高中数学讲义-极坐标与参数方程

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极坐标与参数方程
一、教学目标
本次课是一堂新课, 通过本次课的学习, 让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知 识, 掌握极坐标与直角坐标的相互转化, 掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。 深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。

二、考纲解读
极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一, 只有理科生选学。 在每年的高考试 卷中,极坐标和参数方程都是放在一道填空题中,与平面几何作为二选一的考题出现的。由 于极坐标是新添的内容,考纲要求比较简单,所以在考试中一般以基础题出现,不会有很难 的题目。

三、知识点回顾
(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数,即

? x ? f (t ) ? ? y ? f (t )
并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程 组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 ○.设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A =

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .
2 ○.线段 AB 的中点所对应的参数值等于 2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

t A ? tB . 2

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x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

中 心 在 点 ( x0,y0 ) 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程

? x ? x0 ? a cos? , (?为参数) ? ? y ? y0 ? b sin ? .
4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:

x ? a sec? y ? btg?

( ? 为参数)

(或

x ? btg? ) y ? asec?

5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
直线的参数方程和参数的几何意义

(t 为参数,p>0)

过定点 P 0, 0) 倾斜角为 ? 的直线的参数方程是 (x y , (三)极坐标系

? x ? x 0 ? t cos? (t 为参数) . ? y ? y ? t sin ? 0 ?

1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长 度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

M

?
?

O

图1

x

2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐

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标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、? 对 应惟一点 P( ? ,? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这 些坐标又有规律可循的,P( ? , ? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,?

? + (2k ? 1)? ) ( k ? Z). , 极点的极径为 0, 而极角任意取. 若对 ? 、 的取值范围加以限制. 则
除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0, ? < 2? 或 ? <0,? ? < ? ≤ ? 等. 0≤ 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中, 点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: ⑴? ? ? 0 ⑷? ? ⑵? ?

a cos ? a sin ?

⑶? ? ? ⑹? ?

a cos ?

a sin ?

⑸? ? ?

a cos(? ? ? )

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??
a sin?

a ?? sin ?

图6
??
a cos( ? ? ) ?

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4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 ( a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos( ? ? ) ?

a ?
?

M
?

M

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?
直角坐标互化公式:

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )
5 、 极坐标与

y

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ?y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

(直极互化 图)

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四、例题讲解
1、已知一条直线上两点 M 1 ?x1 , y1 ? 、 M 2 ?x2 , y2 ? ,以分点 M(x,y)分 M 1 M 2 所成的比 ?
为参数,写出参数方程。

? 3 t ?x ? 3 ? ? 2 (t 为参数)的倾斜角是 2、直线 ? ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
A.

? 6

B.

? 3

C.

5? 6

D.

2? 3
( D.双曲线 )

3、方程 ?

? x ? ?1 ? t cos ? (t 为非零常数, ? 为参数)表示的曲线是 ? y ? 3 ? t sin ?
B.圆 C.椭圆

A.直线

? x ? 5 cos? 5 4、已知椭圆的参数方程是 ? ( ? 为参数) ,则椭圆上一点 P ( , ? 2 3 )的离 2 ? y ? 4 sin ?
心角可以是 A.

? 3

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

5? 3

5、把弹道曲线的参数方程
x ? v0 cos? ? t , ? ? ? y ? v sin ? ? t ? 1 gt 2 , 0 ? 2 ?

(1) 化成普通方程. ( 2)

6、将下列数方程化成普通方程.
2 ? 1 ? 1? t2 ? x? x? 2 ? 2 ? ? x ? a(t ? t ) 2 ? x ? 2t ? x ? ?m y ? 1 ? ? 1? t 1 ? t ,④ ? ①? ,② ? ,③ ? ,⑤ ? . ? ? y ? m x? 1 ? y ? 2t ? y ? 2t ? y ? b(t ? 1) ? y ? 2t ? ? ? t 1? t2 ? ? 1? t 2 ?

? x ? a cos? , 6 ○ ? y ? b sin ?. (?为参数, a ? b ? 0) ?

? x ? cos2 ? 7 ○? ? y ? sin ?

7、直线 3x-2y+6=0,令 y = tx +6(t 为参数) .求直线的参数方程.

? x ? 3t ? 5 cos? ? 1 8、已知圆锥曲线方程是 ? 2 ? y ? ?6t ? 4 sin ? ? 5
(1) 若 t 为参数, ? 为常数,求该曲线的普通方程,并求出焦点到准线的距离;

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(2) 若 ? 为参数,t 为常数,求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。

9、在圆 x2+2x+y2=0 上求一点,使它到直线 2x+3y-5=0 的距离最大.

10、在椭圆 4x2+9y2=36 上求一点 P,使它到直线 x+2y+18=0 的距离最短(或最长) .

11、已知直线;l: ? x ? ?1 ?43t 与双曲线(y-2)2-x2=1 相交于 A、B 两点,P 点坐标 P(-1, ?y ? 2 ? t ?
2)。求: (1)|PA|.|PB|的值; (2)弦长|AB|; 弦 AB 中点 M 与点 P 的距离。

12、已知 A(2,0),点 B,C 在圆 x2+y2=4 上移动,且有 ?BAC ? ? 求 ?ABC重心 G 的轨迹
方程。

2 3

13、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 和圆 x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点 P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2| 32 8

达到最大值,并求出此最大值。

14、已知直线 l 过定点 P(-2,0),与抛物线 C: x2+ y-8=0 相交于 A、B 两点。 (1)若 P 为线
段 AB 的中点,求直线 l 的方程; (2)若 l 绕 P 点转动,求 AB 的中点 M 的方程.

15、椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上是否存在点 P,使得由 P 点向圆 x2+y2=b2 所引的两条切 a2 b2

线互相垂直?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。

16、在同一极坐标系中与极坐标 M(-2, 40°)表示同一点的极坐标是(
(A) (-2, 220°) (B)(-2, 140°) (C)(2,-140°)

) (D)(2,-40°)

17、 已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A(4, 0°), B(-4,-120°), C(2 3 +2, 30°),
则△ABC 为( )。 (A)正三角形 (C)直角非等腰三角形 (B)等腰直角三角形 (D)等腰非直角三角形 )

18、在直角坐标系中,已知点 M(-2,1),以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标
系,当极角在(-π ,π ] 内时,M 点的极坐标为(

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(A)( 5 ,π -argtg(- (C) (- 5 ,π -argtg

1 )) 2

? ? 19、把点 A(?5, ), B (3,? ) 的极坐标化为直角坐标。 6 4

1 ) 2

1 ) 2 1 (D) 5 ,-π +argtg ) ( 2
(B) (- 5 ,argtg(-

20、把点 M (? 3,?1), N (0,?3), P( 2, 0) 的直角坐标化为极坐标。

? 21、已知正三角形 ABC 中,顶点 A、B 的极坐标分别为 A(1,0), B( 3 , ) ,试求顶点 C 的极坐标。 2 2 2 22、化圆的直角方程 x +y -2ax=0 为极坐标方程。 ep 23、化圆锥曲线的极坐标方程 ? ? 为直角坐标方程。 i ? e cos ? 24、讨论下列问题: (1)在极坐标系里,过点 M(4,30°)而平行于极轴的直线 ? 的方程是( )
(A) ? sin ? =2 (B) ? sin ? =-2 (2)在极坐标系中,已知两点 M1(4,arcsin 段 M1M2 的中点极坐标为( arcsin ) (C) ? cos? ? 2 (D) ? cos? ? ?2

2 2 1 ),M2(-6,-π -arccos(- )),则线 3 3 2 2 (A)(-1,arccos ) (B)(1, 3

1 ) 3

2 2 1 )) (D)(1,-arcsin ) 3 3 (3)已知 P 点的极坐标是(1,π ),则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) 。 (A)ρ =1 (B)ρ =cosθ (C)ρ cosθ =-1 (D)ρ cosθ =1 (4)若ρ >0,则下列极坐标方程中,表示直线的是( ) 。
(C)(-1,arccos(- (A)θ = ≤θ ≤π ) (5) 若点 A(-4, 坐标是 (6)直线ρ cos(θ -

? 3

(B)cosθ =

3 (0≤θ ≤π ) 2

(C)tgθ =1

(D)sinθ =1(0

7 ? π )与 B 关于直线θ = 对称,在ρ >0, -π ≤θ <π 条件下,B 的极 6 3


? )=1 与极轴所成的角是 4

。 。

(7)直线ρ cos(θ -α )=1 与直线ρ sin(θ -α )=1 的位置关系是 (8) 直线 y=kx+1 (k<0 且 k≠-

1 2 )与曲线ρ sinθ -ρ sin2θ =0 的公共点的个数是 ) ( 。 2 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3

25、讨论下列问题;
(1)圆的半径是 1,圆心的极坐标是(1, 0),则这个圆的极坐标方程是( ) 。 (A)ρ =cosθ (B)ρ =sinθ (C)ρ =2cosθ (D)ρ =2sinθ (2)极坐标方程分别是ρ =cosθ 和ρ =sinθ 的两个圆的圆心距是( ) 。

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2 2 (3)在极坐标系中和圆ρ =4sinθ 相切的一条直线方程是( ) (A)ρ sinθ =2 (B)ρ cosθ =2 (C)ρ sinθ =4 (D)ρ cosθ =4 (4)圆 ? =Dcosθ -Esinθ 与极轴相切的充分必要条件是( )
(A)2 (B) 2 (C)1 (D) (A)D·E=0 (B)D +E =0 (C)D=0,E≠0 (5)圆
2 2

(D)D≠0,E=0 。

? ? 2 3 sinθ -2cosθ 的圆心的极坐标为

(6) 若圆的极坐标方程为ρ =6cosθ ,则这个圆的面积是 。 (7)若圆的极坐标方程为ρ =4sinθ ,则这个圆的直角坐标方程为 。 (8)设有半径为 4 的圆,它在极坐标系内的圆心的极坐标为(-4, 0),则这个圆的极坐标 方程为 。

26、当 a、b、c 满足什么条件时,直线 ? ?

1 与圆 ? ? 2c cos? 相切? a cos ? ? b sin ?

27、试把极坐标方程

2 2 化为直角坐标方程,并就 m 值的变化 m? cos ? ? 3? sin ? ? 6cos? ? 0
1 1 ? 为常数学。 | FA | | FB |

讨论曲线的形状。

28、过抛物线 y2=2px 的焦点 F 且倾角为 ? 的弦长|AB|,并证明:

29、设椭圆左、右焦点分别为 F1、F2,左、右端点分别为 A、A’,过 F1 作一条长度等于椭圆短轴长的
弦 MN,设 MN 的倾角为 ? .(1)若椭圆的长、短轴的长分别为 2a,2b,求证:

cos2 ? ?

a ; a?b

(2)若|AA’|=6,|F1F2|= 4 2 ,求 ? .
2 2 30、求椭圆 x ? y ? 1 的过一个焦点且互相垂直的焦半径为直角边的直角三角形面积的最小值。 a2 b2

五、参考答案


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