库伦旗第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

精选高中模拟试卷

库伦旗第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析 班级__________ 一、选择题
1.

姓名__________

分数__________

如图所示,已知四边形 ABCD 的直观图是一个边长为的正方形,则原图形的周长


为(

A. 2 2

B. ﹣ )?(

C. + )=( )

D. 4 2+2

2. 如图,正六边形 ABCDEF 中,AB=2,则(

A.﹣6 B.﹣2 3. 已知点 P(1,﹣ A.

C.2

D.6 ) D. ) D. ?2

),则它的极坐标是( B. C.

4. 已知函数 f ? x ? 1? ? A.1 5. 若函数 f ? x ? ? 取值范围为(

2x ? 1 ,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1 ,f ?1?? 处切线的斜率为( x ?1 B. ?1 C.2

1 ? ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? ? 3a ?sin x ? cos x ? ? ? 4a ? 1? x 在 ?? 2 ,0? 上单调递增,则实数的 2 ? ?

1? ? B. ? ? 1 , ? 7? ?

?1 ? 1? A. ? , ?7 ? 1 C. (?? , ? ] [1 , ? ?) 7

D. [1 ,? ?) ,则下列点中不能使 u=2x+y 取得最大值的是( )

6. 实数 x,y 满足不等式组

A.(1,1) B.(0,3) C.( ,2) D.( ,0) 7. 某校在高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩近似服从正态分布,即

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X ~ N ?100, a 2 ? ( a ? 0 ),试卷满分 150 分,统计结果显示数学考试成绩不及格(低于 90 分)的人数占总
人数的

1 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为( 10
( B ) 500
2

) (D) 800

(A) 400 A.[1,6]

(C) 600 ) C.[﹣3,6]

8. 函数 y=x ﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是( B.[﹣3,1]

D.[﹣3,+∞)

9. 已知三棱锥 A﹣BCO,OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在△BCO 内运动(含边界),则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的 体积为( )

A.

B.

或 36+

C.36﹣

D.

或 36﹣ ) D.2 )

10.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1,0) , c ? (3, 4) ,若 ? 为实数, (a ? ?b) / / c ,则 ? ? ( A.

1 4

B.

1 2

C.1

11.已知全集 I={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},那么?I(A∩B)等于( A.{3,4} B.{1,2,5,6} C.{1,2,3,4,5,6} ) D.?

12.阅读下面的程序框图,则输出的 S=(

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A.14

B.20

C.30

D.55

二、填空题
13.一个总体分为 A,B,C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本,若 B 层中每个个体被 抽到的概率都为 ,则总体的个数为 .

14.已知定义域为(0,+∞)的函数 f(x)满足:(1)对任意 x∈(0,+∞),恒有 f(2x)=2f(x)成立; (2)当 x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.给出如下结论: ①对任意 m∈Z,有 f(2m)=0;②函数 f(x)的值域为[0,+∞);③存在 n∈Z,使得 f(2n+1)=9;④“函 数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”的充要条件是“存在 k∈Z,使得(a,b)?(2 ,2 结论的序号是 .
2

k

k+1

)”;其中所有正确

15.已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? sin x ? A.1 B.±1 C. 2

1 ? 的一条对称轴方程为 x ? ,则函数 f ( x ) 的最大值为( 2 6 D. ? 2



【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值,意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思 想与方程思想.

?y ? x y 2 ? 2 xy ? 3x 2 ? 16.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,则 的取值范围为____________. x2 ?x ? 1 ?
17.抛物线 y2=8x 上一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的横坐标为 18.直线 2x+3y+6=0 与坐标轴所围成的三角形的面积为 . .

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三、解答题
19.如图,过抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 的直线交 C 于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点,且 x1x2=﹣ 4. (Ⅰ)p 的值; (Ⅱ)R,Q 是 C 上的两动点,R,Q 的纵坐标之和为 1,RQ 的垂直平分线交 y 轴于点 T,求△ MNT 的面积 的最小值.

20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 tanA= (Ⅰ)求 ; (Ⅱ)若三角形△ ABC 的面积为 ,求角 C.

,c=



21.某滨海旅游公司今年年初用 49 万元购进一艘游艇,并立即投入使用,预计每年的收入为 25 万元,此外每 年都要花费一定的维护费用,计划第一年维护费用 4 万元,从第二年起,每年的维修费用比上一年多 2 万元, 设使用 x 年后游艇的盈利为 y 万元.

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(1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)此游艇使用多少年,可使年平均盈利额最大?

22.已知正项等差{an},lga1,lga2,lga4 成等差数列,又 bn= (1)求证{bn}为等比数列. (2)若{bn}前 3 项的和等于 ,求{an}的首项 a1 和公差 d.

23.已知数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ (Ⅰ)证明:bn∈(0,1) (Ⅱ)证明:

,数列{bn}满足 bn=

=

(Ⅲ)证明:对任意正整数 n 有 an



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24.某机床厂今年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用 12 万元,从 第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加 4 万元,该机床使用后,每年的总收入为 50 万元,设使 用 x 年后数控机床的盈利总额 y 元. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)从第几年开始,该机床开始盈利? (3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机 床;②当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请说明理由.

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库伦旗第二中学校 2018-2019 学年上学期高二数学 12 月月考试题含解析(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】C 【解析】

考 点:平面图形的直观图. 2. 【答案】D 【解析】解:根据正六边形的边的关系及内角的大小便得: = 2+2=6. 故选:D. 【点评】考查正六边形的内角大小,以及对边的关系,相等向量,以及数量积的运算公式. 3. 【答案】C 【解析】解:∵点 P 的直角坐标为 再由 1=ρcosθ,﹣ =ρsinθ,可得 ,∴ρ= =2. , = =2+4﹣

,结合所给的选项,可取 θ=﹣

即点 P 的极坐标为 (2, 故选 C.

),

【点评】本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法,属于基础题. 4. 【答案】A 【解析】

2x ? 1 1 1 ? 2 ? ,则 f ' ? x ? ? 2 ,所以 f ' ?1? ? 1 . x x x 考点:1、复合函数;2、导数的几何意义.
试题分析:由已知得 f ? x ? ? 5. 【答案】D 【 解 析 】

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考 点:1、导数;2、单调性;3、函数与不等式. 6. 【答案】 D 【解析】解:由题意作出其平面区域, 将 u=2x+y 化为 y=﹣2x+u,u 相当于直线 y=﹣2x+u 的纵截距, 故由图象可知, 使 u=2x+y 取得最大值的点在直线 y=3﹣2x 上且在阴影区域内, 故(1,1),(0,3),( 而点( 故选 D. ,2)成立,

,0)在直线 y=3﹣2x 上但不在阴影区域内,

故不成立;

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【点评】本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,注意点在阴影区域内;属于中档题. 7. 【答案】A 【解析】 1 1 4 2 2 P(X≤90)=P(X≥110)= ,P(90≤X≤110)=1- = ,P(100≤X≤110)= ,1000× =400. 故选 A. 10 5 5 5 5 8. 【答案】C
2 2 【解析】解:y=x ﹣4x+1=(x﹣2) ﹣3

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∴当 x=2 时,函数取最小值﹣3 当 x=5 时,函数取最大值 6
2 ∴函数 y=x ﹣4x+1,x∈[2,5]的值域是[﹣3,6]

故选 C 【点评】本题考查了二次函数最值的求法,即配方法,解题时要分清函数开口方向,辨别对称轴与区间的位置 关系,仔细作答 9. 【答案】D 【解析】 【分析】由于长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在△BCO 内运动(含边界), 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心,以 1 为半径的球体,故 MN 的中点 P 的轨迹与三棱 锥的面所围成的几何体的体积,利用体积分割及球体的体积公式即可. 【解答】 解: 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动, 另一个端点 N 在△BCO 内运动 (含边界) , 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心,以 1 为半径的球体,则 MN 的中点 P 的轨迹与 三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的 或该三棱锥减去此球体的 ,即: . 故选 D 10.【答案】B 【解析】 试题分析:因为 a ? (1, 2) , b ? (1,0) ,所以 (a ? ? b) ? ?1 ? ? , 2 ? ,又因为 (a ? ?b) / / c ,所以 或

4 ?1 ? ? ? ? 6 ? 0, ? ?
11.【答案】B

1 ,故选 B. 2

考点:1、向量的坐标运算;2、向量平行的性质. 【解析】解:∵A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}, ∴A∩B={3,4}, ∵全集 I={1,2,3,4,5,6}, ∴?I(A∩B)={1,2,5,6}, 故选 B. 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价 转化. 12.【答案】C 【解析】解:∵S1=0,i1=1;

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S2=1,i2=2; S3=5,i3=3; S4=14,i4=4; S5=30,i=5>4 退出循环, 故答案为 C. 【点评】本题考查程序框图的运算,通过对框图的分析,得出运算过程,按照运算结果进行判断结果,属于基 础题.

二、填空题
13.【答案】 300 . 【解析】解:根据分层抽样的特征,每个个体被抽到的概率都相等, 所以总体中的个体的个数为 15÷ 故答案为:300. 【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题,是基础题目. 14.【答案】 ①②④ . 【解析】解:∵x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x. ∴f(2)=0.f(1)= f(2)=0. ∵f(2x)=2f(x),
k k ∴f(2 x)=2 f(x).

=300.

①f(2m)=f(2?2m﹣1)=2f(2m﹣1)=…=2m﹣1f(2)=0,故正确; ②设 x∈(2,4]时,则 x∈(1,2],∴f(x)=2f( )=4﹣x≥0. 若 x∈(4,8]时,则 x∈(2,4],∴f(x)=2f( )=8﹣x≥0. …
m m+1 一般地当 x∈(2 ,2 ), m+1



∈(1,2],f(x)=2

﹣x≥0,

从而 f(x)∈[0,+∞),故正确; ③由②知当 x∈(2m,2m+1),f(x)=2m+1﹣x≥0,
n n+1 n n n ∴f(2 +1)=2 ﹣2 ﹣1=2 ﹣1,假设存在 n 使 f(2 +1)=9,

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n n 即 2 ﹣1=9,∴2 =10,

∵n∈Z,
n ∴2 =10 不成立,故错误;

④由②知当 x∈(2k,2k+1)时,f(x)=2k+1﹣x 单调递减,为减函数, ∴若(a,b)?(2 ,2 故答案为:①②④. 15.【答案】A 【 解 析 】
k k+1

)”,则“函数 f(x)在区间(a,b)上单调递减”,故正确.

16.【答案】 ? 2, 6? 【解析】

考点:简单的线性规划. 【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数

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2 2 的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1) x ? y 表示点

? x, y ? 与原点 ? 0, 0? 的距离;(2) ? x ? a ? ? ? y ? b ?
2

2

表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 间的距离;(3)

? x, y ? 与 ? 0, 0? 点连线的斜率;(4) x ? a 表示点 ? x, y ? 与点 ? a, b ? 连线的斜率.
17.【答案】 8 .

y?b

y 可表示点 x

2 【解析】解:∵抛物线 y =8x=2px,

∴p=4, 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的, ∴|MF|=x+ =x+2=10, ∴x=8, 故答案为:8. 【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法.抛物线上的点到焦点的距离,叫焦半径.到焦点 的距离常转化为到准线的距离求解. 18.【答案】 3 . 【解析】解:把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y=﹣2,把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x=﹣3, ∴直线与坐标轴的交点为(0,﹣2)和(﹣3,0), 故三角形的面积 S= ×2×3=3, 故答案为:3. 【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式,属基础题.

三、解答题
19.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意设 MN:y=kx+ , 由
2 2 ,消去 y 得,x ﹣2pkx﹣p =0(*)

由题设,x1,x2 是方程(*)的两实根,∴ (Ⅱ)设 R(x3,y3),Q(x4,y4),T(0,t), ∵T 在 RQ 的垂直平分线上,∴|TR|=|TQ|.

,故 p=2;

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得 ∴ 而 y3≠y4,∴﹣4=y3+y4﹣2t. 又∵y3+y4=1,∴ 因此, 由(Ⅰ)得,x1+x2=4k,x1x2=﹣4, = 因此,当 k=0 时,S△MNT 有最小值 3. ,故 T(0, ).

,又



,即 4(y3﹣y4)=(y3+y4﹣2t)(y4﹣y3).





【点评】 本题考查抛物线方程的求法, 考查了直线和圆锥曲线间的关系, 着重考查“舍而不求”的解题思想方法, 考查了计算能力,是中档题. 20.【答案】 【解析】解:(Ⅰ)由题意知,tanA= 则 = ,

,即有 sinA﹣sinAcosC=cosAsinC,

所以 sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB, 由正弦定理,a=b,则 =1;… (Ⅱ)因为三角形△ABC 的面积为
2 所以 S= absinC= a sinC=

,a=b、c=



,则 =

,① ,② )=1,sin(C+ = , )= ,

由余弦定理得, 由①②得,cosC+ 又 0<C<π,则 解得 C= 于中档题. 21.【答案】 【解析】解:(1) ….

sinC=1,则 2sin(C+ C+ < ,即 C+

【点评】本题考查正弦定理,三角形的面积公式,以及商的关系、两角和的正弦公式等,注意内角的范围,属

* (x∈N )…6

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(2)盈利额为 当且仅当 即 x=7 时,上式取到等号…11



答:使用游艇平均 7 年的盈利额最大.…12 【点评】本题考查函数模型的构建,考查利用基本不等式求函数的最值,属于中档题. 22.【答案】 【解析】(1)证明:设{an}中首项为 a1,公差为 d. ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,∴2lga2=lga1+lga4,
2 ∴a2 =a1a4. 2 即(a1+d) =a1(a1+3d),∴d=0 或 d=a1.

当 d=0 时,an=a1,bn= 当 d=a1 时,an=na1,bn=

= =

,∴ ,∴

=1,∴{bn}为等比数列; = ,∴{bn}为等比数列.

综上可知{bn}为等比数列. (2)解:当 d=0 时,S3= 当 d=a1 时,S3= = = ,所以 a1= ;

,故 a1=3=d.

【点评】本题主要考查等差数列与等比数列的综合以及分类讨论思想的应用,涉及数列的公式多,复杂多样, 故应多下点功夫记忆. 23.【答案】 【解析】证明:(Ⅰ)由 bn= ∴ ,且 an+1=an+ ,得 ,

,下面用数学归纳法证明:0<bn<1.

①由 a1= ∈(0,1),知 0<b1<1, ②假设 0<bk<1,则 ∵0<bk<1,∴
*

, ,则 0<bk+1<1.

综上,当 n∈N 时,bn∈(0,1);

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(Ⅱ)由 ∴

,可得, =

, = .





(Ⅲ)由(Ⅱ)得: , 故 由 . 知,当 n≥2 时,

=



【点评】本题考查了数列递推式,考查了用数学归纳法证明与自然数有关的命题,训练了放缩法证明数列不等 式,对递推式的循环运用是证明该题的关键,考查了学生的逻辑思维能力和灵活处理问题的能力,是压轴题. 24.【答案】
2 * 【解析】解:(1)y=﹣2x +40x﹣98,x∈N . 2 (2)由﹣2x +40x﹣98>0 解得,

,且 x∈N , ,当且仅当 x=7 时“=”号成立,

*

所以 x=3,4,,17,故从第三年开始盈利. (3)由
2 2 由 y=﹣2x +40x﹣98=﹣2(x﹣10) +102≤102,

2 所以按第一方案处理总利润为﹣2×7 +40×7﹣98+30=114(万元).

所以按第二方案处理总利润为 102+12=114(万元). ∴由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理.

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