2019版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论学业分层测评 新人教B版必修2

2019 版高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与

推论学业分层测评 新人教 B 版必修 2

一、选择题

1.给出下列说法:

①梯形的四个顶点共面;

②三条平行直线共面;

③有三个公共点的两个平面重合;

④三条直线两两相交,可以确定 3 个平面.

其中正确的序号是( )

A.① B.①④ C.②③ D.③④

【解析】 因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行

直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不

一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,

可以确定的平面个数是 1 或 3,所以④不正确.

【答案】 A

2.若 a、b 为异面直线,则( )

①a∩b=?,且 a 不平行于 b;②a? 平面 α ,b?平面 α ,且 a∩b=?;③a? 平面 α ,

b? 平面 β ,且 α ∩β =?;④不存在平面 α 能使 a? α ,且 b? α 成立.( )

A.①②③

B.①③④

C.②③

D.①④

【解析】 ②③中的 a,b 有可能平行,①④符合异面直线的定义.

【答案】 D

3.经过空间任意三点作平面( )

A.只有一个

B.可作两个

C.可作无数多个

D.只有一个或有无数多个

【解析】 若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则可以作出无数多个平面,

选 D.

【答案】 D

4.空间四点 A、B、C、D 共面而不共线,那么这四点中( )

A.必有三点共线

B.必有三点不共线

C.至少有三点共线

D.不可能有三点共线

【解析】 如图①②所示,A、C、D 均不正确,只有 B 正确,如图①中 A、B、D 不共线.





【答案】 B

5.如图 1?2?10,平面 α ∩平面 β =l,A、B∈α ,C∈β ,C?l,直线 AB∩l=D,过 A、

B、C 三点确定的平面为 γ ,则平面 γ 、β 的交线必过( )

图 1?2?10 A.点 A B.点 B C.点 C,但不过点 D D.点 C 和点 D 【解析】 根据公理判定点 C 和点 D 既在平面 β 内又在平面 γ 内,故在 β 与 γ 的交 线上.故选 D. 【答案】 D 二、填空题 6.设平面 α 与平面 β 相交于 l,直线 a? α ,直线 b? β ,a∩b=M,则 M________l. 【解析】 因为 a∩b=M,a? α ,b? β ,所以 M∈α ,M∈β .又因为 α ∩β =l,所 以 M∈l. 【答案】 ∈ 7.如图 1?2?11,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,试根据图形填空:

图 1?2?11 (1)平面 AB1∩平面 A1C1=________; (2)平面 A1C1CA∩平面 AC=________; (3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD=________; (4)平面 A1C1,平面 B1C,平面 AB1 的公共点为________. 【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1 8.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的

平面个数是________. 【解析】 如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,
①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线 AB,A1B1 与 AA1 可以确定一个平面(平面 ABB1A1). ②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1, 直线 AB,AA1 与 A1D1 可以确定两个平面(平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1). ③三条直线 AB,AD,AA1 交于一点 A,它们可以确定三个平面(平面 ABCD,平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1). 【答案】 1 或 2 或 3 三、解答题 9.如图 1?2?12 所示,在空间四边形各边 AD,AB,BC,CD 上分别取 E,F,G,H 四点, 如果 EF,GH 交于一点 P,求证:点 P 在直线 BD 上.
图 1?2?12 【证明】 ∵EF∩GH=P, ∴P∈EF 且 P∈GH. 又∵EF? 平面 ABD,GH? 平面 CBD, ∴P∈平面 ABD,且 P∈平面 CBD, ∴P∈平面 ABD∩平面 CBD, ∵平面 ABD∩平面 CBD=BD,由公理 3 可得 P∈BD. ∴点 P 在直线 BD 上. 10.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【解】 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线 l1,l2,l3 在同一平面内. 证明:法一 ∵l1∩l2=A, ∴l1 和 l2 确定一个平面 α . ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又∵l2? α ,∴B∈α .

同理可证 C∈α .

又∵B∈l3,C∈l3,

∴l3? α .

∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内.

法二 ∵l1∩l2=A,

∴l1、l2 确定一个平面 α .

∵l2∩l3=B,

∴l2、l3 确定一个平面 β . ∵A∈l2,l2? α ,∴A∈α .

∵A∈l2,l2? β ,∴A∈β .

同理可证 B∈α ,B∈β ,C∈α ,C∈β .

∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内,又在平面 β 内.

∴平面 α 和 β 重合,即直线 l1、l2、l3 在同一平面内.

[能力提升]

1.已知 α ,β 为平面,A,B,M,N 为点,a 为直线,下列推理错误的是( )

A.A∈a,A∈β ,B∈a,B∈β ? a? β

B.M∈α ,M∈β ,N∈α ,N∈β ? α ∩β =MN

C.A∈α ,A∈β ? α ∩β =A

D.A,B,M∈α ,A,B,M∈β ,且 A,B,M 不共线? α ,β 重合

【解析】 选项 C 中,α 与 β 有公共点 A,则它们有过点 A 的一条交线,而不是点 A,

故 C 错.

【答案】 C

2.空间中有 A,B,C,D,E 五个点,已知 A,B,C,D 在同一个平面内,B,C,D,E 在

同一个平面内,那么这五个点( )

A.共面

B.不一定共面

C.不共面

D.以上都不对

【解析】 若 B,C,D 共线,则这五个点不一定共面;若 B,C,D 不共线,则这五个点

一定共面,故选 B.

【答案】 B

3.如图 1?2?13 所示,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,O 为 DB 的中点,直线 A1C 交平面 C1BD 于点 M,则下列结论正确的是________.

图 1?2?13 ①C1,M,O 三点共线; ②C1,M,O,C 四点共面; ③C1,O,A,M 四点共面; ④D1,D,O,M 四点共面. 【解析】 在题图中,连接 A1C1,AC(图略),则 AC∩BD=O,A1C∩平面 C1BD=M. ∴三点 C1,M,O 在平面 C1BD 与平面 ACC1A1 的交线上,即 C1,M,O 三点共线, ∴选项①、②、③均正确,④不正确. 【答案】 ①②③ 4.在正方体 AC1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,如图 1?2?14.
图 1?2?14 (1)求证:D、B、E、F 四点共面; (2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置. 【解】 (1)证明:由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行,故 必相交.设交点为 O,则 OC1=C1C.同理直线 DE 与 CC1 也相交,设交点 为 O′,则 O′C1=C1C,故 O′与 O 重合.由此可证得 DE∩BF=O,故 D、B、F、E 四点共面(设为 α ). (2)由于 AA1∥CC1, 所以 A1、A、C、C1 四点共面(设为 β ). P∈BD,而 BD? α ,故 P∈α . 又 P∈AC,而 AC? β ,所以 P∈β ,所以 P∈α ∩β . 同理可证得 Q∈α ∩β ,从而有 α ∩β =PQ. 又因为 A1C? β , 所以 A1C 与平面 α 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点. 连接 A1C,则 A1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点.


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