2015年广州市二测数学试题(文科发排稿)

试卷类型:A

2015 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(文科)
2015.4 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在 的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试 卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 h S1 ? S1S2 ? S2 ,其中 S1 , S2 分别是台体的上,下底面积, h 是台体的高. 台体的体积公式 V ? 3
锥体的体积公式 V ?

?

?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. sin 240 的值为

A.

3 2
x

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

2.已知函数 f ? x ? ? 3 A. ? log3 2 3.已知双曲线 C :

? x ? R? 的反函数为 g ? x ? ,则 g ? ?
B. log3 2

1? ?? ?2?
D. log2 3

C. ? log2 3

x2 y 2 ? ? 1 经过点 ? 4,3? ,则双曲线 C 的离心率为 4 b2
B.

A.

1 2

3 2

C.

7 2

D.

13 2

数学(文科)试题 A

第 1 页 共 4 页

4.执行如图 1 所示的程序框图,则输出的 z 的值是

开始

x=1, y=2

z=xy

z<20? 否 图1 输出 z C. 34



x=y

y=z

结束 D. 64

A. 21

B. 32

2 5.已知命题 p : ?x ? R , x ? 0 ,命题 q : ?? , ? ? R ,使 tan ?? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ,则下列命

题为真命题的是 A. p ? q B. p ? ? ?q ? C. ? ?p ? ? q D. p ? ? ?q ?

2 6.设集合 A ? x a ? 2 ? x ? a ? 2 , B ? x x ? 4 x ? 5 ? 0 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

?

?

?

?

A. ?1,3?

B. ?1,3?

C. ? ?3, ?1?

D. ? ?3, ?1?

* 7.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 ,且 an?1 ? 4an ? 3 n ? N ,则数列 ?an ? 的通项公式为

?

?

A. 2

2 n ?1

?1

B. 2

2 n ?1

?1

C. 2

2n

?1

D. 2

2n

?1

8.已知函数 f ? x ? ? ?x ? 2x ? 3 ,若在区间 ? ?4, 4? 上任取一个实数 x0 ,则使 f ? x0 ? ? 0 成立的概率为
2

A.

4 25

B.

1 2

C.

2 3

D.1 V C

9.如图 2,圆锥的底面直径 AB ? 2 ,母线长 VA ? 3 ,点 C 在母线 VB 上,且 VC ? 1 , 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点 A 到达点 C ,则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A. 13 B. 7

C.

4 3 3
3 2

D.

3 3 2

A 图2

B

10.设函数 f ? x ? ? x ? 3ax ? 3bx 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?? ?1 ,0 ? , x2 ??1,2? ,则点 ? a, b ? 在 aOb 平面上所构成区域的面积为 A.

1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.1

数学(文科)试题 A

第 2 页 共 4 页

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 i 为虚数单位,复数 z ?

1? i ,则 z ? i

. .

12.已知向量 a ? ? x,1? , b ? ? 2, y ? ,若 a + b ? ?1, ?1? ,则 x ? y ?

13. 某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离 y ? km ? 与刹车时的速度 x ? km/ h ? 的关系可以用 y ? ax2 来描 述,已知这种型号的汽车在速度为 60 km / h 时,紧急刹车后滑行的距离为 b ? km ? .一辆这种型号的 汽车紧急刹车后滑行的距离为 3b ? km ? ,则这辆车的行驶速度为 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 3,在平行四边形 ABCD 中, AB ? 4 ,点 E 为边 DC 的中点, AE 与 BC 的延长线交于点 F ,且 AE 平分 ? BAD ,作 DG ? AE , A 垂足为 G ,若 DG ? 1 ,则 AF 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题) 在在平面直角坐标系中,已知曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? 参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点有 个.

km / h .
D G B 图3 E

F

C

? x ? 4t , ? x ? 3 ? 2t , ( t 为参数)和 ? (t 为 2 y ? 2 t y ? 1 ? 2 t ? ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 外接圆的半径为 14,求△ ABC 的面积. 17. (本小题满分12分) 某市为了宣传环保知识,举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动(一人答一份) .现从回收的 年龄在 20~60 岁的问卷中随机抽取了 100 份,统计结果如下面的 图表所示. 频率/组距 年龄 抽取 答对全卷 答对全卷的人数 分组 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 份数 40
n

的人数 28 27 4

占本组的概率 0.7 0.9

0.04 0.03 c 0.01 0
20 30 40 50 60

10 20

b
0.1

a

(1)分别求出 n , a , b , c 的值;

年龄

(2)从年龄在 ? 40,60? 答对全卷的人中随机抽取 2 人授予“环保之星” ,求年龄在 ?50,60? 的人中至少有 1 人被授予“环保之星”的概率. 数学(文科)试题 A 第 3 页 共 4 页

18. (本小题满分14分)

M , N 分别是 如图4,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为3,
棱 AA1 , AB 上的点,且 AM ? AN ? 1 . (1)证明: M , N , C , D1 四点共面; (2)平面 MNCD1 将此正方体分为两部分,求这两部分的体积 之比. M A1

D1

C1 B1

D

C N 图4 B

A

19. (本小题满分14分)

n ? N * 在直线 l : y ? 3x ? 1 上, P1 是直线 l 与 y 轴的交点,数列 ?an ? 是公差为1 已知点 P n ? an , bn ?
的等差数列. (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若 f ? n ? ? ?

?

?

? an , ?bn ,

是否存在 k ? N ,使 f ? k ? 3? ? 4 f ? k ? 成立?若存在,求出所有 n为偶数,
*

n为奇数,

符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x ? a ? R ? .
2

(1)若函数 f ? x ? 在 x ? 1 处的切线平行于 x 轴,求实数 a 的值,并求此时函数 f ? x ? 的极值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间.

21. (本小题满分14分)
2 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 ? 0, 0 ? 和 ? ?1,1? ,圆 D 的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 4 . 2

(1)求圆 C 的方程; (2)由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A , B 两点,求 AB 的取值范围.

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