高中数学教学设计

简单的线性规划教学设计
一、课题: 简单的线性规划课题 二、姓名:岳伟 单位:木头凳高级中学 三、教材在本章节中的地位及作用 1. “简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上,介绍直线方程的一个简单应用,这是《新
大纲》中增加的一个新内容,反映了《新大纲》对数学知识应用的重视,体现了数学的工具性、应用性.

2.本节内容渗透了转化、归纳、数形结合数学思想,是向学生进行数学思想方法教学的好教材,也
是培养学生观察、作图等能力的好教材.

3.本节内容与实际问题联系紧密,有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实
际问题的能力.

四、教学目标 1.知识目标:能把实际问题转化为简单的线性规划问题,并能给出解答. 2.能力目标:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透化归、数形结合的数学思想,
提高学生“建模”和解决实际问题的能力.

3.情感目标:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生勇于创新. 五、教学重点与难点 1.教学重点:建立线性规划模型 2.教学难点:如何把实际问题转化为简单的线性规划问题,并准确给出解答.
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最 优解.为突出重点,突破难点,本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题 数学化、代数问题几何化.

六、教学方法与手段 1.教学方法
为了激发学生学习的主体意识,面向全体学生,使学生在获取知识的同时,各方面的能力得到进一步 的培养.根据本节课的内容特点,本节课采用启发引导、讲练结合的教学方法,着重于培养学生分析、解 决实际问题的能力以及良好的学习品质.

2.教学手段
新大纲明确指出:要积极创造条件,采用现代化的教学手段进行教学.根据本节知识本身的抽象性以 及作图的复杂性,为突出重点、突破难点,增加教学容量,激发学生的学习兴趣,增强教学的条理性、形 象性,本节课采用计算机辅助教学,以直观、生动地揭示二元一次不等式(组)所表示的平面区域以及图形 的动态变化情况.

七、学生课前准备
坐标纸、三角板、铅笔和彩色水笔

八、教学过程设计 教学流程图

创设情境,新课导入

例题示范,形成技能

学生互动,巩固提高

概括提炼,总结升华

布置作业,探究延续 (一) 创设情境,新课导入 (教师活动)通过多媒体创设情境 (学生活动) 思考、并根据分析,尝试用坐标纸作图、解答. 引例:某班班长赵彬预算使用不超过 50 元的资金购买单价分别为 6 元的笔筒和 7 元的文具盒作为奖 品,根据需要,笔筒至少买 3 个,文具盒至少买 2 个,问他最多共买多少个笔筒和文具盒? 请同学们考虑怎么将这个实际问题转化为数学问题? 设计意图:通过创设情境,自然地让学生感受到数学与实际生活息息相关,激发学生的学习热情,明 确本节课探究目标,同时又复习了线性规划问题的图解法. (二)例题示范,形成技能 (教师活动)电脑打出例题,并作分析. (学生活动)思考、并根据分析,尝试解答. 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块 数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 A 规格 2 1 B 规格 1 2 C 规格 1 3

今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块,问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格 成品,且使所用钢板张数最少? [分析]本题是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的资源来完成该项任务 (审题)引导学生弄清各元素之间的关系,抓住问题的本质. (建模)① 确定变量及目标函数:第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板数为 z 张,则 z=x+y ② 分析约束条件; ③ 建立线性规划模型;
? 2 x ? y ? 15 , ? x ? 2 y ? 18 , ? ? 设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,由题中表格得 ? x ? 3 y ? 27 , ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

试求满足上述约束条件的 x, y,且使目标函数 z=x+y 取得最小值(其中 x, y 均为正整数). 因此把实际问题转化为线性规划问题. (求解)④ 运用图解法求出最优解; 用多媒体教学, 着重分析如何寻找最优解是整数解.

⑤ 回答实际问题的解. 解:设需截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,根据题意可得:
? 2 x ? y ? 15 , ? x ? 2 y ? 18 , ? ? ? x ? 3 y ? 27 , ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

z=x+y, 作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行 域. 作直线 l : x+y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经 过可行域上的点 A, 且与原点距离最近, 此时 z=x+y 取最小值. 解方程组 ?
?2 x ? y ? 15 , ? x ? 3 y ? 27 ,

得交点 A 的坐标(

18 5

,

39 5

) ,由于

18 5



39 5

都不是整数,所以可行域内的点(

18 5

,

39 5

)不是最优解.

将直线 l1 向可行域内平移,最先到达的整点为 B(3,9)和 C(4,8)它们是最优解,此时 z 取得最小值 12. 答:要截得所需规格的三种钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种,第一种截法是截第一 种钢板 3 张、第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张,两种方法都最少要截 得两种钢板共 12 张. [说明]这种寻找整点最优解的方法可简述为“平移找解法” ,即打网格,描整点,平移直线 l,找出整 点最优解.此法应充分利用非整点最优解的信息,作图要精确. 设计意图: 把实际问题转化为线性规划问题是本节课的重难点, 而寻找整点最优解则是例 1 的难点. 为 此本环节充分利用计算机辅助教学,投影题目及表格,作可行域,动态演示直线的平移过程等,不仅能够 增大教学容量,而且能够使数学知识形象化、直观比,诱发学生在感情上参与;同时,多媒体教学通过对 学生各种感官的刺激,以一种接近人类认知特点的方式来组织、展示教学内容及构建知识结构,能把课堂 结构反映得更集中、典型、精粹,从而大大优化了课堂结构. 例 2 某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 1 t,需耗 A 种矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t;生 产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t.每 1 t 甲种产品的利润是 600 元,每 1 t 乙种产品的 利润是 1000 元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤 不超过 360 t,甲、乙两种产品应各生产多少(精确到 0.1 t) ,能使利润总额达到最大? [分析] 本题是在资源一定的条件下,怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,收到的效益最 大. (审题)引导学生弄清各元素之间的关系,抓住问题的本质,整理已知数据列成下表: 产品 消耗量 资源 A 种矿石(t) B 种矿石(t) 煤(t) 利润(元) 10 5 4 600 4 4 9 1000 300 200 360 甲产品(1t) 乙产品(1t) 资源限额(t)

(建模)(1)确定变量及目标函数:若设生产甲、乙两种产品分别为 x t, y t,

利润总额为 z 元,则用 x,y 如何表示 z? (2)分析约束条件:z 值随甲、乙两种产品的产量 x,y 变化而变化, 但甲、乙两种产品是否可以任意变化呢?它们受到哪些因素的制约?怎样用数学语言表述这些制约因素? (3)建立线性规划模型:
? 10 x ? 4 y ? 300 , ? 5 x ? 4 y ? 200 , ? ? 已知变量 x,y 满足约束条件 ? 4 x ? 9 y ? 360 , 求 x, y 取何值时, 目标函数 z=600x+1000y 取得最大值, ? x ? 0, ? ? y ? 0; ?

(求解)采用图解法求出最优解 解:设生产甲、乙两种产品分别为 x t、y t,利润总额为 z 元, 根据题意可得:
? 10 x ? 4 y ? 300 , ? 5 x ? 4 y ? 200 , ? ? ? 4 x ? 9 y ? 360 , ? x ? 0, ? ? y ? 0; ?

目标函数为: z=600x+1000y. 作出以上不等式组所表示 的平面区域,即可行域. 作直线 l :600x+1000y=0, 即直线 l:3x+5y=0, 把直线向右上方平移至 l1 的 位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+1000y 取最大值. 解方程组 ?
? 5 x ? 4 y ? 200 , ? 4 x ? 9 y ? 360 ,
360 29 1000 29

得 M 的坐标为 x= y=

≈12.3 ≈34.5

答:应生产甲产品约 12.3 t,乙产品约 34.5 t,能使利润总额达到最大 [说明]对于最优解的近似值,要根据实际问题的具体情形取近似值.按四舍五入取值即 x=12.4,y=34.5 时,虽然 z=41940 最大,但此时的 x,y 不在可行域内.可以验证点(12.4,34.4)和(12.3,34.5)在可行域内, 但当 x=12.4,y=34.4 时,z=41840;当 x=12.3,y=34.5 时,z=41880,因此按精确度取舍后的最优解点,可以 离 M 点“较远” ,但必须离 l1 距离最小.本例要求精确到 0.1 t,只需把坐标平面以 0.1 单位网格化,在格 点上找到离 l1 距离最小的点,就是符合题意的最优解. 设计意图:学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,不能正确理解题意, 弄清各元素之间的关系;不能分清问题的主次关系,因而抓不住问题的本质,无法建立数学模型;孤立地 考虑单个的问题情境,不能多方联想,形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素,本环节 教师侧重于引导学生建立数学模式,其余过程由学生自主解决.用多媒体展示最优解的近似值. 引导学生结合上述两例子总结归纳解决这类问题的方法和步骤:

审题

确定变量及目标函数

列出线性约束条件

图解法求解

回答实际问题的解 (三)学生互动 巩固提高 (教师活动)电脑打出练习、要求学生独立解答.巡视学生解答情况,纠正错误. (学生活动)用坐标纸作图、解答. 2 2 某人有楼房一幢,室内面积共 180m ,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面积为 18m ,可 2 住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15m ,可住游客 3 名,每名游客每天住宿 费为 50 元;装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修, 且游客能住满客房,他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大效益? (答案:隔出大房间 3 间,小房间 8 间或者只隔出小房间 12 间就能获得最大收益. ) (教师用投影展示学生的结论并用多媒体展示正确结论同时点评) 设计意图:巩固、加深对线性规划解决实际问题的理解和应用. (四)概括提炼,总结升华 (引导学生从知识和思想方法两方面进行总结) 1.本节课你学了哪些知识? 2.本节课渗透了什么数学思想方法? (五)布置作业,探究延续 1.课本作业:P65,习题 7.4 第 3,5 题. 2.选做题:P88,第 16 题 3.拓展题:通过网络搜索查阅有关线性规划的应用实例 设计意图:强化基本技能训练,巩固课堂内容,发现和弥补教与学中的遗漏和不足,以便及时矫正. (六)小结:本节课的设计,力图让学生在教师的指导下,从“懂”到“会”到“悟” ,体会钻研的意识, 品尝成功的喜悦,从而使学生在积极活跃的思维过程中,数学能力和数学素养得到提高. 九、板书设计(略) 十、课后附记 1.本节课是线性规划第三课时的教学内容,它以二元一次不等式(组)所表示的平面区域和线性规划 的图解法等知识为基础,体现了数学的工具性、应用性,同时也渗透了转化、归纳、数形结合数学思想. 2.学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题,即不会建模,故本设计把“实 际问题抽象转化为线性规划问题”作为本堂课的重难点,并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题的已知条 件,找出约束条件和目标函数,然后利用图解法求得最优解作为突破难点的关键.


相关文档

高中数学教学设计 (1)
高中数学教学设计 (2)
高中数学教学设计大赛
高中数学教学设计与反思
苏教版高中数学教学设计
高中数学教学设计(精选多篇)
高中数学教学设计1
高中数学教学设计2
高中数学教学设计00634
分析高中数学教学设计的技巧
电脑版