高考数学高考必会题型专题7解析几何第30练椭圆问题中最值得关注的几类基本题型

题型一 利用椭圆的几何性质解题

x2 y2 1 例 1 如图,焦点在 x 轴上的椭圆 4 +b2=1 的离心率 e=2,F,A 分别是椭圆的一个焦点和顶 →→ 点,P 是椭圆上任意一点,求PF· PA的最大值和最小值. →→ 破题切入点 本题主要考查椭圆的几何性质及其应用,解题的关键是表示出PF· PA,根据椭圆 的性质确定变量的取值范围. 解 设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2, c 1 ∵e=a=2,∴c=1,∴b2=a2-c2=3. x2 y2 所求椭圆方程为 4 + 3 =1. ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. → 又 F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0), → PA=(2-x0,-y0), →→ ∴PF· PA=x2 0-x0-2+y2 0 1 1 =4x2 0-x0+1=4(x0-2)2. →→ 当 x0=2 时,PF· PA取得最小值 0, →→ 当 x0=-2 时,PF· PA取得最大值 4. 题型二 直线与椭圆相交问题 例 2 已知直线 l 过椭圆 8x2+9y2=72 的一个焦点,斜率为 2,l 与椭圆相交于 M、N 两点, 求弦|MN|的长. 破题切入点 根据条件写出直线 l 的方程与椭圆方程联立,用弦长公式求出.
? ?y=2?x-1?, 解 由? 得 11x2-18x-9=0. ?8x2+9y2=72, ?

18 由根与系数的关系,得 xM+xN=11,

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9 xM· xN=-11. 由弦长公式|MN|= 1+k2|xM-xN|= 5· 题型三 点差法解题,设而不求思想 x2 例 3 已知椭圆 2 +y2=1,求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程. 破题切入点 设出弦的两端点,利用点差法求解. 解 设弦的两端点分别为 M(x1,y1),N(x2,y2), MN 的中点为 R(x,y), 则 x2 1+2y2 1=2,x2 2+2y2 2=2, 两式相减并整理可得, y1-y2 x1+x2 x =- =-2y,① x1-x2 2?y1+y2? 将 y1-y2 =2 代入式①, x1-x2 18 9 ?11?2+4×11= 3 600 60 112 =11.

得所求的轨迹方程为 x+4y=0(- 2<x< 2). 总结提高 (1)关于线段长的最值问题一般有两个方法:一是借助图形,由几何图形中量的关 系求最值,二是建立函数关系求最值或用不等式来求最值. (2)直线和椭圆相交问题:①常用分析一元二次方程解的情况,仅有“Δ”还不够,还要用数形结 合思想.②弦的中点、弦长等,利用根与系数关系式,注意验证“Δ”. (3)当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方 程,用“点差法”来求解.

x2 y2 1.“2<m<6”是“方程 + =1 表示椭圆”的________条件. m-2 6-m 答案 必要不充分 x2 y2 解析 若 + =1 表示椭圆, m-2 6-m m-2>0, ? ? 则有?6-m>0, 所以 2<m<6 且 m≠4, ? ?m-2≠6-m, x2 y2 故“2<m<6”是“方程 + =1 表示椭圆”的必要不充分条件. m-2 6-m 2.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,点 N(2,0),线段 AN 的垂直平分 线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是________. 答案 椭圆 解析 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故 PA=PN.又 AM 是圆的半径, 所以 PM+PN=PM+PA=AM =6>MN, 由椭圆定义知,P 的轨迹是椭圆.
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3.已知椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3)是椭圆上一点,且 PF1,F1F2,PF2 成等差数列,则椭圆方程为________. 答案 x2 y2 8 + 6 =1

x2 y2 解析 设椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 4 3 由点(2, 3)在椭圆上知a2+b2=1. 又 PF1,F1F2,PF2 成等差数列, 则 PF1+PF2=2F1F2, c 1 即 2a=2· 2c,a=2. 又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2=6. x2 y2 3 4.(2014· 大纲全国改编)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心率为 3 , 过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点.若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为________. x2 y2 答案 3 + 2 =1 3 c 3 解析 由 e= 3 ,得a= 3 .① 又△AF1B 的周长为 4 3, 由椭圆定义,得 4a=4 3,得 a= 3, 代入①得 c=1,所以 b2=a2-c2=2, x2 y2 故 C 的方程为 3 + 2 =1. x2 5.(2014· 福建改编)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆10+y2=1 上的点,则 P,Q 两点 间的最大距离是________. 答案 6 2 解析 如图所示,设以(0,6)为圆心,以 r 为半径的圆的方程为 x2+(y-6)2=r2(r>0),与椭圆方 x2 程10+y2=1 联立得方程组,消掉 x2 得 9y2+12y+r2-46=0.

令 Δ=122-4×9(r2-46)=0, 解得 r2=50, 即 r=5 2. 由题意易知 P,Q 两点间的最大距离为 r+ 2=6 2.
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x2 6.如图,F1,F2 是椭圆 C1: 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、 四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是________. 答案 6 2

解析 设 AF1=m,AF2=n, 则有 m+n=4,m2+n2=12, 因此 12+2mn=16,所以 mn=2, 而(m-n)2=(2a)2=(m+n)2-4mn=16-8=8, 因此双曲线的 a= 2,c= 3,则有 e= 3 6 =2. 2

x2 y2 7.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A、B,左、右焦点分别是 F1、F2.若 AF1,F1F2, F1B 成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 答案 5 5

解析 由椭圆的性质可知:AF1=a-c,F1F2=2c,F1B=a+c, 又 AF1,F1F2,F1B 成等比数列, 故(a-c)(a+c)=(2c)2, c 5 可得a= 5 . x2 y2 8.(2014· 辽宁)已知椭圆 C: 9 + 4 =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称 点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则 AN+BN=________. 答案 12 x2 y2 解析 椭圆 9 + 4 =1 中,a=3. 如图,设 MN 的中点为 D,

则 DF1+DF2=2a=6. ∵D,F1,F2 分别为 MN,AM,BM 的中点, ∴BN=2DF2, AN=2DF1, ∴AN+BN=2(DF1+DF2)=12.
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1 x2 y2 9.(2014· 江西)过点 M(1,1)作斜率为-2的直线与椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)相交于 A,B 两点, 若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为________. 答案 2 2

解析

?a2+b2=1, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? x2 2 y2 2 ?a2+b2=1,
x2 1 y2 1

∴ ∴ ∵

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0, a2 b2 y1-y2 b2 x1+x2 =-a2· . x1-x2 y1+y2 y1-y2 1 =-2, x1-x2

x1+x2=2,y1+y2=2, b2 1 ∴-a2=-2, ∴a2=2b2.又∵b2=a2-c2, c 2 ∴a2=2(a2-c2),∴a2=2c2,∴a= 2 . y2 10.(2014· 安徽)设 F1,F2 分别是椭圆 E:x2+b2=1(0<b<1)的左,右焦点,过点 F1 的直线交 椭圆 E 于 A,B 两点.若 AF1=3F1B,AF2⊥x 轴,则椭圆 E 的方程为________. 3 答案 x2+2y2=1 解析 设点 B 的坐标为(x0,y0). y2 ∵x2+b2=1, ∴F1(- 1-b2,0),F2( 1-b2,0). ∵AF2⊥x 轴,∴A( 1-b2,b2). → → ∵AF1=3F1B,∴AF1=3F1B, ∴(-2 1-b2,-b2)=3(x0+ 1-b2,y0). 5 b2 ∴x0=-3 1-b2,y0=- 3 . b2? ? 5 ∴点 B 的坐标为 -3 1-b2,- 3 . ? ? b2? y2 ? 5 将 B -3 1-b2,- 3 代入 x2+b2=1, ? ? 2 得 b2=3.

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3 ∴椭圆 E 的方程为 x2+2y2=1. x2 y2 11.(2014· 课标全国Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一 点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN=5F1N,求 a,b. b2 解 (1)根据 c= a2-b2及题设知 M(c, a ), b2 a 3 2c =4,2b2=3ac. 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得a=2,a=-2(舍去). 1 故 C 的离心率为2. (2)由题意,得原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点, b2 故 a =4,即 b2=4a.① 由 MN=5F1N,得 DF1=2F1N. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则

? ?2?-c-x1?=c, ?x1=-2c, ? ? 即? ?-2y1=2, ? ?
3

?y1=-1.

9c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1.② 9?a2-4a? 1 将①及 c= a2-b2代入②得 4a2 +4a=1. 解得 a=7,b2=4a=28,故 a=7,b=2 7. x2 y2 12.(2014· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左, 右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆 于另一点 C,连结 F1C.

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?4 1? (1)若点 C 的坐标为 3,3 ,且 BF2= 2,求椭圆的方程; ? ?
(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0). (1)因为 B(0,b),所以 BF2= b2+c2=a. 又 BF2= 2,故 a= 2. ?4 1? 因为点 C 3,3 在椭圆上, ? ? 16 1 9 9 所以a2+b2=1,解得 b2=1. x2 故所求椭圆的方程为 2 +y2=1. (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y 所以直线 AB 的方程为c+b=1.

?c+b=1, 解方程组? x2 y2 ?a2+b2=1,
x y

? ?x1=a2+c2, 得? b?c2-a2? ? ?y1= a2+c2 ,
2a2c

? ?x2=0, ? ?y2=b. ?

? 2a2c b?c2-a2?? 所以点 A 的坐标为?a2+c2, a2+c2 ?. ? ?
又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,

? 2a2c ,b?a2-c2?? 可得点 C 的坐标为? ?. ?a2+c2 a2+c2 ?
b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? 因为直线 F1C 的斜率为 2a2c = , 3a2c+c3 -?-c? a2+c2 b 直线 AB 的斜率为- c ,且 F1C⊥AB, b?a2-c2? ? b? 所以 · - =-1. 3a2c+c3 ? c ? 又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2. 1 5 故 e2=5,因此 e= 5 .

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