高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义课后导练苏教版选修12

3.3 复数的几何意义 课后导练 基础达标 2 3 4 1.i +i +i 对应的点在( ) A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第三象限 2 3 4 解析:∵i +i +i =-1-i+1=-i,∴B 正确. 答案:B 2.z1=1+2i、z2=2-i、z3= 3 ? 2i 、z4= 2 ? 3i 对应的点( A.在圆|z|=2 上 2 C.在圆|z| =5 上 B.在|z|=5 上 D.不共圆 ) 2 2 解析:∵|z1|= 1 ? 2 2 ? 5 ,|z2|= 2 ? (?1) ? 5 ,|z3|= 5 ,|z4|= 5 ,∴C 正确. 答案:C 3.如果向量 OZ =0,则下列说法中正确的个数是( ) ①点 Z 在实轴上 ②点 Z 在虚轴上 ③点 Z 既在实轴上,又在虚轴上 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①②③正确. 答案:D 4.若 OZ =(0,-3) ,则 OZ 对应的复数( A.等于 0 C.在虚轴上 解析:向量 OZ 对应的复数为-3i. 答案:C 5.复数 2-3i 对应的点在直线_________上( ) A.y=x B.y=-x C.3x+2y=0 D.2x+3y=0 解析:复数 2-3i 对应的点为(2,-3) ,经验证在 3x+3y=0 上. 答案:C 6.满足条件|z|<3 的复数 z 在复平面内对应的点 Z 的集合是__________. 解析:由复数的几何意义可知. 答案:以原点为圆心,3 为半径的圆的内部 7.已知复数 z=x-2+yi 的模是 2 2 ,则点(x,y)的轨迹方程是__________. 解析:由|x-2+yi|=22,得(x-2) +y =8. 2 2 答案:(x-2) +y =8 8.复数 z=x+3+i(y-2),(x,y∈R)且|z|=2,则点(x,y)的轨迹方程是__________. 2 2 解析:∵ ( x ? 3) ? ( y ? 2) =2, 2 2 ) B.等于-3 D.既不在实轴上,也不在虚轴上 1 ∴(x+3) +(y-2) =4. 2 2 答案:(x+3) +(y-2) =4 9.已知|z|=2+z-4i,求复数 z. 解析:设 z=x+yi(x、y∈R),则由题意知 2 2 x 2 ? y 2 =2+x+iy-4i=(x+2)+(y-4)i, ∴ x 2 ? y 2 ? x ? 2, 0 ? y ? 4, 即? ? x ? 3, ? y ? 4. ∴z=3+4i. 10.已知向量 OZ 与实轴正向的夹角为 45°,向量 OZ 对应的复数 z 的模为 1,求 z. 解:设 z=a+bi(a、b∈R). ∵ OZ 与 x 轴正向的夹角为 45°,|z|=1, ?b ?b ? a ? ?1, ? 1 , ?a ? ? ? 2 2 ∴? 2 或 ? a ? b ? 1, 2 ? a ? b ? 1, ?a ? 0 ? ? ? a?0 ? ? ? 2 ? 2 , ?a ? , ?a ? ? ? 2 2 ∴? 或? ?b ? 2 ?b ? ? 2 . ? ? 2 2 ? ? ∴z= 2 2 2 2 ? i 或 z= ? i. 2 2 2 2 综合运用 2 2 11.实数 x 分别取什么值时,复数 z=x +x-6+(x -15)i 表示的点: (1)在实轴上? (2)在虚轴上? 2 解:(1)当 x -2x-15=0,即 x=-3 或 x=5 时,复数 z 对应的点在实轴上. 2 (2)当 x +x-6=0,即 x=2 或 x=-3 时,复数 z 对应的点在虚轴上. 12.设 z 是虚数,ω =z+ 1 是实数,且-1<ω <2.求|z|的值及 z 的实部的取值范围. z 解析:∵z 是虚数,∴可设 z=x+yi(x,y∈R 且 y≠0), ω =z+ 1 1 x ? yi =(x+yi)+ =x+yi+ 2 z x ? yi x ? y2 =(x+ x y )+(y- 2 )i, 2 x ?y x ? y2 2 ∵ω 为实数且 y≠0, 2 ∴12 1 =0, x ? y2 2 2 即 x +y =1,∴|z|=1 此时 ω =2x, 由-1<ω <2 得-1<2x<2. ∴- 1 <x<1. 2 1 ,1) 2 2 2 即 z 的实部的范围是(- 13 .已知复平面内点 A 、 B 对应的复数分别是 z1=sin θ +i,z2=-cos θ +icos2θ , 其中 θ ∈(0,2π ),设 AB 对应的复数为 z. (1)求复数 z; (2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y= 2 2 1 x 上,求 θ 的值. 2 解: (1)z=z2-z1=-cos θ -sin θ +i(cos2θ -1) 2 =-1-2sin θ ·i. 2 (2)点 P 的坐标为(-1,-2sin θ ), 1 1 x 上,得-2sin2θ =- . 2 2 1 1 2 所以 sin θ = ,则 sinθ =± . 4 2 ? 5? 7? 11? 因为 θ ∈(0,2π ),所以 θ = , , , . 6 6 6 6 由点 P 在直线 y= 拓展探究 14.若复数 z 满足|z+ 3 +i|≤1,求: (1)|z|的最大值和最小值; 2 2 (2)|z-1| +|z+1| 的最大值和最小值; (3)|z- 3 | +|z-2i| 的最大值和最小值. 2 2 解: (1)如下图所示,| OM |= ( 3 ) ? 1 =2. 2 2 ∴|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. 2 2 2 (2)|z-1| +|z+1| =2|z| +2. 2 2 ∴|z-1| +|z+1| 的最大值为 20,最小值为 4. (3)如右图,在圆面上任取一点 P,与复数 z1= 3 ,z2=2i 的对应点 A、B 相连,得向 量 PA 、 PB ,再以 PA 、 PB

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