高中数学 第一章 三角函数 第13课时 正切函数的图象与性质练习 新人教A版必修4

第 13 课时 正切函数的图象与性质

课时目标 1.掌握正切函数的性质,并会应用其解题. 2.了解正切函数的图象,会利用其解决有关问题. 识记强化 π 1.正切函数 y=tanx 的最小正周期为 π ;y=tan(ω x+φ )的最小正周期为 . |ω |
? ? ? π 2.正切函数 y=tanx 的定义域为?x?x∈R,x≠ +kπ ,k∈Z? 2 ? ? ?

,值域为 R.

π ? π ? 3.正切函数 y=tanx 在每一个开区间?- +kπ , +kπ ?,k∈Z 内均为增函数. 2 2 ? ? 4.正切函数 y=tanx 为奇函数. 5.对称性:正切函数的图象关于原点对称,正切曲线都是中心对称图形,其对称中心 ?kπ ,0?(k∈Z).正切函数无对称轴. 坐标是? ? ? 2 ? 课时作业

一、选择题 1.函数 y=5tan(2x+1)的最小正周期为( π π A. B. 4 2 C.π D.2π 答案:B tanx 2.函数 f(x)= 的奇偶性是( ) 1+cosx A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数,又是偶函数 D.既不是奇函数,也不是偶函数 答案:A tanx 解析:要使函数 f(x)= 有意义, 1+cosx π ? ?x≠kπ + k∈Z 2 必须使? ? ?1+cosx≠0 ,

)

π 即 x≠kπ + 且 x≠(2k+1)π ,k∈Z. 2 tanx 所以函数 f(x)= 的定义域关于原点对称. 1+cosx -x -tanx 又因为 f(-x)= = =-f(x), 1+ -x 1+cosx
1

tanx 所以函数 f(x)= 为奇函数.故选 A. 1+cosx ? π? 3.下列函数中,周期为 π ,且在?0, ?上单调递增的是( ) 2? ? A.y=tan|x| B.y=|tanx| C.y=sin|x| D.y=|cosx| 答案:B 解析:画函数图象,通过观察图象,即可解决本题. x π 4.函数 y=tan( + )的单调递增区间是( ) 2 3 A.(-∞,+∞) 5π π? ? B.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 6 6? ? 5 π π ? ? C.?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z 3 3? ? 5π π? ? D.?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 3 3? ? 答案:C π π? ? 解析:由 y=tanx 的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?, 2 2? ? π x π π ∴kπ - < + <kπ + ,k∈Z 2 2 3 2 5π π ? 2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z.故选 C. 3 3 ? π? 5.函数 y=tan?x+ ?的一个对称中心是( ) 5? ? ?π ? A.(0,0) B.? ,0? ?5 ? 4 π ? ,0? D.(π ,0) C.? ? ? 5 ? 答案:C π kπ kπ π ? π? 解析:令 x+ = ,得 x= - ,k∈Z ,∴函数 y=tan?x+ ? 的对称中心是 5? 5 2 2 5 ? ?kπ -π ,0?.令 k=2,可得函数的一个对称中心为?4π ,0?. ? 2 ? ? 5 ? 5 ? ? ? ? π π ? ? 6.已知函数 y=tanω x 在?- , ?内是减函数,则( ) ? 2 2? A.0<ω ≤1 B.-1≤ω <0 C.ω ≥1 D.ω ≤-1 答案:B π ? π π? 解析:∵y=tanω x 在?- , ?内是减函数,∴ω <0 且 T= ≥π ,∴-1≤ω <0. |ω | ? 2 2? 二、填空题 1 7.函数 y= 的定义域是________. 1+tanx ? ? π π 答案:?xx∈R,x≠kπ + 且x≠kπ - ,k∈Z? 2 4 ? ?

2

1+tanx≠0 ? ? 1 解析:要使函数 y= 有意义,只需? π 1+tanx x≠ +kπ ? 2 ?

π ,k∈Z,解得 x≠kπ + 且 2

? ? π π π 1 的定义域为?xx≠kπ + 且x≠kπ - ,k∈Z?. 2 4 4 1+tanx ? ? 8.方程 x-tanx=0 的实根有________个. 答案:无数 解析: 方程 x-tanx=0 的实根个数就是直线 y=x 与 y=tanx 的图象的交点的个数, 由 于 y=tanx 的值域为 R,所以直线 y=x 与函数 y=tanx 图象的交点有无数个. 9.直线 y=a(a 为常数)与曲线 y=tanω x(ω 为常数,且 ω >0)相交的两相邻交点间的 距离为________. π 答案: ω π π 解析:∵ω >0,∴函数 y=tanω x 的周期为 ,∴两交点间的距离为 . ω ω 三、解答题 ?x π ? 10.求函数 y=tan? - ?的定义域、最小正周期、单调区间和对称中心. ?2 3 ? x π π 解:①由 - ≠kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π 得 x≠2kπ + ,k∈Z. 3 ? ? 5π ∴函数的定义域为?xx≠2kπ + ,k∈Z?. 3 ? ? π ②T= =2π ,∴函数的最小正周期为 2π . 1 2 π x π π ③由 kπ - < - <kπ + ,k∈Z, 2 2 3 2 π 5π 解得 2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z. 3 3 π 5π ? ? ∴函数的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z. 3 3 ? ? x π kπ 2π ④由 - = ,k∈Z,得 x=kπ + ,k∈Z. 2 3 2 3 2π ? ? ∴函数的对称中心是?kπ + ,0?,k∈Z. 3 ? ?

x≠kπ - ,k∈Z.∴函数 y=

11.求函数 y= tanx+1+lg(1-tanx)的定义域. tanx+1≥0 ? ?1-tanx>0 解:由题意,得? π ? ?x≠kπ + 2 ,k∈Z

,即-1≤tanx<1.

? π π? ? π π? 在?- , ?内,满足上述不等式的 x 的取值范围是?- , ?. 2 2 ? ? ? 4 4? 又 y=tanx 的周期为 π , π π? ? 所以所求 x 的取值范围是?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 4 4? ?
3

π π? ? 即函数的定义域为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 4 4? ?

能力提升

π 12. 已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0, |φ |< ), y=f(x)的部分图像如图所示, 2 ?π ? 则 f? ?=________. ?24?

答案: 3

T 3 π π π 解析:由图像知 = π - = ,T= ,ω =2, 2 8 8 4 2 π π π 2× +φ = +kπ ,φ = +kπ ,k∈Z. 8 2 4 π π 又|φ |< ,∴φ = . 2 4 π ∵函数 f(x)的图像过点(0,1),∴f(0)=Atan =A=1. 4 π? ? ∴f(x)=tan?2x+ ?. 4? ? π ?π ? ? π π? ∴f? ?=tan?2× + ?=tan = 3. 3 ?24? ? 24 4 ?

? π π? 2 13.已知函数 f(x)=x +2xtanθ -1,x∈[-1, 3],其中 θ ∈?- , ?. ? 2 2? π (1)当 θ =- 时,求函数的最大值和最小值; 6
(2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数. π 2 3 3? 4 ? 2 解:(1)当 θ =- 时,f(x)=x - x-1=?x- ?2- . 6 3 3? 3 ? ∵x∈[-1, 3], 3 4 ∴当 x= 时,f(x)取得最小值- , 3 3 2 3 当 x=-1 时,f(x)取得最大值 . 3 2 2 (2)f(x)=(x+tanθ ) -1-tan θ 是关于 x 的二次函数,它的图象的对称轴为 x=- tanθ . ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tanθ ≤-1 或-tanθ ≥ 3,即 tanθ ≥1 或 tanθ ≤- 3.
4

? π π? 又 θ ∈?- , ?, ? 2 2?
π ? ?π π ? ? π ∴θ 的取值范围是?- ,- ?∪? , ?. 3? ?4 2? ? 2

5


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