,也可以是没有实际意义 的变数. (2)√ 在参数方程中,参数与 x,y 存在函数关系. (3)× x=2 时,2=2×t 得 t=1,而 y=1 时 t=0≠1,故点(2,1)不在曲线上. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× 教材整理 2 直线的参数方程 1.经过点 P(x0,y0),倾斜角是 α 的直线的参数方程为 1 ?x=x0+tcos α , ? ? ?y=y0+tsin α ? (t 为参数).① 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 t 的几何意义是从点 P 到 M 的位移,可以用有 向线段PM的数量来表示. 2.经过两个定点 Q(x1,y1),P(x2,y2)(其中 x1≠x2)的直线的参数方程为 → x +λ x x= ? ? 1+λ , ? y +λ y ? ?y= 1+λ 1 2 1 2 (λ 为参数,λ ≠-1). 其中 M(x,y)为直线上的任意一点,参数 λ 的几何意义与参数方程①中的 t 显然不同, 它所反映的是动点 M 分有向线段QP的数量比 . 当 λ >0 时,M 为内分点; 当 λ <0 时,且 λ ≠-1 时,M 为外分点; 当 λ =0 时,点 M 与 Q 重合. → QM MP 填空: (1)过点(0,0)且倾斜角为 60°的直线的参数方程是________. (2)参数方程? ? ?x=1+tcos 20°, ?y=2+tsin 20° ? (t 为参数)表示的直线的倾斜角是________. 1 x= t, ? ? 2 即? 3 ? ?y= 2 t 【解析】 (1)? ? ?x=tcos 60°, ?y=tsin 60°, ? (t 为参数). (2)方程符合直线参数方程的标准形式,易知倾斜角为 20°. 1 x= t, ? ? 2 (1)? 3 ? ?y= 2 t 【答案】 (t 为参数) (2)20° 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 2 解惑: 疑问 3: 解惑: 求动点轨迹的参数方程 如图 2?2?1 所示,OA 是定圆的直径,长 2a,直线 OB 与圆交于 M1,和过 A 点的 切线交于点 B,MM1⊥OA,MB∥OA,MM1 与 MB 交于点 M,与 OA 交于点 C,以 O 为原点,OA 为 x 轴的正半轴,求动点 M 轨迹的参数方程. 图 2?2?1 【精彩点拨】 引入弦 OM1 与 x 轴的夹角 θ 为参数,由解三角形知识将动点 M(x,y) 的坐标 x,y 分别用角 θ 表示,从而得到轨迹的参数方程. 【自主解答】 设点 M 的坐标为 M(x,y),弦 OM1 与 x 轴的夹角是 θ ,取 θ 为参数, 连结 AM1,则有 AM1⊥OM1,OC=2acos θ ·cos θ =2acos θ , 2 AB=2atan θ , ∴? ?x=2acos θ , ? ? ?y=2atan θ 2 (θ 为参数), 这就是所求的点 M 的参数方程. 求动点的轨迹方程, 是解析几何中常见的题型之一, 通常可用解析法寻找变量之间的关 3 系,列出等式,得到曲线的方程.当变量之间的关系不容易用等式表示时,可以引入参数(如 角度、斜率、距离、比值等),使变量 x,y 之间通过参数联系在一起,从而得到曲线的参数 方程. 1.过抛物线 y =4px(p>0)的顶点作互相垂直的两弦 OA,OB,求 AB 中点 P 的轨迹方程. 【解】 设 OA 的斜率为 k(k≠0), ? ?y =4px, 则? ?y=kx, ? 2 2 ? 4p 4p? 解得 A 点坐标为? 2 , ?. ?k k? 1 ? ?y=- x, k 由? 2 ? ?y =4px, 解得 B 点坐标为(4pk ,-4pk). 2 设 AB 的中点为 P(x,y), ?x= k +4pk =2p?? 1 +k ??, 2 ?k ? 则? 1 ?y=2p???k-k??? 4p 2 2 2 2 2 (k 为参数), 消去 k 得中点 P 的轨迹方程为 y =2p(x-4p)(p>0). 求直线的参数方程 已知直线 l 过(3,4),且它的倾斜角 θ =120°. (1)写出直线 l 的参数方程; (2)求直线 l 与直线 x-y+1=0 的交点. 【精彩点拨】 ? ?x=x0+tcos α , ? ?y=y0+tsin α , ? 根 据 直 线 过 点 (3,4) , 且 直 线 的 倾 斜 角 θ = 120°. 代 入 得该直线的参数方程.然后与 x-y+1=0 联立可求得交点. 【自主解答】 (1)直线 l 的参数方程为 ?x=3+tcos 120°, ? ? ? ?y=4+tsin 120°

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