2019学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换学案 新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换

一、选择题

[A 级 基础巩固]

1.函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2 B.23π C.π D.2π

解析:因为 y= 3sin 2x+cos 2x

=2??? 23sin 2x+21cos 2x???

=2sin???2x+π6 ???,

所以最小正周期为 T=2ωπ =22π =π .

答案:C

2.若函数 f(x)=-sin2 x+12(x∈R),则 f(x)是(

)

A.最小正周期为π2 的奇函数

B.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析:f(x)=-1-c2os 2x+12=12cos 2x.

答案:D

3.已知 cos???x-π6 ???=- 33,则 cos x+cos???x-π3 ???的值是(

)

A.-2 3 3 B.±2 3 3 C.-1 D.±1

解析 :cos

x+cos???x-π3 ???=cos

x+

1 2

cos

x+

3 2

sin

x



3 2

cos

x+

3 2

sin

x=

3

??? 23cos x+12sin x???= 3cos???x-π6 ???=-1.
答案:C 4.若 sin(α + β )cos β -cos(α + β )sin β =0,则 sin(α +2 β )+sin(α

1

-2 β )等于( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 解析:因为 sin(α + β )cos β -cos(α + β )sin β =sin(α + β - β )=
sin α =0, 所以 sin(α +2 β )+sin (α -2 β )=2sin α cos 2 β =0. 答案:C

5.若函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x,0≤x<π2 ,则 f(x)的最大值是( )

A.1 B.2 C. 3+1 D. 3+2

解析:f(x)=(1+ 3tan x)cos x=

???1+

3

sin cos

xx???cos

x=

3sin x+cos x=

2sin???x+π6 ???.

因为

0≤x<π2

,所以π6

≤x+π6

2 <3π



所以当 x+π6 =π2 时,f(x)取到最大值 2.

答案:B 二、填空题 6.已知 α 为第二象限角,sin α =35,则 tan 2α =________.

解析:由 sin α =35,且 α 为第二象限角得,cos α =- 1-sin2α =-45,

所以 tan

α

sin =cos

α α

3 =-4,tan



=12-tatnanα2α

24 =- 7 .

答案:-274

7.若 3sin x- 3cos x=2 3sin(x+φ ),φ ∈(-π ,π ),则 φ =________.

解析:因为 3sin x- 3cos x=2 3??? 23sin x-12cos x???=2 3sin???x-π6 ???,因为 φ ∈(-
π ,π ),所以 φ =-π6 .

答案:-π6

1

3

8. sin

π18-cos

π =________. 18

2

cos 1π8-

3sin

π 18

解析:原式=

sin

1π8cos

π 18



2???21cos

π18- 21sin

23sin
π 9

π18???=4sin
sin

π 9
π 9

=4.

答案:4

三、解答题

9.已知 cos

θ

=-275,θ

∈(π ,2π ),求 sin

θ 2

+cos

θ 2

的值.

解:因为 θ ∈(π ,2π ),

所以θ2 ∈???π2 ,π ???,

所以 sin

θ 2



1-cos 2

θ

=45,

cos

θ 2

=-

1+cos 2

θ

=-35,

所以 sin

θ 2

+cos

θ 2

=15.

10.已知 2sin???π4 +α

???=sin

θ

+cos

θ

,2sin2β

=sin



,求证:sin



1 +2cos

2β =0.

证明:由 2sin???π4 +α ???=sin θ +cos θ ,

得 2cos α + 2sin α =sin θ +cos θ ,

两边平方得,2(1+sin 2α )=1+sin 2θ ,①

又 sin2β =sin 2θ ,② 由①②两式消去 sin 2θ ,得 2(1+sin 2α )=1+2sin2β ,

即 2sin 2α +cos 2β =0,所以 sin 2α +12cos 2β =0.

B 级 能力提升

1.(2016·山东卷)函数 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)的最小正周期是 ()

A.π2

B.π

3

C.3π2

D.2π

解析:法一:因为 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)

=4??? 23sin x+12cos x?????? 23cos x-12sin x???

=4sin???x+π6 ???cos???x+π6 ???=2sin???2x+π3 ???, 所以 T=22π =π .

法二:因为 f(x)=( 3sin x+cos x)( 3cos x-sin x)

=3sin xcos x+ 3cos2x- 3sin2x-sin xcos x

=sin 2x+ 3cos 2x=2sin???2x+π3 ???, 所以 T=22π =π .

答案:B 2.在△ABC 中,若 cos A=13,则 sin2B+2 C+cos 2A 等于________.

解析:在△ABC

中,B+2 C=π2

A -2,

所以 sin2B+2 C+cos 2A=sin2???π2 -A2???+cos 2A= cos2 A2+cos 2A=1+c2os A+2cos2 A-1=-19.

1 答案:-9 3.(2015·安徽卷)已知函数 f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)求 f(x)在区间???0,π2 ???上的最大值和最小值. 解:(1)因为 f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x= 2

sin???2x+π4 ???+1, 所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π2 =π .

(2)由(1)的计算结果知,f(x)= 2sin???2x+π4 ???+1.

4

当 x∈???0,π2 ???时,2x+π4 ∈???π4 ,54π ???, 由正弦函数 y=sin x 在???π4 ,54π ???上的图象知, 当 2x+π4 =π2 ,即 x=π8 时,f(x)取得最大值 2+1; 当 2x+π4 =54π ,即 x=π2 时,f(x)取得最小值 0. 综上,f(x)在???0,π2 ???上的最大值为 2+1,最小值为 0.
5


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