平面向量练习题(二) 菁优网


平面向量练习题(二)
一.选择题(共 30 小题) 1. (2014?上海模拟)已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点.若 A 0 . B . C . D . ,则 的最小值是( )

2. (2014?福州一模)如图,设向量 有可能的位置区域正确的是( A B . . )

=(3,1) ,

=(1,3) ,若





,且 λ≥μ≥1,则用阴影表示 C 点所

C .

D .

3. (2014?重庆模拟)正△ ABC 边长等于 A . B .

,点 P 在其外接圆上运动,则 C . D .

的取值范围是(



4. (2014?许昌二模)自平面上一点 O 引两条射线 OA,OB,点 P 在 OA 上运劝,点 Q 在 OB 上运动且保持 定值 a(点 P,Q 不与点 O 重合) ,已知∠ AOB=60°,a= A ( , . ] B ( . ,则 + ] 的取值范围为( D (﹣ . )





]

C (﹣ , .

,7]

5. (2014?绍兴一模)已知点 A,B 分别在直线 x=1,x=3 上,O 为坐标原点,且| 值时, A 0 . ? 的值为( ) C 3 . D 6 .



|=4.当|

+

|取到最小

B 2 .

6. (2014?合肥三模)矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 E、F 分别为 BC、CD 边上动点,且满足 EF=1,则 的最大值为( A 3 . ) B 4 . C 5+ . D 5﹣ . = ,如果 b=4,则△ ABC 的面积是(

?

7. (2014?浙江模拟)设 G 是△ ABC 的重心,且 A 4 B 2 C 4

a

+b

+c



D 4
1









8. (2014?天津二模)已知△ ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 上任意一点,则 值为( A 8 . ) B 9 . C 12 . D 15 .

?(



)的最大

9. (2014?沈阳模拟)如图,各棱长都为 2 的四面体 ABCD 中,

=



=2

,则向量

?

=(



A ﹣ .

B .

C ﹣ .

D .

10. (2014?诸暨市模拟) 已知 Rt△ ABC 中, AB=8, AC=4, BC=4 的最小值是( A ﹣14 . ) B ﹣8 . C ﹣26 .

, 则对于△ ABC 所在平面内的一点 P, ? ( D ﹣30 .

+



11. (2014?洛阳三模)如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值为( )

A .

B 9 .

C .

D ﹣9 .

12. (2014?齐齐哈尔三模)如图所示,点 A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点,若 ,则( )

A 0<m+n<1 .

B m+n>1 .

C m+n<﹣1 .
2

D ﹣1<m+n< . 0

13. (2013?静安区一模)已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心,A、B、C 为△ ABC 的内角,若 则 m 的值为( A 1 . ) B sinA . C cosA . D tanA .



14. (2013?资阳模拟) 如图, 在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中, P 是△ CDE 内 (含边界) 的动点, 设向量 (m,n 为实数) ,则 m+n 的取值范围是( )

A .

(1,3]

B .

[2,4]

C .

[3,4]

D .

[1,5]

15. (2013?福建一模)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD= μ∈R) ,则 λ+ A . μ 的最大值为( B . ) C .

,P 为矩形内一点,且 AP=

.若

(λ,

D .

16. (2013?济南二模)△ ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 A . B . C . D .

,则

的值为(



17. (2013?滨州一模)如图,AB 是圆 O 的直径,P 是圆弧 AB=6,MN=4,则 =( )

上的点,M、N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且

A 13 .

B 7 .

C 5 .

D 3 .

18. (2013?浙江二模)已知△ ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 关系为( ) A. P 在△ ABC 内部 C. P 在 AB 边所在直线上 B. D.

,则点 P 与△ ABC 的

P 在△ ABC 外部 P 是 AC 边的一个三等分点

3

19. (2013?楚雄州模拟)已知点 P 为△ ABC 内一点,且 ( ) A 9:4:1 . B 1:4:9 . C 3:2:1 .

+

+3

= ,则△ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于

D 1:2:3 .

20. (2013?婺城区模拟)在△ ABC 中,已知 =x A 1 . +y ,则 xy 的最大值为( B 2 .

?

=9,sinB=cosA?sinC,S△ABC=6,P 为线段 AB 上的点,且 ) D 4 .

C 3 .

21. (2013?河西区一模) 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 是 AD 的中点, BE 与 AC 相交于点 F, 若 n∈R) ,则 的值为( A 2 . ) B ﹣2 . C 3 . D ﹣3 .

(m,

22. (2013?长春一模)直线 l1 与 l2 相交于点 A,动点 B、C 分别在直线 l1 与 l2 上且异于点 A,若 60°, A 2π . ,则△ ABC 的外接圆的面积为( B 4π . C 8π . ) D 12π .



的夹角为

23. (2014?吉林二模)如图,在四面体 OABC 中,

,则

=(



A 8 .

B 6 .

C 4 .
2

D 3 .

24. (2013?长宁区一模)在△ ABC 中,若 A 锐角三角形 . B 直角三角形 .

?

+

=0,则△ ABC 是(



C 钝角三角形 .

D 等腰直角三 . 角形

25. (2012?青州市模拟)如图在等腰直角△ ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若 ,则 mn 的最大值为( )

4

A .

B 1 .

C 2 .

D 3 .

26. (2014?洛阳二模)若 , , 均为单位向量,且 ? =﹣ , =x +y (x,y∈R) ,则 x+y 的最大值是( A 2 . B . C . D 1 .



27. (2013?湖南)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的最大值为( A . B . C . D .



28. (2009?济宁一模)在周长为 16 的△ PMN 中,MN=6,则 A [7,+∞) . B (0,7] . C . (7,16]

的取值范围是( D .



[7,16)

29.给定向量 值之差为( A 2 . )

且满足

,若对任意向量 满足

,则

的最大值与最小

B 1 .

C .

D .

30.已知向量 A .

的夹角为 60°, B . C .





共线,则 D 1 .

的最小值为(



5

平面向量练习题(二)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 30 小题) 1. (2014?上海模拟)已知 A、B、C 是单位圆上三个互不相同的点.若 A 0 . 考点: 专题: 分析: B . C . D . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 由题意可得,点 A 在 BC 的垂直平分线上,不妨设单 位圆的圆心为 O(0,0) ,点 A(0,1) ,点 B(x1, y1) ,则点 C(﹣x1,y1) , <1.根据 =2 + =1,且﹣1≤y1 ,则 的最小值是( )

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﹣2y1,再利用二次函数的

性质求得它的最小值.

6

解答:

解:由题意可得,点 A 在 BC 的垂直平分线上,不妨 设单位圆 的圆心为 O(0,0) , 点 A(0,1) ,点 B(x1,y1) ,则点 C(﹣x1,y1) , ﹣1≤y1<1. ∴ = (x1, y1﹣1) , = (﹣x1, y1﹣1) , ∴ 2y1+1 =2 ﹣2y1, 取得最小值为﹣ , =﹣ + ﹣2y1+1=﹣ (1﹣ + ) + =1. ﹣

∴ 当 y1= 时, 故选:C.

点评:

本题主要考查两个向量的数量积公式, 二次函数的性 质,属于中档题.

2. (2014?福州一模)如图,设向量 有可能的位置区域正确的是( A B . . )

=(3,1) ,

=(1,3) ,若





,且 λ≥μ≥1,则用阴影表示 C 点所

C .

D .

考点: 专题: 分析:

解答:

平面向量数量积的运算;二元一次不等式(组)与平 面区域. 平面向量及应用. 利用向量的坐标运算可得 λ,μ 用 x,y 表示.再根据 λ≥μ≥1,即可得出 x,y 满足的约束条件,进而得出可 行域. 解:设 C(x,y) .
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7

∵ =λ



=λ(3,1)+μ(1,3)=(3λ+μ,λ+3μ) ,



,解得



∵ λ≥μ≥1, ∴ .

点评:

故选:D. 本题考查了向量的线性运算和约束条件及其可行域, 属于中档题.

3. (2014?重庆模拟)正△ ABC 边长等于 A . 考点: 专题: 分析: B .

,点 P 在其外接圆上运动,则 C . D .

的取值范围是(



平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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利用正弦定理可得△ ABC 的外接圆的半径 R,利用外接 圆的性质和数量积运算、两角和差的余弦公式、余弦函 数单调性即可得出.

8

解答:

解:如图所示. 由正△ ABC 边长等于 ∴ ∠ AOB=120°,R=

,点 P 在其外接圆上运动. =1.

∴ =

=

=cos∠ POB﹣1﹣cos120°+cos∠ AOP =2cos∠ AOBcos(∠ AOP﹣∠ POB)﹣ =﹣cos(∠ AOP﹣∠ POB)﹣ , ∵ ﹣1≤cos(∠ AOP﹣∠ POB)≤1, ∴ 故选:B. .

点评:

本题考查了正弦定理、三角形的外接圆的性质、数量积 运算、两角和差的余弦公式、余弦函数单调性等基础知 识与基本技能方法,属于中档题.

4. (2014?许昌二模)自平面上一点 O 引两条射线 OA,OB,点 P 在 OA 上运劝,点 Q 在 OB 上运动且保持 定值 a(点 P,Q 不与点 O 重合) ,已知∠ AOB=60°,a= A ( , . 考点: 专题: 分析: ] B ( . C (﹣ , . ,则 + 的取值范围为( )





]

]

D (﹣ .

, 7]

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 作图, 记向量 向量
9

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的夹角为 α, 0°<α<120°可得



的夹角为 120°﹣α,可得

+

=|

|cosα+3|

|cos(120°﹣α) ,

由三角函数的公式化简结合角的范围可得所求. 解答: 解: (如图) 记向量 可得向量 ﹣α, ∴ = = = = + cosα+3 =| |cosα+3| |cos(120°﹣α) 与 与 的夹角为 α, 0°<α<120°

的夹角为 180°﹣(60°+α)=120°

cos(120°﹣α) sinα) sinα)

(cosα﹣ cosα+ (﹣ cosα+ ? sin(α﹣β)

=7sin(α﹣β) ,其中 tanβ= ∵ tanβ= <

=



,∴ 0°<β<30°,

又∵ 0°<α<120°,∴ ﹣30°<α﹣β<120° ∴ ﹣ <sin(α﹣β)≤1 ∴ ﹣ <7sin(α﹣β)≤7,

∴ 故选:D

+

的取值范围为(﹣ ,7]

点评:

本题考查平面向量的数量积的运算,涉及三角函数 的化简及应用,属中档题.

5. (2014?绍兴一模)已知点 A,B 分别在直线 x=1,x=3 上,O 为坐标原点,且| 值时, A 0 ? 的值为( ) C 3
10



|=4.当|

+

|取到最小

B 2

D 6

. 考点: 专题: 分析:





. 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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利用向量的坐标运算法则,及当| 得 ⊥ ,即可得出.

+

|取到最小值时,可

解答:

解:如图所示, 设 A(1,s) ,B(3,t) . ∵ | ﹣ |=4.

∴ |(1,s)﹣(3,t)|=|(﹣2,s﹣t) |= ∴ (s﹣t) =12. | + |=|(4,s+t)|= ≥4,当且仅当 s+t=0
2



时取等号. 因此| + |取到最小值 4 时,s+t=0,
2 2

∴ (﹣t﹣t) =12,得到 t =3. ∴ =3+st=3﹣3=0.

故选:A.

11

点评:

本题考查了向量的坐标运算法则、向量数量积的性质等基 础知识,考查了计算能力,属于中档题.

6. (2014?合肥三模)矩形 ABCD 中,AB=2,AD=1,点 E、F 分别为 BC、CD 边上动点,且满足 EF=1,则 的最大值为( A 3 . 考点: 专题: 分析: ) B 4 . C 5+ . D 5﹣ . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 如图所示,设 E(2,a) ,F(b,1) .由 EF=1,利用 两点之间的距离公式可得(a﹣1) +(b﹣2) =1.利 用数量积运算可得
2 2 2 2

?

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=2b+a,令 a+2b=t 与圆的方

程联立可得 5b ﹣4tb+t ﹣2t+4=0. 当直线 a+2b=t 与圆 有公共点时,△ ≥0,解出即可得出.

12

解答:

解:如图所示, 设 E(2,a) ,F(b,1) . ∵ EF=1,∴
2

=1,即(a﹣1)
2

+(b﹣2) =1. =2b+a,

令 a+2b=t, 联立
2 2



化为 5b ﹣4tb+t ﹣2t+4=0. 2 2 当直线 a+2b=t 与圆有公共点时, △ =16t ﹣20 (t ﹣2t+4) ≥0, 2 解得 t ﹣10t+20≤0, 解得 ∴ ? 的最大值为 . .

故选:C.

点评:

本题考查了两点之间的距离公式、 向量的数量积运算、 直线与圆的位置关系,考查了推理能力和计算能力, 属于中档题.

7. (2014?浙江模拟)设 G 是△ ABC 的重心,且 A 4 . 考点: 专题: B 2 . C 4 .

a

+b

+c

= ,如果 b=4,则△ ABC 的面积是(



D 4 . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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13

分析:

由于 G 是△ ABC 的重心,可得 ,又 相减可得: a +b +c

,于是 = ,两式

,b=c.即可得出.

解答:

解:∵ G 是△ ABC 的重心,∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ a= ∴ ∴ ∴ △ ABC 的面积 = = = ,b=c. ,b=c=4. , = . a +b +c , = , = ,





点评:

故选:D. 本题考查了三角形的重心的性质、向量的运算、共面 向量的基本定理、三角形的面积计算公式,考查了推 理能力和计算能力,属于难题.

8. (2014?天津二模)已知△ ABC 的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,P 为 AB 上任意一点,则 值为( A 8 . ) B 9 . C 12 . D 15 .

?(



)的最大

14

考点: 专题: 分析:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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建立直角坐标系,利用数量积的坐标运算和一次函 数的单调性即可得出.

解答:

解:如图所示,建立直角坐标系. 设 P(x,y) , (0≤x≤3,0≤y≤4) . 则 ? ( ﹣ ) = = (x, y) ? (3, 0) =3x≤9.

当 x=3 时取等号. ∴ ?( ﹣ )的最大值为 9.

故选:B.

点评:

本题考查了数量积的坐标运算和一次函数的单调 性,属于基础题.

9. (2014?沈阳模拟)如图,各棱长都为 2 的四面体 ABCD 中,

=



=2

,则向量

?

=(



A ﹣ . 考点: 专题:

B .

C ﹣ .

D . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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15

分析:

由向量的运算可得 =

= (

) ,

,由数量积的定义可得.

16

解答:

解:∵ = ∴ = ( ∴ = = = = ∴ ? = =



=2 ) ,

, = ,

=

, = ( )?( )

= 故选:B

点评:

本题考查向量数量积的运算,用已知向量表示未知向 量是解决问题的关键,属中档题.

17

10. (2014?诸暨市模拟) 已知 Rt△ ABC 中, AB=8, AC=4, BC=4 的最小值是( A ﹣14 . 考点: 专题: 分析: ) B ﹣8 . C ﹣26 .

, 则对于△ ABC 所在平面内的一点 P, ? ( D ﹣30 .

+



平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 分别以 CB,CA 所在的直线为 x,y 轴建立直角坐标
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系,然后利用向量的数量积的坐标表示求解 ( 解答: + ) ,根据两点间的距离公式即可求解

?

解:分别以 CB,CA 所在的直线为 x,y 轴建立直角 坐标系

∵ AB=8,AC=4 ∴ A(0,4) ,C(0,0) ,B( 设 P(x,y) ,则 , ∴ ∴ ?( = = = 即 ( 的最小, 因为点( 所以 + )

,0) , ,

为△ ABC 内一点到点 ) 距离平方, 当其最小时向量 ? ( + )

)也在△ ABC 内, 最小为 0, 所以 ?

18



+

)的最小值是﹣14.

点评:

故选:A. 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示的应用,解 题的关键是根据所求式子几何意义.

11. (2014?洛阳三模)如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值为( )

A . 考点: 专题: 分析:

B 9 .

C .

D ﹣9 . 向量在几何中的应用. 常规题型. 根据图形知: O 是线段 AB 的中点, 所以 =2 ,

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再根据向量的点乘积运算分析方向与大小即可求出.

解答:

解:∵ 圆心 O 是直径 AB 的中点,∴ + 所以 =2 ? ,∵ 与

=2 共线且方

向相反∴ 当大小相等时点乘积最小.由条件知当 PO=PC= 时,最小值为﹣2× 故选 C =﹣

19

点评:

本题考查了向量在几何中的应用,结合图形分析是解 决问题的关键.

12. (2014?齐齐哈尔三模)如图所示,点 A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点,若 ,则( )

A 0<m+n<1 . 考点: 专题: 分析:

B m+n>1 .

C m+n<﹣1 .

D ﹣1<m+n< . 0 向量在几何中的应用. 平面向量及应用. 不妨取∠ AOB=120°,∠ AOC=∠ BOC=60°,此时四边形 AOBC 为菱形,可得 得到选项. = + ,求出 m,n,从而可

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20

解答:

解:∵ 点 A,B,C 是圆 O 上的三点,线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点, ∴ 不妨取∠ AOB=120°,∠ AOC=∠ BOC=60°,此时四边形 AOBC 为菱形, 则 又∵ = + , ,

∴ m=n=1,则 m+n=2,从而可排除 A,C,D 选项, 故选:B.

点评:

本题主要考查了平面向量的几何意义, 平面向量加法的 平行四边形法则, 平面向量基本定理, 排除法解选择题, 属于中档题.

13. (2013?静安区一模)已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心,A、B、C 为△ ABC 的内角,若 则 m 的值为( A 1 . 考点: ) B sinA . C cosA . D tanA . 平面向量的基本定理及其意义.



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专题:

平面向量及应用.

21

分析:

根据题意画出相应的图形,取 AB 的中点为 D,根 据平面向量的三角形法则可得 接圆的性质可得 OD⊥ AB, 定理可得 量 , 利用外 .由向量共线 . 等式两边同时与向

作数量积, 再利用正弦定理及两角和的余弦公

式即可得出.

解答:

解:如图所示,取线段 AB 的中点 D,连接 DO, 则 ,∵ 点 O 是三角形 ABC 的外接圆的 . . 对等式 作数量积,得 , 化为 ∴ 由正弦定理得 ∴ = =sinA, 故选 B. . ,∴ . , 两边与向量

圆心,∴ OD⊥ AB,∴

22

点评:

本题综合考查了三角形的外接圆的性质、向量的三 角形法则、数量积运算、正弦定理、三角形的内角 和定理、 两角和的圆心公式等基础知识与基本技能, 考查了数形结合的能力、推理能力、计算能力.

14. (2013?资阳模拟) 如图, 在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中, P 是△ CDE 内 (含边界) 的动点, 设向量 (m,n 为实数) ,则 m+n 的取值范围是( )

A (1,3] . 考点:

B [2,4] .

C [3,4] .

D [1,5] . 平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用. 如图所示,连接 AD 交 CE 于点 M,由正六边形的性 质可得点 M 为 CE 的中点.分类讨论:利用向量的加 法和共线定理可得:① 时,m+n=4.② 及

点 P 位于线段 CE 上时,m+n=3.③ 除了① 、② 的情况满 足 3<m+n<4, .综上可得:3≤m+n≤4.

23

解答:

解:如图所示,连接 AD 交 CE 于点 M,由正六边形 的性质可得点 M 为 CE 的中点. ① ∴ 与向量 m+n=4. ② = . ∴ ∴ ,即 ,又 , ,∴ 此时 m+n=3. = ,又 , , ,化为 , , ,

(m,n 为实数)比较可得:

③ 当点 P 位于线段 CE 上时,记作 Q,则 = = = ,此时 m+n=3. ④ 当点 P 不在线段 CE 上时, = = ( 1+λ> =

1) . ∴ 3<(1+λ) (m+n)≤4. 综上可得:3≤m+n≤4. 故选 C.

点评:

本题考查了正六边形的性质、 向量的加法和共线定理、 分类讨论等基础知识与基本技能方法,属于难题.

15. (2013?福建一模)在矩形 ABCD 中,AB=1,AD= μ∈R) ,则 λ+ A . μ 的最大值为( B . ) C .

,P 为矩形内一点,且 AP=

.若

(λ,

D .

24

考点:

平面向量的基本定理及其意义.

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专题: 分析:

平面向量及应用. 可根据条件画出图形,根据图形设∠ PAE=θ,且 0 ,则 又可用 表示为: . 所以根据平面向量基

本定理得到:

,所以

λ+ , 值为

μ=

= 最大值为 1, 所以 的最大



解答:

解:如图,设∠ PAE=θ,

,则:

25

; 又 ;





∴ ; ∴ 的最大值为 .

=

点评:

故选 B. 考查共线向量基本定理,两角和的正弦公式,正弦函 数 sinx 的最大值,以及平面向量基本定理.

16. (2013?济南二模)△ ABC 内接于以 O 为圆心,1 为半径的圆,且 A . 考点: 专题: 分析: B . C . D . 平面向量数量积的运算. 向量法. 将已知等式中的 出 ;将

,则

的值为(



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移到等式的一边,将等式平方求 利用向量的运算法则用

,利用运算法则展开,求出值. 解答: 解:∵ ∴ ∴ ∵ A,B,C 在圆上 ∴ OA=OB=OC=1 ∴ ∴ =

26

= = 故选 A. 本题考查向量的运算法则; 向量模的平方等于向量的 平方;将未知向量用已知向量表示.

点评:

17. (2013?滨州一模)如图,AB 是圆 O 的直径,P 是圆弧 AB=6,MN=4,则 =( )

上的点,M、N 是直径 AB 上关于 O 对称的两点,且

A 13 . 考点: 专题: 分析:

B 7 .

C 5 .

D 3 . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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根据向量减法法则,用





表示





再根据向量数量积运算公式计算,从而求得结果.

解答:

解:连结 AP,BP,则 = ∴ =( + = ﹣ ﹣ , )?( =0﹣



)= +

﹣ ﹣

=1×6﹣1=5,

故选 C.

27

点评:

本题考查向量运算及向量的数量积公式的应用,两 个向量加减法及其几何意义,属于中档题.

18. (2013?浙江二模)已知△ ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 关系为( ) A. P 在△ ABC 内部 C. P 在 AB 边所在直线上 B. D. P 在△ ABC 外部

,则点 P 与△ ABC 的

P 是 AC 边的一个三等分点

考点: 专题: 分析:

向量在几何中的应用. 计算题.

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利用向量的运算法则将等式变形,得到 三点共线的充要条件得出结论.

,据

解答:

解:∵ ∴

, ,∴ ,

∴ P 是 AC 边的一个三等分点. 故选项为 D

点评:

本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件.

28

19. (2013?楚雄州模拟)已知点 P 为△ ABC 内一点,且 ( ) A 9:4:1 . B 1:4:9 . C 3:2:1 .

+

+3

= ,则△ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于

D 1:2:3 . 向量在几何中的应用. 计算题;压轴题.

考点: 专题: 分析:

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先将已知向量式化为两个向量共线的形式,再利用平行四边 形法则及向量数乘运算的几何意义,三角形面积公式确定面 积之比

解答:

解:∵ + ∵ ∴

+3

= ,∴ + ,

=﹣

+

) ,如图:

∴ F、P、G 三点共线,且 PF=2PG,GF 为三角形 ABC 的中位 线



=

=

=

=2

而 S△APB= S△ABC ∴ △ APB,△ APC,△ BPC 的面积之比等于 3:2:1 故选 C

29

点评:

本题考查了向量式的化简,向量加法的平行四边形法则,向 量数乘运算的几何意义等向量知识,充分利用向量共线是解 决本题的关键

20. (2013?婺城区模拟)在△ ABC 中,已知 =x A 1 . 考点: +y ,则 xy 的最大值为( B 2 .

?

=9,sinB=cosA?sinC,S△ABC=6,P 为线段 AB 上的点,且 ) D 4 . 向量在几何中的应用;平面向量的综合题;正弦定理 的应用.
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C 3 .

专题:

计算题;解三角形.

30

分析:

△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b,由 sinB=cosA?sinC 结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC 的值,再由 ? =9,S△ABC=6 可得 bccosA=9,

bcsinA=6 可求得 c,b,a,建立以 AC 所在的直线 为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴建立直角坐标系, 由 P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1) ,





则|

|=|

|=1,

=(1,

0) ,

=(0,1) ,由

=x

+y

推出 x

与 y 的关系式,利用基本不等式求解最大值.

31

解答:

解:△ ABC 中设 AB=c,BC=a,AC=b ∵ sinB=cosA?sinC,sin(A+C)=sinCcosnA,即 sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ∴ sinAcosC=0 ∵ sinA≠0∴ cosC=0 C=90° ∵ ? =9,S△ABC=6

∴ bccosA=9, bcsinA=6 ∴ tanA= ,根据直角三角形可得 sinA= ,cosA= , bc=15 ∴ c=5,b=3,a=4 以 AC 所在的直线为 x 轴,以 BC 所在的直线为 y 轴 建立直角坐标系可得 C(0,0)A(3,0)B(0,4) P 为线段 AB 上的一点,则存在实数 λ 使得 =(3λ,4﹣4λ) (0≤λ≤1)





则| =(0,1) ,

|=|

|=1,

=(1,0) ,

∴ =x

+y

=(x,0)+(0,y)=(x,y)

可得 x=3λ,y=4﹣4λ 则 4x+3y=12, 12=4x+3y≥ ,xy≤3 故所求的 xy 最大值为:3. 故选 C.

32

点评:

本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形 的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解 最值问题,解题的关键是理解把已知所给的 是

一个单位向量,从而可用 x,y 表示

,建立 x,y

与 λ 的关系,解决本题的第二个关键点在于由 x=3λ, y=4﹣4λ 发现 4x+3y=12 为定值,从而考虑利用基本 不等式求解最大值.

21. (2013?河西区一模) 在平行四边形 ABCD 中, 点 E 是 AD 的中点, BE 与 AC 相交于点 F, 若 n∈R) ,则 的值为( A 2 . 考点: ) B ﹣2 . C 3 . D ﹣3 .

(m,

向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义.
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专题: 分析:

平面向量及应用. 利用三角形的相似,可得 运算,即可得到结论. ,再利用向量的加法

解答:

解:因为 AD∥ BC,所以△ AEF∽ △ CBF, 因为点 E 是 AD 的中点,所以 所以 ∵ ∴ ∵ ∴ m= ,n=﹣ , = .

33

∴ =﹣2. 故选 B.

点评:

本题考查向量的加法运算, 考查三角形相似知识的运用, 考查学生的计算能力,属于中档题.

22. (2013?长春一模)直线 l1 与 l2 相交于点 A,动点 B、C 分别在直线 l1 与 l2 上且异于点 A,若 60°, A 2π . 考点: 专题: 分析: ,则△ ABC 的外接圆的面积为( B 4π . C 8π . ) D 12π . 向量在几何中的应用. 平面向量及应用.



的夹角为

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先根据题意作图,从而得到∠ BAC=60°,再根据正弦定 理可求出△ ABC 的外接圆的半径, 最后利用圆的面积公 式解之即可.

34

解答:

解:根据题意可知∠ BAC=60°, 根据正弦定理可知



∴ R=2 则△ ABC 的外接圆的面积为 π×2 =4π 故选 B.
2

点评:

本题主要考查了向量的夹角, 以及正弦定理的应用和圆 的面积的度量, 同时考查了运算求解的能力, 属于基础 题.

23. (2014?吉林二模)如图,在四面体 OABC 中,

,则

=(



A 8 . 考点: 专题: 分析:

B 6 .

C 4 .

D 3 . 平面向量数量积的运算. 平面向量及应用.

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根据题意,求出

?

的表达式,再利用余弦定理求

出 cos∠ AOC 以及 cos∠ BOC 的值,即可得出答案.

35

解答:

解:∵ ? = =3| ? ﹣

= ?

?(





|cos∠ AOC﹣|

|cos∠ BOC,

且 cos∠ AOC=

=



cos∠ BOC=

= AC=BC, ∴ 3| |cos∠ AOC﹣|



|cos∠ BOC

=3|





|



=



点评:

=4; 故选:C. 本题考查了平面向量数量积的运算以及余弦定理的 应用问题,是易错题.

24. (2013?长宁区一模)在△ ABC 中,若 A 锐角三角形 . 考点: B 直角三角形 .

?

+

2

=0,则△ ABC 是(



C 钝角三角形 .

D 等腰直角三 . 角形 平面向量数量积的含义与物理意义.

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专题:

计算题.

36

分析:



,得: ,即: 得出

答案. 解答: 解:由 得 即 所以△ ABC 是直角三角形. 故选 B. , ,

点评:

本题主要考查了平面向量数量积的含义与物理意义, 关 键是通过向量的数量积为 0 得垂直关系, 解题时经常用 到.

25. (2012?青州市模拟)如图在等腰直角△ ABC 中,点 O 是斜边 BC 的中点,过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N,若 ,则 mn 的最大值为( )

A . 考点:

B 1 .

C 2 .

D 3 . 向量在几何中的应用;基本不等式在最值问题中的 应用.
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专题: 分析:

计算题. 利用三角形的直角建立坐标系,求出各个点的坐标, 有条件求出 M 和 N 坐标,则由截距式直线方程求出 MN 的直线方程,根据点

37

解答:

O(1,1)在直线上,求出 m 和 n 的关系式,利用 基本不等式求出 mn 的最大值, 注意成立时条件是否 成立. 解:以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系,设等腰 直角△ ABC 的腰长为 2, 则 O 点坐标为(1,1) ,B(0,2) 、C(2,0) , ∵ ∴ ∴ 、 , , , ,

∴ 直线 MN 的方程为 ∵ 直线 MN 过点 O(1,1) , ∴ ∵ ∴ =1,即 m+n=2

(m>0,n>0) , ,

∴ 当且仅当 m=n=1 时取等号,且 mn 的最大值为 1. 故选 B.

38

点评:

本题的考查了利用向量的坐标运算求最值问题,需 要根据图形的特征建立坐标系,转化为几何问题, 根据条件求出两数的和,再由基本不等式求出它们 的积的最大值,注意验证三个条件:一正二定三相 等,考查了转化思想.

26. (2014?洛阳二模)若 , , 均为单位向量,且 ? =﹣ , =x +y (x,y∈R) ,则 x+y 的最大值是( A 2 . 考点: B . C . D 1 . 平面向量的综合题; 平面向量的基本定理及其意义.
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专题: 分析:

计算题;压轴题. 由题设知 =
2

=x +y ﹣
2

2

2

xy=1,设 x+y=t,y=t﹣x,得 3x ﹣3tx+t ﹣1=0,由 2 2 2 2 方程 3x ﹣3tx+t ﹣1=0 有解, 知△ =9t ﹣12 (t ﹣1) ≥0, 由此能求出 x+y 的最大值.

解答:

解:∵ , , 均为单位向量, 且 ? =﹣ , =x +y (x,y∈R) , ∴ = =x +y ﹣
2 2

xy=1, 2 2 设 x+y=t,y=t﹣x,得:x +(t﹣x) ﹣x(t﹣x)﹣
39

1=0, ∴ 3x ﹣3tx+t ﹣1=0, 2 2 ∵ 方程 3x ﹣3tx+t ﹣1=0 有解, 2 2 ∴ △ =9t ﹣12(t ﹣1)≥0, 2 ﹣3t +12≥0, ∴ ﹣2≤t≤2 ∴ x+y 的最大值为 2. 故选 A. 本题考查平面向量的综合运用,解题时要认真审题, 仔细解答,注意平面向量的数量积和换元法的灵活 运用.本题也可用基本不等式解答
2 2

点评:

27. (2013?湖南)已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的最大值为( A . 考点: B . C . D . 平面向量数量积的运算;向量的模.



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专题: 分析:

压轴题;平面向量及应用. 通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和圆的 方程及数形结合即可得出.

解答:

解:∵ | |=| |=1,且 ∴ 可设 . ∴ ∵ ∴ ﹣1) =1.
2

, , ,

. , ,即(x﹣1) +(y
2

40



的最大值=

=



故选 C.

点评:

熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合 是解题的关键.

28. (2009?济宁一模)在周长为 16 的△ PMN 中,MN=6,则 A [7,+∞) . 考点: B (0,7] . C (7,16] .

的取值范围是( D [7,16) .



平面向量数量积的运算;余弦定理.

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专题: 分析:

计算题;压轴题. 利用向量的数量积公式表示出向量的数量积;利用三 角形的余弦定理求出向量的夹角余弦;通过求二次函 数的对称轴求出范围.

解答:

解:设 PM=x,则 PN=10﹣x,∠ MPN=θ 所以 =x(10﹣x)cosθ

在△ PMN 中,由余弦定理得 cosθ=



,解得 2<x<8



(2<x<8) ,是一个开口向上

41

的二次函数,对称轴为 x=5 当 x=5 时最小为 7,当 x=2 或 x=8 时最大为 16 故答案为[7,16) 故选 D.

点评:

本题考查向量的数量积公式、三角形的余弦定理、二 次函数的最值求法.

29.给定向量 值之差为( A 2 . 考点: 专题: 分析: )

且满足

,若对任意向量 满足

,则

的最大值与最小

B 1 .

C .

D . 向量的模.

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计算题;压轴题.



=

可得

⊥ ,有| + |=| ﹣ |=1,当



时,把 | |=1,故

展开化简可得 的最大值为 1,最小值为 0.

解答:

解: ∵ 对任意向量 满足 ∴ 当 ∵ 由
42

, ⊥.

=

时, ? =0,故

,由向量加减法的几何意义得| + |=1. 可得, ? ﹣ ?

( + )+ ∴

=0,∴ = ?( + ) ,

=| |?| + |=| |,∴ | |=1, 的最大值与最小值之差为 1﹣0=1,

又∵ | |≥0,故 故选 B. 点评:

本题考查向量的模的定义,向量加减法的几何意义, 两个向量垂直的条件.

30.已知向量 A . 考点:

的夹角为 60°, B . C .





共线,则 D 1 .

的最小值为(



两向量的和或差的模的最值.

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专题: 分析:

计算题;压轴题.

要求 将

的最小值,根据 表达为 λ(



共线,可

)的形式,代入构造一个关于

λ 的二次函数,利用求二次函数最佳的办法进行求 解.

解答:

解:∵ 根据 ∴ 令 则 = =λ(

与 )

共线,

= =

43

∵ 向量 ∴ ∴

的夹角为 60°, , =







的最小值为

点评:

故选 C 求最小值的办法有多种:① 构造函数,根据求函数值 域(最值)的办法解答;② 利用基本不等式③ 利用线 性规划.等等,解题时我们要根据题目中已知的条 件,选择转化的方向.

44


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