2014-2105年度朝阳高三数学期末理科试题及答案

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(理工类) (考试时间 120 分钟 2015.1

满分 150 分)

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设 i 为虚数单位,则复数 z ? A.第一象限

1? i 在复平面内对应的点所在的象限是 i
C.第三象限 D.第四象限

B.第二象限

2. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点. 若 AB 中点 M 到抛物线准线的距离为 6, 则线段 AB 的 长为 A. 6 B. 9 C.12 D.无法确定

3.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) 的图象为 C ,下面结论中正确的是 A.函数 f ( x) 的最小正周期是 ?? B.图象 C 关于点 ( ,0) 对称

? 3

? 6

C.图象 C 可由函数 g ( x) ? sin 2 x 的图象向右平移 D.函数 f ( x) 在区间 (?

? 个单位得到 3

? ? , ) 上是增函数 ?? 2

4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的全面积是 A. 4 ? 2 6 C. B. 8 D. 4

4?2 3

3

5. ?,? 表示不重合的两个平面, m , l 表示不重合的两条直线.若 ? “ l ∥ ? 且 l ∥ ? ”的 A.充分且不必要条件 C.充要条件 B.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件
1

? ? m , l ? ? , l ? ? ,则“l ∥ m ”是

6.在 ?ABC 中, B ?

π ,则 sin A ? sin C 的最大值是 4
B.

A.

1? 2 4

3 4

C.

2 2

D.

2? 2 4

7.点 O 在 ?ABC 的内部,且满足 OA ? 2OB ? 4OC ? 0 ,则 ?ABC 的面积与 ?AOC 的面积之比是 A.

7 2

B. 3

C.

5 2

D.2

8. 设连续正整数的集合 I ? ?1,2,3,...,238? ,若 T 是 I 的子集且满足条件:当 x ? T 时, 7 x ? T ,则集合 T 中元素的 个数最多是( A. 204 ) B. 207 C. 208 D. 209

第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.角 ? 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(1, 2) ,则 sin( π ? ? ) 的值是 10.双曲线 C : x2 ? y 2 ? ? ( ? ? 0 )的离心率是 ;渐近线方程是 . .

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 11.设不等式组 ? x ? 0, 表示平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一点 P ,则点 P 落在圆 x 2 ? y 2 ? 1内的概 ?y ? 0 ?
率为 . 12.有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时,1 点响 1 声,2 点响 2 声,3 点响 3 声,……,12 点响 12 声(12 时制) ,且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为 1 秒.在一次大钟报时时,某人从第一声铃响开始计时,如 果此次是 12 点的报时,则此人至少需等待 秒才能确定时间. 13.在锐角 AOB 的边 OA 上有异于顶点 O 的 6 个点,边 OB 上有异于顶点 O 的 4 个点,加上点 O ,以这 11 个点为 顶点共可以组成 14.已知函数 f ( x ) ? 个三角形(用数字作答) . 秒才能确定时间;如果此次是 11 点的报时,则此人至少需等待

sin πx ( x ? R ) .下列命题: π x ? π1? x

①函数 f ( x ) 既有最大值又有最小值; ②函数 f ( x ) 的图象是轴对称图形; ③函数 f ( x ) 在区间 [? π, π] 上共有 7 个零点; ④函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增. 其中真命题是 . (填写出所有真命题的序号)
2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成, 从该 城市市民中随机抽取年龄段在 20~80 岁(含 20 岁和 80 岁)之间的 600 人进行调查,并按年龄层次[20,30) ,[30,40), [40,50), [50,60), [60,70) , [70,80]绘制频率分布直方图, 如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为 “青年人” , [40,60) 为“中年人” , [60,80] 为“老年人”.

频率 组距
0.03 0.02 0.01
O

20

30

40

50

60

70

80

年龄

(Ⅰ)若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替,试估算所调查的 600 人的平均年龄; (Ⅱ)将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率.从该城市 20-80 年龄段市民中随机抽取 3 人,记抽到“老年人”的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

1 6. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAB ? 底面 ABCD , PA ? AB ,点 E 是 PB 的 中点,点 F 在边 BC 上移动. (Ⅰ)若 F 为 BC 中点,求证: EF //平面 PAC ; (Ⅱ)求证: AE ? PF ; (Ⅲ)若 PB ?

2 AB ,二面角 E ? AF ? B 的余弦值等于

11 ,试判断点 F 在边 BC 上的位置,并说明理由. 11
P E

A
3

B F

D

C

17. (本小题满分 13 分) 若有穷数列 a1 ,a2 ,a3 , 满足条件:ai ? am?i ?1 (i ? 1, 2,3, , am( m 是正整数) 则称其为 “对称数列” . 例 , m) ,

如, 1,2,3,2,1和 1,2,3,3,2,1 都是“对称数列” . (Ⅰ)若 {bn } 是 25 项的“对称数列” ,且 b13 , b14 , b15 , 和S ; (Ⅱ)若 {cn } 是 50 项的“对称数列” ,且 c 26 , c 27 , c28 , 和 S n , 1 ? n ? 50, n ? N? . , c50 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.求 {cn } 的前 n 项 , b25 是首项为 1,公比为 2 的等比数列.求 {bn } 的所有项

18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 a ?

eax ,a?R . x2 ? 1

3 时, 求函数 f ( x ) 的单调区间; 5 1 (Ⅱ)设 g ( x) 为 f ( x ) 的导函数,当 x ? [ , 2e] 时,函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方,求 a 的取值范围. e

4

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 3 3 .过椭圆右顶点 A 的两条斜率乘积为 ? 的直线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,离心率为 2 4 a b 2 2

分别交椭圆 C 于 M , N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 MN 是否过定点 D ?若过定点 D ,求出点 D 的坐标;若不过,请说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) , x1 , x2 , x3 ? R ,且 x1 ? x2 ? x3 . (Ⅰ)当 x1 ? 0 , x2 ? 1 , x3 ? 2 时,若方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根,求实数 m 的值; (Ⅱ)求证:方程 f ?( x) ? 0 有两个不相等的实数根; (Ⅲ)若方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根是 ? , ?

?? ? ? ? ,试比较

x1 ? x2 与 ? , ? 的大小并说明理由. 2

5

北京市朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案(理工类)
一、选择题(满分 40 分) 题号 1 2 答案 D C 3 B 4 A 5 C

2015.1
6 D 7 A 8 C

二、填空题(满分 30 分) 题号 9 答案

10

11

12 11;11

13 120

14 ①②③

2 5 5

2 ; y ? ?x

π 16

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分) 三、解答题(满分 80 分) 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意估算,所调查的 600 人的平均年龄为:

25 ? 0.1 ? 35 ? 0.2 ? 45 ? 0.3 ? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.1 ? 75 ? 0.1 ? 48 (岁)…. …..4 分
(Ⅱ)由频率分布直方图可知, “老年人”所占的频率为

1 . 5 1 5

所以从该城市 20~80 年龄段市民中随机抽取 1 人,抽到“老年人”的概率为 . 依题意,X 的可能取值为 0,1, 2,3 .

1 4 64 P( X ? 0) ? C30 ( ) 0 ( )3 ? 5 5 125 1 4 48 1 P ( X ? 1) ? C3 ( )( ) 2 ? 5 5 125 1 4 12 P( X ? 2) ? C32 ( ) 2 ( ) ? 5 5 125 1 3 1 3 4 0 P( X ? 3) ? C3 ( ) ( ) ? 5 5 125
所以,随机变量 X 的分布列如下表:

X
P

0
64 125

1

2

3
1 125

48 125

12 125

因此,随机变量 X 的数学期望

E( X ) ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 125 125 5

……………..13 分

16. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 在 ?PBC 中,因为点 E 是 PB 中点,点 F 是 BC 中点, 所以 EF // PC .
6

又因为 EF ? 平面 PAC , PC ? 平面 PAC , 所以 EF //平面 PAC .……………..4 分 (Ⅱ)证明: 因为底面 ABCD 是正方形,所以 BC ? AB . 又因为侧面 PAB ? 底面 ABCD ,平面 PAB 且 BC ? 平面 ABCD , 所以 BC ? 平面 PAB . 由于 AE ? 平面 PAB ,所以 BC ? AE . 由已知 PA ? AB ,点 E 是 PB 的中点,所以 AE ? PB . 又因为 PB 平面 ABCD = AB ,

BC =B ,所以 AE ? 平面 PBC .

因为 PF ? 平面 PBC ,所以 AE ? PF .……………..9 分 (Ⅲ)点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点. 因为 PA ? AB , PB ?

2 AB ,所以 PA ? AB .
z F

由(Ⅱ)可知, BC ? 平面 PAB . 又 BC // AD , 所以 AD ? 平面 PAB ,即 AD ?PA , AD ? AB . 所以 AD , AB , AP 两两垂直. 分别以 AD , AB , AP 为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系(如图). 不妨设 AB ? 2 , BF ? m ,则

P E

A(0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , P(0, 0, 2) ,

A F D C

B y

E (0,1,1) , F (m, 2, 0) .
于是 AE ? (0,1,1) , AF ? (m, 2,0) . 设平面 AEF 的一个法向量为 n ? ( p, q, r ) , x F

由?

? n ? AE ? 0, ? ? ?n ? AF ? 0,

得?

? q ? r ? 0, 取 p ? 2 ,则 q ? ? m , r ? m , ?mp ? 2q ? 0.

得 n ? (2, ?m, m) . 由于 AP ? AB , AP ? AD , AB

AD ? A , 所以 AP ? 平面 ABCD .

即平面 ABF 的一个法向量为 AP ? (0,0, 2) .

根据题意,

n ? AP | n | ? | AP |

?

2m 4 ? 2m ? 2
2

?

2 11 ,解得 m ? . 3 11
7

由于 BC ? AB ? 2 ,所以 BF ?

1 BC . 3

即点 F 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点.……………..14 分 17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)依题意, b13 ? 1, b14 ? 2 ,…, b25 ? b13 ? 212 ? 212 . 则 b1 ? b25 ? 212 , b2 ? b24 ? 211 ,…, b12 ? b14 ? 2 .

1 ? ? 212 ?1 ? ( )12 ? 2 ? ? 则 S ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? b12 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 214 ? 3 1 1? 2

……………..6 分

(Ⅱ)依题意, c50 ? c26 ? 24 ? 2 ? 49 ,因为 {cn } 是 50 项的“对称数列” ,所以

c1 ? c50 ? 49, c2 ? c49 ? 47, …, c25 ? c26 ? 1.
所以当 1 ? n ? 25 时, Sn ? ?n2 ? 50n ; 当 26 ? n ? 50 时, S n ? S 25 ? (n ? 25) ?

1 ? (n ? 25)(n ? 26) ? 2 , 2

Sn ? n2 ? 50n ? 1250.
??n 2 ? 50n ? 综上, S n ? ? 2 ? ?n ? 50n ? 1250
18. (本小题满分 13 分)

1 ? n ? 25,n ? N?, 26 ? n ? 50, n ? N? .

……………..13 分

e (3x 2 ? 10 x ? 3) 3 ? (Ⅰ)解:当 a ? 时, f ( x) ? . 5 5( x 2 ? 1)2
由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得 x ?
2

3x 5

1 或 x ? 3; 3

由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10 x ? 3 ? 0 ,解得
2

1 ? x ? 3. 3

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ) , (3, ??) ,单调减区间为 ( ,3) .……………..5 分

1 3

1 3

(Ⅱ)因为 g ( x) ? f ?( x) ?

eax (ax 2 ? 2 x ? a) , ( x 2 ? 1)2

又因为函数 f ( x ) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方,

8

eax eax (ax2 ? 2 x ? a) 1 所以 f ( x) ? g ( x) ,即 2 在 x ? [ , 2e] 恒成立. ? 2 2 e x ?1 ( x ? 1)
又因为

eax ? 0 ,所以 a( x2 ? 1) ? 2 x ? ( x2 ? 1) ,所以 (a ?1)( x2 ? 1) ? 2x . 2 x ?1

又 x ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 ?
2

2x . x ?1
2

设 h( x ) ?

2x 1 ,则 a ? 1 ? h( x)min ( x ? [ , 2e]) 即可. x ?1 e
2

又 h?( x) ?

1 1 2(1 ? x 2 ) 2(1 ? x 2 ) ? .由 h ( x ) ? ? 0 ,注意到 x ? [ , 2e] ,解得 ? x ? 1 ; 2 2 2 2 e e ( x ? 1) ( x ? 1) 1 2(1 ? x 2 ) ? 0 ,注意到 x ? [ , 2e] ,解得 1 ? x ? 2e . 2 2 e ( x ? 1)

由 h?( x) ?

所以 h( x) 在区间

?1 ? ,1? 单调递增,在区间 ?1, 2e? 单调递减. ? ?e ?
1 e

所以 h( x) 的最小值为 h ( ) 或 h(2e) .

2e 4e 4e 2e ? 2 , h(2e) ? 2 ,作差可知 2 , e ?1 4e ? 1 4e ? 1 e ? 1 4e 所以 a ? 1 ? 2 . 4e ? 1
因为 h( ) ?
2

1 e

所以 a 的取值范围是 (??, 19. (本小题满分 14 分)

4e2 ? 4e+1 ). 4e2 ? 1

……………..13 分

? c 3 ? ? ?a 2 ? 4 ? a 2 解: (Ⅰ)由已知得 ? , 解得 ? 2 . ?b ?1 ? 1 ? 3 ?1 ? ? a 2 4b 2
所以椭圆的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………..4 分

(Ⅱ)直线 MN 过定点 D (0, 0) . 说明如下: 由(Ⅰ)可知椭圆右顶点 A(2, 0) . 由题意可知,直线 AM 和直线 AN 的斜率存在且不为 0 .
9

设直线 AM 的方程为 y ? k ( x ? 2) .

由?

? x2 ? 4 y2 ? 4 ? y ? k ( x ? 2)

得 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 .

? ? 256k 4 ?16(1 ? 4k 2 )(4k 2 ?1) ? 16 ? 0 成立,
所以 2 ? xM ?

16k 2 ? 4 8k 2 ? 2 .所以 . x ? M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
8k 2 ? 2 ?4k . ? 2) ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

所以 yM ? k ( xM ? 2) ? k (

于是,点 M (

8k 2 ? 2 ?4k , ). 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2
1 1 ( x ? 2) . ,故可设直线 AN 的方程为 y ? ? 4 4k

因为直线 AM 和直线 AN 的斜率乘积为 ?

1 2 ) ?2 2 ? 8k 2 4 k 同理,易得 xN ? . ? 2 1 1 ? 4(? ) 2 1 ? 4k 4k 8(?
2 ? 8k 2 4k , ). 所以点 N ( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
所以,当 xM ? xN 时,即 k ? ? 直线 MN 的方程为 y ?

1 2k 时, k MN ? . 2 1 ? 4k 2
整理得 y ?

4k 2k 2 ? 8k 2 ? ( x ? ). 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

2k x. 1 ? 4k 2

显然直线 MN 过定点 D (0, 0) . (点 M , N 关于原点对称) 当 xM ? xN ,即 k ? ?

1 时,直线 MN 显然过定点 D (0, 0) . 2
……………..14 分

综上所述,直线 MN 过定点 D (0, 0) . 20. (本小题满分 13 分)

(Ⅰ)当 x1 ? 0 , x2 ? 1 , x3 ? 2 时, f ( x) ? x( x ? 1)( x ? 2) .
2 当 x( x ? 1)( x ? 2) ? mx 时,即 x x ? 3 x ? 2 ? m ? 0 .

?

?

依题意,若方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根,包括两种情况: (1)若 x ? 0 是一元二次方程 x ? 3x ? 2 ? m ? 0 的一个实数根,则 m ? 2 时,方程
2

10

x ? x 2 ? 3 x ? 2 ? m ? ? 0 可化为 x2 ( x ? 3) ? 0 ,恰存在两个相等的实数根 0
(另一根为 3 ). ( 2 ) 若 一 元 二 次 方程 x2 ? 3x ? 2 ? m ? 0 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 则方 程 x2 ? 3 x ? 2 ? m ? 0 的 根 的 判 别 式

m?? ? ? 9 ?4 ( 2 ? m ) ? ,解得 0
两个相等的实数根 所以当 m ? ? (Ⅱ)证明:

1 .此时方程 f ( x) ? mx 恰存在 4

3 (另一根为 0 ). 2

1 或 m ? 2 时,方程 f ( x) ? mx 恰存在两个相等的实数根. ………4 分 4

由 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) , 可得, f ( x) ? x ? ? x1 ? x2 ? x3 ? x ? ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? x ? x1x2 x3 ,
3 2

所以 f ?( x) ? 3x ? 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? x ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? 0 .
2

此一元二次方程的判别式 ? ? ( 4 x1 ? x2 ? x3 )2 ?12( x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 ) ,
2 2 2 则 ? ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? ? x2 ? x3 ? ? ? x3 ? x1 ? ? .

?

?

由 x1 ? x2 ? x3 可得, ? ? 0 恒成立.所以方程 f ?( x) ? 0 有两个不等的实数根. ………8 分 (Ⅲ) ? ?

x1 ? x2 ? ? .说明如下: 2
2

由 f ?( x) ? 3x ? 2 ? x1 ? x2 ? x3 ? x ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? 0 ,得

3 ? x1 ? x2 ? x ?x f ?( 1 2 ) ? ? ( x1 ? x2 ? x3 ) ? x1 ? x2 ? + x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 . 2 4
2

=x1 x2
即 f ?(

?x ? x ? ? 1 2
4

2

?x ? x ? ?? 1 2
4

2

? 0.

x1 ? x2 x ?x x ?x ) ? 3( 1 2 ? ? )( 1 2 ? ? ) ? 0 , 2 2 2 x ? x2 ??. 由 ? ? ? ,得 ? ? 1 2

………13 分

11


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