湖南省“五市十校”2014届高三第一次联合检测(12月)数学(理)试题

2013 年下期五市十校高三联考试卷
数学(理科)(转载)
时量 120 分钟 满分 150 分 一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知命题 p : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 ,则( A. ?p : ?x0 ? R, 2x ? 1 ? 0 C. ?p : ?x0 ? R, 2x ? 1 ? 0
x

) B. ?p : ?x ? R, 2 x ? 1 ? 0
2

2 0 2 0

D. ?p : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 )

2.函数 f ( x) ? e ? x ? 2 的零点所在的区间是( A. (0, )

1 1 B. ( ,1) 2 2 C. (1, 2) D. (2,3) 3.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x , y ? 3 所围成的平面图形的面积为( ) 32 A. B. 2 ? ln 3 C. 4 ? ln 3 D. 4 ? ln 3 9
4.已知 △ABC 的三个内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,向量 m ? ( a ? c, a ? b) ,
? ?

n ? (b, a ? c) ,若 m ∥ n ,则 ?C ? (

?

?

) C.

A.

? 6

B.

? 3

? 2

D.

2? 3

b 的值为( ) a 2 2 2 3 3 A. ? B. 或 ? C. ? D. 3 3 3 2 2 S 6.等比数列 ?an ?各项为正, a3 , a5 , ?a4 成等差数列, Sn 为 ?an ?的前 n 项和,则 6 ? ( ) S3 7 5 9 A. B. C. D. 2 8 4 8 2 ? 0, 7.在 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 所对边的边长,若 cos A ? sin A ? cos B ? sin B a?b 则 的值是( ) c A. 1 D. 2 C. 3 B. 2 1 1 8 .已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ,当 x ? [1, 3] 时, f ( x) ? ln x ,若在区间 [ , 3] 内,函数 x 3 g ( x) ? f ( x) ? ax 与 x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是( ) ln 3 1 ln 3 1 1 1 , ) , ) A. (0, ) B. (0, ) C. [ D. [ 3 e 3 2e e 2e
5.若 f ( x) ? a sin x ? b ( a , b 为常数)的最大值是 5 ,最小值是 ?1,则 二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分) 9.如果 sin(? ? A) ?

1 3 ,那么 cos( ? ? A) 的值是_________. 2 2
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1 |?| a ? 2 | ?1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是__________. x f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x 2 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为________. 11.曲线 f ( x) ? e 2 12.如图,在 ?ABC 中, D 、 E 分别为边 BC 、 AC 的中点. F 为边 AB ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 上的点,且 AB ? 3 AF ,若 AD ?xAF ? yAE , x, y ? R ,则 x ? y 的
10.若不等式 | x ? 值为 13.下列命题: .

? π? ? 在 ?0,π? 上是减函数; ? 2? ②点 A(1,1), B(2, 7) 在直线 3x ? y ? 0 两侧; ③数列 ?a n ?为递减的等差数列,a1 ? a5 ? 0 , 设数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , 则当 n ? 4 时,S n
①函数 y = sin ? x取得最大值; ④定义运算

a1 b1

a2 b2

=a1b2 -a2b1 , 则函数 f (x)=

x 2 +3x x

1 ? 1? 1 的图象在点 ?1, ? 处的切线方 x ? 3? 3

程是 6 x ? 3 y ? 5 ? 0. 其中正确命题的序号是_______________ (把所有正确命题的序号都写上) .

?0 ? x ? 3 ? 14.点 M ( x, y ) 是不等式组 ? y ? 3 表示的平面区域 ? 内的一动点,使 z ? y ? 2 x 的值取得最 ? ?x ? 3y ???? ? ??? ? 小的点为 A( x0 , y0 ) ,则 OM ? OA ( O 为坐标原点)的取值范围是____________. 15.已知两个正数 a , b ,可按规则 c ? ab ? a ? b 扩充为一个新数 c ,在 a , b, c 三个数中取两个较大
的数, 按上述规则扩充得到一个新数, 依次下去, 将每扩充一次得到一个新数称为一次操作. 若

p ? q ? 0 ,经过 6 次操作后扩充所得的数为 (q ? 1)m ( p ? 1)n ?1( m, n 为正整数) ,则 m ? n 的
值为 .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? 1. (I)求函数 f ( x) 的单调增区间; (II)将函数 f ( x) 的图象向右平移 ? ( 0 ? ? ?

?
2

)个单位,再将图象上所有的点纵坐标不变,

横坐标伸长到原来的 4 倍,得到函数 g ( x) 的图象.若直线 x ? 求 ? 的值.

4 ? 是函数 g ( x) 的图象的对称轴, 3

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17. (本小题满分 12 分)

已知 A, B, C 是直线 l 上的不同三点,O 是 l 外一点, 向量 OA, OB, OC 满足 OA ? ( x ? 1) OB
2

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ?(ln x ? y)OC ,记 y ? f ( x) . (I)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (II)求函数 y ? f ( x) 的单调区间.

3 2

??? ?

18. (本小题满分 12 分)

已知向量 m ? (sin x, ?1) , n ? ( 3 cos x, ? ) ,函数 f ( x) ? m ? m ? n ? 2 . (I)求 f ( x ) 的最大值,并求取最大值时 x 的取值集合; ( II)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 内角 A, B, C 的对边,且 a , b, c 成等比数列,角 B 为锐角,且

??

?

1 2

??2 ?? ?

f ( B) ? 1,求

1 1 ? 的值. tan A tan C

19. (本小题满分 13 分) 学校餐厅每天有 500 名学生就餐,每星期一有 A,B 两种套餐可选,每个学生任选一种,其中 A 是本校的传统套餐,B 是从外校引人的套餐.调查资料表明,若在这星期一选 A 套餐的学生,下

4 1 的学生改选 B 套餐;而选 B 套餐的学生,下周星期一会有 r ( 0 ? r ? )的学生改选 5 5 A 套餐,用 an , bn 分别表示在第 n 个星期选 A 套餐的人数和选 B 套餐的人数. (I)用 an ?1 表示 an ; 3 (II)若 r ? ,且选 A 套餐的学生人数保持不变,求 a1 ; 10 (III)根据调查,存在一个常数 k ,使得数列 ?an ? k} 为等比数列,且 k ?[250,300] ,求 r 的
星期一会有 取值范围.

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20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,通项为 an ,且满足 (I)求数列 {an } 的通项公式;

Sn q ( q 是常数且 q ? 0, q ? 1 ) . ? an ? 1 q ? 1

1 1 时,试证明 S n ? ; 4 3 ( III ) 设函 数 f ( x) ? logq x , bn ? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) , 是否存 在正整 数 m ,使
(II) 当 q ?

?b
i ?1

n

1
i

?

m 对 ?n ? N ? 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 3

21. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

b (a, b ? R) ,若 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为1. x

(Ⅰ)用 a 表示 b ; (Ⅱ)设 g ( x) ? ln x ? f ( x) ,若 g ( x) ? ?1 对定义域内的 x 恒成立, (ⅰ)求实数 a 的取值范围; (ⅱ)对任意的 ? ? [0,

?

2

) ,证明: g (1 ? sin ? ) ? g (1 ? sin ? ) .

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一、选择题: AADB BCBC 二、填空题 9、

1 2

10、 1 ? a ? 3

11、 y ? ex ?

1 2

12、

2 5

13、②④ 14、 ? 0,6?

15、 21

三、解答题 16.解: (I) f ( x) ? 2

令 2k ? ? 得 k? ?

?
2

cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 2 3 1 ? ? 2( sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 6

1分 2分 3分 4分

? 2x ?

?

?
3

6

? 2k ? ?

?

? x ? k? ?

?
6

2

,k ?Z ,

,k ?Z

所以函数 f ( x) 在每一个 [ k? ? (II) 将函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

?

, k? ? ](k ? Z ) 区间是增函数. 3 6

?

5分

? 2 sin(2 x ? 2? ? ) 的图象. 6分 6 将 函 数 f1 ( x) 图 象 上 所 有 的 点 纵 坐 标 不 变 , 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 4 倍 , 得 到 函 数 1 ? g ( x ) ? 2 s i n (x ? ? 2 ? ) 的图象. 8分 2 6 4 因为直线 x ? ? 是函数 g ( x) 的图象的对称轴, 3 1 4? ? 5? ? ? 2? ? ) ? ?2 ,得 ?2? ? ? k? ? , k ? Z 所以 2 sin( ? 10 分 2 3 6 6 2 k? ? ? ,k?Z , 得? ? ? 11 分 2 6 ? 取 k ? 0 ,得 ? ? . 12 分 6 ??? ? 3 2 ??? ? ???? 17.解: (I)∵ OA ? ( x ? 1)OB ? (ln x ? y )OC ,且 A, B, C 是直线 l 上的不同三点, 2 3 2 3 2 ∴ ( x ? 1) ? (ln x ? y ) ? 1 , ∴ y ? x ? ln x ; 6分 2 2 1 3x 2 ? 1 3 2 (II)∵ f ( x) ? x ? ln x ,∴ f ?( x) ? 3x ? ? , 2 x x 3x 2 ? 1 3 2 ∵ f ( x) ? x ? ln x 的定义域为 (0, ??) ,而 f ?( x) ? 在 (0, ??) 上恒正, 2 x ∴ y ? f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数, 即 y ? f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??) . 12 分

?

) 的图象向右平移? 个单位, 得到函数 f1 ( x ) ? 2 sin[2( x ? ? ) ? ] 6 6

?

18.解: (I)
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=
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= = = 故 f(x)max=1,此时 所以取得最大值的 x 的集合为{x| (II)由 f(B)= 又∵0<B< ∴ ,∴ ,∴ .
2 2

﹣2 = . ,得 }. , . . 6分

由 a,b,c 成等比数列,则 b =ac,∴sin B=sinAsinC. ∴ = = . 12 分

4 ? 4 ?an ? an ?1 ? rbn ?1 19.解: (I)由已知得 ? ,所以 an ? an ?1 ? r (500 ? an ?1 ) , 5 5 ? ?an?1 ? bn?1 ? 500 4 得 an ? ( ? r )an ?1 ? 500r . 4分 5 3 (II)? r ? , 10 1 ? an ? an ?1 ? 150 ? an ?1 2 8分 ? an?1 ? a1 ? 300 .

{an ? k} 是等比数列, 4 4 1 ( n ?1 ? k ,得 ) an ? ( ? r )an ?1 ? ( ? r )k , ? an ? k ? ( ? r ) a 5 5 5 1 2500r r ,得 k ? , 11 分 ? ( ? r )k ? 5 0 0 5r ? 1 5 2500 ? 300 , , 0 ] 250 ? ? k ?[ 2 5 0 , 3 0 ? 5r ? 1 1 3 ?r? . 13 分 ? 5 10 q q (a n ? 1) ,得 S1 ? a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? q 20.解: (I)由题意, S n ? q ?1 q ?1 q q q q (an ? 1) ? (an ?1 ? 1) ? an ? an ?1 , 当 n ? 2 时, an ? q ?1 q ?1 q ?1 q ?1 a ∴ n ?q …3 分 (q ?1)an ? qan ? qan?1 an ?1
(III)?
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…1 分

∴数列 {an } 是首项 a1 ? q ,公比为 q 的等比数列,∴ an ? q ? qn?1 ? q n

………4 分

1 1 (1 ? n ) 1 4 ? 1 (1 ? 1 ) (II)由(Ⅰ)知当 q ? 时, S n ? 4 1 4 3 4n 1? 4 1 1 1 1 ∵ 1 ? n ? 1 ,∴ (1 ? n ) ? …………6 分 3 3 4 4 1 即 Sn ? ……7 分 3 (III)∵ f ( x) ? logq x

………5 分

?bn ? logq a1 ? logq a2 ? ?? logq an = logq (a1a2 ?an ) n(1 ? n) 1? 2 ??? n ? 1? 2 ?? ? n ? = log q q …9 分 2 1 2 1 1 ∵ ……10 分 ? ? 2( ? ) bn n(1 ? n) n n ?1 n 1 1 1 2n 1 1 1 1 1 1 )] = ∴ ? ? ? ?? ? …12 分 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? n ?1 2 2 3 n n ?1 b1 b2 bn i ?1 bi
m 6n 6(n ? 1) ? 6 6 ? ? 6? 得 m? -------( ? ) n ?1 n ?1 n ?1 3 i ?1 i 6 ? 3 ∵ m 是正整数,∴ m 的值为 1,2,3. ∵( ? )对 ?n ? N ? 都成立 ∴ m ? 6 ? 1?1 n 1 m ∴使 ? ? 对 ?n ? N ? 都成立的正整数 m 存在,其值为:1,2,3. ……13 分 3 i ?1 bi b b 21.解: (Ⅰ) f ?( x ) ? a ? 2 ,依题意有: f ?(1) ? a ? 2 ? a ? b ? 1 ? b ? a ? 1 ;-------------3 x x


?b

n

1

?



a ?1 ) ? ?1 恒成立. x (ⅰ) g ( x) ? ?1 恒成立,即 g ( x)max ? ?1 . g ( x) ? ?1 恒成立,则 g (1) ? 1 ? ?a ? a ? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1. 当 a ? 1 时, 1 ?a[ x ? (?1 ? )]( x ? 1) 1 ?(ax ? a ? 1)( x ? 1) 1 a x ? ?1 ? ? 0, , g ?( x) ? ? ? 0 ? x ? 1, x ? ?1 ? 2 2 a x x a 2 x g?(0) ? 0 则 x ? (0,1) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, 当 x ? (1, ??) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 则 g ( x)max ? g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意,即 g ( x) ? ?1 恒成立. 所以,实数 a 的取值范围为 a ? 1 . --------------------7 分 (ⅱ)由(ⅰ)知, g ( x) ? ?1 恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 . 令 sin ? ? t ?[0,1) ,考虑函数
(Ⅱ) g ( x) ? ln x ? f ( x) ? ln x ? (ax ?

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a ?1 a ?1 ? [ln(1 ? t ) ? a(1 ? t ) ? ] 1? t 1? t 1 1 = ln(1 ? t ) ? ln(1 ? t ) ? 2at ? ( a ? 1)[ ? ] 1? t 1? t 1 1 a ?1 a ?1 2 1 1 p?(t ) ? ? ? 2a ? ? ? ? 2a ? (a ? 1)[ ? ], 2 2 2 2 1? t 1? t (1 ? t ) (1 ? t ) 1 ? t (1 ? t ) (1 ? t )2 2 1 1 下证明 p?(t ) ? 0 ,即证: ? 2a ? (a ? 1)[ ? ] ? 0 ,即证明 2 2 1? t (1 ? t ) (1 ? t )2 p (t ) ? g (1 ? t ) ? g (1 ? t ) ? ln(1 ? t ) ? a(1 ? t ) ?

1 1? t 2 ? a ? ( a ? 1)[ ]? 0, 1? t 2 (1 ? t )2 (1 ? t )2 1? t2 1 ? 1 由 ,即证 1 ? a ? ( a ? 1)[ ] ? 0, 1? t2 (1 ? t )2 (1 ? t )2
1? t2 又 a ? 1 ? 0 ,只需证 ?1 ? ?0, (1 ? t )2 (1 ? t ) 2 即证 1 ? t 2 ? (1 ? t )2 (1 ? t )2 ? t 4 ? 3t 2 ? 0 ? t 2 (t 2 ? 3) ? 0 ,显然成立. 即 p(t ) 在 t ?[0,1) 单调递增, p(t )min ? p(0) ? 0 , 则 p(t ) ? 0 ,得 g (1 ? t ) ? g (1 ? t ) 成立, ? 则对任意的 ? ? [0, ) , g (1 ? sin ? ) ? g (1 ? sin ? ) 成立.-----------------------13 分 2


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