2016届高三数学文科一轮复习(40-44)

2016 届高考文科 数学一轮复习

040. 三角函数的实际应用

【复习目标】 1.能根据实际问题的情况建立合理的三角模型。 2.会根据实际问题中提供的数据,选择较为适当的三角模型,对提出的实际问题给出答案 【课前预学】

1.绕在半径为 50 cm 的轮圈上,绳子的下端 B 处悬挂着物体 W,如果轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转 4 圈,那么需要______秒钟才能把物体 W 的位置向上提升 100 cm.

2.如图,点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置,取向右的方向为 向,若已知振幅为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位 计时。 (1)物体对平衡位置的位移 x(cm)和时间 t(s)之间的函数关系为 (2)该物体在 t=5s 时的位置为 。 .;

物体位移的正方 置最远处时开始

3.水渠横断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为 h,梯形面积为 S,为了使渠道的渗水量达到最小,应使梯 形两腰及下底之和达到最小,此时下底角 α 应该是多少?

【课堂研学】

例 1.已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) . (1)右图是 I ? A sin(?t ? ? ) ( A ? 0 ,ω >0, | ? |? 在一个周期内的图象,根据图中数据 求 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式; (2)如果 t 在任意一段
1 — 900

I
300

?
2



O

1 180

t

1 秒的时间内, 150

—300

电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么ω 的最小正整数值是多少?

例 2. 有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60°,从这个扇形中切割下一个内接矩形,即矩形的各个顶
点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积.

例 3.一半径为 4m 的水轮如图所示,水轮圆心 O 距离水面 2m,已知水轮每分钟转动 4 圈,如果当水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0 )开始计算时间. (1) 将点 P 距离水面的高度 z ( m) 表示为时间 t ( s ) 的函数; (2) 点 P 第一次到达最高点大约要多长时间? y P

O -2

?

4

x

P0

例 4.如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ ABC 外的地方种草,△ ABC 的内接正方 形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=a,∠ABC=θ,设△ ABC 的面积为 S1,正方形的面积为 S2.

(1) 用 a,θ 表示 S1 和 S2; (2) 当 a 固定,θ 变化时,求

S1 取最小值时角 θ 的值. S2

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

040. 三角函数的实际应用
π 1 1.一个单摆,摆角 y(弧度)作为时间 t 秒的函数满足 y= sin(2t+ ),最初位置的摆角 2 2 为 ,单摆的频率为

2.俗话说“一石激起千层浪”,小时候在水上打“水漂”的游戏一定不会忘记吧.现在一个圆形波浪实验 2π 水池的中心已有两个振动源, 在 t 秒内, 它们引发的水面波动可分别由函数 y1=sin t 和 y2=sin(t+ )来描 3 述,当这两个振动源同时开始工作时,要使原本平静的水面保持平静,则需再增加一个振动源(假设不计 其他因素,则水面波动由几个函数的和表达),请你写出这个新增振动源的函数解析式______________. 3.关于函数 f ? x ? ? 4sin 2 x ?

?

?
3

? ? x ? R? ,有下列命题 ?
?
6

①由 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 可得 x1 ? x2 必是 ? 的整数倍; ② y ? f ? x ? 的表达式可改写成 y ? 4cos 2 x ? ③ y ? f ? x ? 的图象关于点 ?

?;

?

?
6

, 0 对称;

?

④ y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称. 其中正确的命题序号为

4.体育馆计划用运动场的边角地建造一个矩形健身室,如图,ABCD 是正方形地皮,边长为 48m,扇形 CEF 是运动场的一部分,半径为 40m,矩形 AGHM 就是计划的健身 在 AB、AD 上,H 在弧 EF 上,设矩形 AGHM 的面积为 S,∠ 室,G、M 分别 HCF= θ ,将 S

表达为θ 的函数,并且指出 H 在弧 EF 上何处时,健身室面积最大,最大值是多少?

5.已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位小时)的函数,记作:y=f(t), 下表是某日各时的浪高数据: t(时) y(米) 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数 y=Acosω t+b (1)根据以上数据,求函数 y=Acosω t+b 的最小正周期 T、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午 8: 00 时至 晚上 20: 00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

6.如图为一个观览车示意图,该观览车半径为 4.8 m,圆上最低点与地面间距离为 0.8 m,60s 转动一圈,图 中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动θ 角到 OB.设点 B 与地面距离为 h. (1) 求 h 与θ 之间的函数解析式; (2) 设从 OA 开始转动,经过 t s 到达 OB,求 h 与 t 之间的函数解析式.

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041. 正弦定理余弦定理(1)

【复习目标】 (1)理解用向量的数量积证明正弦定理、余弦定理的方法; (2)掌握正弦定理,能用正弦定理解三角形;掌握余弦定理,能用余弦定理解三角形。 (3)能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 能根据实际问题的情况建立合理的三角模型。 【课前预学】

1. (1)在 ?ABC 中,若 a ?

5 , b ? 15 , A ? 300 。则 c ?



(2)在△ABC 中,已知 a= 2 ,b=2,∠B=450,则∠A 等于

2.(1)若三角形三边之比为 3: 5: 7,则这个三角形的最大内角为

(2)在△ABC 中,若 sinA: sinB: sinC=5:7:8,则∠B=

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c,且(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角 A 等于

.

4.在 ?ABC 中,若 A ? 60 ,边 AB 的长为 2, ?ABC 的面积为
0

3 ,则 BC 边的长为 2

.

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a ? b ? 3bc , sin C ? 2 3 sin B ,则 A=
2 2

6.试用向量证明余弦定理

1.正弦定理:

a =________ =________=2R . sin A
; ,b= ,c= .

正弦定理可以变形: (1)a∶b∶c= (2)a=

2.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

a2 ?

;

b2 ?

;

c2 ?

.

注:余弦定理可写成如下的形式:

cos A ? ; cos B ? 3.三角形中常用的面积公式 (1) ; (2) ; (3) ; 4.正、余弦定理适用的题型: (1)余弦定理 ① ② (2)正弦定理 ① ②

; cos C ?

.

; ; ; .

【课堂研学】

例 1.在Δ ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 ,B=45°,求 A,C 及边 c.

例 2.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a -c =ac-bc, 求∠A 的大小及

2

2

b sin B 的值 c

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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例 3.已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面积。

例 4.在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对的边 a, b, c 成等比数列。 (1)求证: 0 ? B ?

?
3



(2)求 y ?

1 ? sin 2 B 的取值范围。 sin B ? cos B

例 5.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 (II)若 cosB=

sin C cos A-2 cos C 2c-a = . (I)求 sin A 的值; cos B b

1 ,b=2, ?ABC 的面积 S 4

2 2 2 C 的最小值为 1 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 边 长 分 别 为 a , b, c , 若 a ? b ? 2 c , 则 c o s

_________________________ 2 在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是_______________
2 2 2

3 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=_________ 4 在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? 【巩固拓展】

1 ,则 b=_______ 4
姓名 学号

班级

041. 正弦定理余弦定理(1)
一、基础训练题组 1.在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , ?c ?

2? ,则 a= 3

2.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B = 3.在△ABC 中,a, b, c 分别是内角 A,B,C 的对边,若∠A=1050,∠B=450,b=2 2 ,则 c= 4.在△ABC 中,已知(b+c): (c+a): (a+b)=4: 5: 6,则此三角形的最大内角为 5.在△ABC 中,已知 a=3, c=3 3 ,∠A=300,求∠C 及 b 6.在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 , c ? 3 , cos B ? (1)求 b 的值; (2)求 sin C 的值.

1 . 4

二、能力提升题组 1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c,若 a, b, c 成等比数列,且 c=2a,则 cosB 的值是 2.在△ABC 中,已知内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c,若 b=2a,B=A+600,则 A= 3.在△ABC 中,sin2A-sin2B+sin2C=sinA·sinC,角 B 的大小为 4.在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 , b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小 为 .

1 5. (2014· 镇江期末)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 bcos C+ c=a. 2 (1)求角 B; (2)若 a,b,c 成等比数列,判断△ABC 的形状.

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2016 届高考文科 数学一轮复习 【复习目标】 (1)理解正弦定理,余弦定理。

042. 正弦定理余弦定理(2)

(2)运用正弦定理,余弦定理及三角变换公式进行边角转换,研究三角形的边角关系、判断三角形的形状,

解决三角形中的有关求值问题. 【课前预学】

1.在△ ABC 中, “A>B”是“sinA>sinB”的________________条件. 2.在 ?ABC 中,下列三角函数式: (1) sin( A ? B) ? sin C ; (2) cos( B ? C ) ? cos A ;

(3) tan(

A? B C ) ? tan 2 2


(4) cos(

B?C A ) ? cos 2 2

其中恒为定值的是

3.根据下列条件,判断三角形的形状 (1) ?ABC 中,角 A 、角 B 满足关系式 cos A cos B ? sin A sin B ,则 ?ABC 是 三角形.

(2) ?ABC 中,角 A 、角 B 满足关系式 1 ? tan A ? tan B ? 0 ,则 ?ABC 是

三角形.

5 3 4.在△ABC 中,已知 cosA= ,sinB= ,则 cosC= 13 5 5.设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是_______________ 6.在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

1.三角形中的边角关系 在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B. 2.判定三角形形状的两种常用途径:

提醒: (1)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注 意角 A,B,C 的范围对三角函数值的影响. (2)在判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

【课堂研学】

例 1.(1)在三角形 ABC 中,若 acosA=bcosB,试判断该三角形的形状。 (2)在 ?ABC 中,已知 (a2 ? b2 )sin( A ? B) ? (a2 ? b2 )sin( A ? B) ,试判断该三角形的形状

例 2.在 ?ABC 中,角 A 、B、C 所对的边分别是 a, b, c , tan A ? , cos B ? (1)求角 C; (2)若 ?ABC 的最短边长是 5 ,求最长边的长.

1 2

3 10 . 10

例 3.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且有 sinA-sinC+

2 2 cos(A-C)= ,其 2 2

外接圆半径为 1, (1)求 A、B、C 的大小; (2)求△ABC 的面积。

例 4.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的面积,满足 S ? (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值。

3 2 2 2 (a ? b ? c ) 。 4

例 5.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围

sinA)cosB=0.

在△ ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a , b , c 设 a , b , c 满足 b2+c2-bc=a2 和 tanB 的值.

c 1 ? ? 3 ,求∠A 和 b 2

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

042. 正弦定理余弦定理(2)
一、基础训练题组 1.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC 一定是 状) 2.在△ABC 中,若 sinA-2sinBcosC=0,则△ABC 必定是 三角形(判断形状) A+C=2B,则 sinC= . 三角形(判断形

3.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 , 4.已知 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则 5.在 ? ABC 中,

a?b?c = sin A ? sin B ? sin C

AC cos B ? 。 AB cos C
(2)若 cos A =-

(1)证明 B=C:

1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值. 3 3? ?

二、能力提升题组 1.在△ ABC 中,若

a b c ,则△ ABC 是 ? ? cos A cos B cos C

三角形(判断形状)

2.已知△ ABC 的三边 a、b、c 和面积 S=a2-(b-c)2, 则 cosA=________. 3.在锐角 ?ABC 中,若 C ? 2 B ,则

c 的范围是 b



4.满足条件 AB ? 2, AC ?

2BC 的三角形 ABC 的面积的最大值

1 5. (2014· 镇江期末)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 bcos C+ c=a. 2 (1)求角 B; (2)若 a,b,c 成等比数列,判断△ABC 的形状.

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2016 届高考文科 数学一轮复习 【复习目标】 (1)掌握正弦定理,余弦定理的应用。

043. 解三角形

(2)运用正弦定理,余弦定理、三角形内角和定理及三角形面积公式求解三角形. 【课前预学】

1 1.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为________. 3

2.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为



3. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= 2 ,b= 6 ,∠B=120°,则 a=_______.

4.在 ?ABC 中,三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3 ac,则 B=______.

5. ?ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ,若 a= 3 b,A=2B,则 B=

.

6.(2013· 南京、盐城一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π? (1)若 cos? ?A+6? =sin A,求 A 的值; 1 (2)若 cos A= ,4b=c,求 sin B 的值. 4

1. 解斜三角形的主要依据是:设△ABC 的上边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 (1)角与角的关系:_________________; (2)边与边的关系:a+b>______,b+c>________,c+a>_________; (3)A>B ? sinA>sinB (4)边与角的关系:正弦定理、余弦定理;

它们的变形形式有:a=2RsinA,

sin A a b2 ? c 2 ? a 2 ? , cos A ? . sin B b 2bc

注:解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合三角形中大边对大角定理及几何作图来 帮助理解。 2. 由 A+B+C= ? ,有

s i nB ( ? C ____sinA,cos(B+C)=_____ ) ,tan(B+C)=_________,sin

B?C =__________. 2

【课堂研学】

例 1.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 3bsinC–5csinBcosA=0 (1)求 sinA; (2)若 tan(A-B)= ?

2 ,求 tanC. 11

例 2.在 ?ABC 中,角 A 、B、C 所对的边分别是 a, b, c ,若 b2+c2-a2=bc,且 a= 3 b.求角 C.

例 3.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别是 a, b, c ,且 acosB=3,bsinA=4,求:

(1) 边长 a;

(2)若三角形 ABC 的面积 S=10,求△ABC 的周长 l 。

例 4 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 c=2,C= (1)若△ABC 的面积等于 3 ,求 a、b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积。

? . 3

例 5.直角△ABC 中,AB=2,BC=1,分别在 AB,BC,CA 上取点 D、E、F, 使△DEF 为正三角形,求△DEF 边长的最小值.

A

F

D

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

043. 解三角形

一、基础训练题组 1.在△ABC 中,a=1,c=2,B=60° ,则 b=________. 2.(2014· 无锡调研)在△ABC 中,A=45° ,C=105° ,BC= 2,则 AC 的长度为________. 3.(2014· 镇江质检)在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则 cos C=________. 4. 三角形两边的长分别为 1, 5.在 △ ABC 中,已知 AC (1)求 sin B 的值;

3 ,第三边上的中线长为 1,则三角形的外接圆的半径为____________.
4 5 ?? ? (2)求 sin ? 2 B ? ? 的值. 6? ?

? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? .

6.在△ ABC 中, sin(C ? A) ? 1,sin B ? (1)求 sin A 的值 ;

1 . 3

(2)设 AC ?

6 , 求△ ABC 的面积 .

二、能力提升题组 1.若钝角三角形三边长为 a+1、a+2、a+3,则 a 的取值范围___________. 2. 已知△ ABC 的三边 a、b、c,若∠C= 60 则

a b ? =________. b?c a?c

tan A 2c 3.(2013· 南京一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 1+ = ,则角 A 的大小为 tan B b ________. BC 4.(2014· 南京、盐城一模)在△ABC 中,若 9cos 2A-4cos 2B=5,则 的值为________. AC 5.设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , a ? 2b sin A .

(1)求 B 的大小; (2)求 cos A ? sin C 的取值范围.

6.(2014· 扬州期末)已知在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列. (1)若 b=7,a+c=13,求此三角形的面积; π? (2)求 3sin A+sin? ?C-6?的取值范围.

_______________, _______________, 2016 届高考文科 数学一轮复习 【复习目标】

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044. 正弦定理余弦定理的应用

(1)能运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题; (2)能正确理解坡度、仰角、俯角、视角、方向角、方位角、铅直平面这些概念. 【课前预学】

1.(2013· 南京一模)如图,海岸线上有相距 5 n mile 的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正南方向.海上 停泊着两艘轮船,甲位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向,与 A 相距 3 2 n mile 的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏 西 60° 方向,与 B 相距 5 n mile 的 C 处,则两艘船之间的距离为________n mile.

2.在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30° 、60° , 则塔高为

.

3.一船以每小时 15 km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 M 在北偏东 60° 方向,行驶 4 h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东 15° 方向,这时船与灯塔的距离为________km.

4.某人朝正东方向走 xkm 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3km,结果他离出发点恰好为 3 km,那么 x 的 值为 .

5.线段 AB 外有一点 C,∠ABC=60° ,AB=200 km,汽车以 80 km/h 的速度由 A 向 B 行驶,同时摩托车以 50 km/h 的速度由 B 向 C 行驶,则运动开始____ h 后,两车的距离最小. 6.江岸边有一炮台高 30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得两船的俯角分别 为 450 和 300,而且两条船与炮台底部连线成 300 角,则两船相距_____m

1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水 平视线下方时叫俯角.(如图(a)).

2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方位角为 α(如 图(b)). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)××度.

4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数 5.视角:眼睛观察物体两端的两条视线所成的角

【课堂研学】

例 1.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m ,

BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,
求∠DEF 的余弦值。

例 2.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处 北偏西 75° 方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 的方向逃窜,问缉私船沿什么方向 能最快追上走私船,并求出所需要的时间.

例 3.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O 的东偏南

? (cos? ?

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 450 方向移动,台风 10

侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该 城市开始受到台风的侵袭?

例 4.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从

A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,
速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假 设缆车匀速直线运动的速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

12 3 , cos C ? . 13 5

C

【巩固拓展】

班级

姓名

学号

044. 正弦定理余弦定理的应用
一、基础训练题组 1.两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都为 akm,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20° 的方向,灯塔 B 在观察 站 C 的南偏东 40° 的方向,则灯塔 A 和 B 间的距离为__________ km. 2.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45° 距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔船沿北偏东 105° 方向, C

A

B

以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速 21 海里,则舰艇到达渔船的最短时间是

3.如图,为了测量河的宽度,在岸一边选定两点 A、B , 望对岸标记物 C,测得∠CAB=30° ,∠CBA=75° , AB=120m,则河的宽度为 4.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南 60° 西,另一灯塔在船的南 75° 西,则这只船的速度是每小时 5.如图,在四川雅安地震灾区的搜救现场,一条搜救犬从 A 处沿正北方 向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象,然后向右转 105° ,行进 10 m 到 达 C 处发现另一生命迹象,这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那 么 x=______. 海里.

二、能力提升题组 1.(2014· 苏州调研)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,选与塔底 B 在同 一水平面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=30° ,∠BDC=120° , CD=10 m,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60° ,则塔高 AB=_____ m.

2.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m, BD 为水平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________.

3.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向 的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角 为 30° ,则水柱的高度是________m.

4.(2014· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其中 a 为最大边,如 果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为________.

5.如图所示,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁,船向正南航行,在 B A 在船的南偏东 30° 方向,航行 30 海里后,在 C 处测得小岛 A 在船的 方向,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?

处测得小岛 南 偏 东 45°


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