集合知识总结 带例题 经典


集合的概念 1:集合的定义:
一般地,我们把研究对象统称为元素;把一些元素组成的总体叫做集合,也简称集。

2. 集合与元素的概念
集合:指定的某些对象的全体,常用大写字母 A、B、C、D??表示。 元素:集合中的每个对象,常用小写字母 a、b、c、d??表示。

3. 元素与集合的关系
若元素 a 在集合 A 中,就说元素 a 属于集合 A,记作 a ? A ; 若元素 a 不在集合 A 中,就说元素 a 不属于集合 A,记作 a ? A 。

4:集合的表示
一般用大写字母 A B C 来代表某个集合,小写字母表示集合的元素。如集合 A={a,b,c}。 常用数集及其记法 自然数集(非负整数集) :N 整数集:Z 实数集:R 正整数集: N? 或 N ? 有理数集:Q

5:集合元素的特征
(1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习 惯的由小到大的数轴顺序书写

6. 集合的表示方法
列举法:把集合的元素一一例举出来,写在大括号内; 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。

1

7. 集合的分类(所含元素的多少)
有限集:含有有限个元素的集合; 无限集:含有无限个元素的集合; 空集:不含任何元素的集合,常用 ? 表示 例一、判断下列集合是否为同一个集合 ① A ? ?1,2?, B ? ?1,2?

?

?

② A ? ?x ? N | 0 ? x ? 5?, B ? ?x ? R | 0 ? x ? 5?

③ A ? ? y | y ? 2x ? 1 , B ? ?

?? x, y ? | y ? 2x ?1?

④ A ? ?x | x ? 5? , B ? ? y | y ? 5?

二、集合的基本关系
1. 包含(子集) (1)定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,若集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的 元素,即若 a ? A ,则 a ? B ,就说集合 A 包含于集合 B(记作 A ? B ) , 或集合 B 包含集合 A(记作 B ? A ) ,这时就说集合 A 是集合 B 的子集。 (2)备注:①任何集合都是它本身的子集,即 A ? A ; ②集合的包含关系具有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; ③空集是任何集合的子集,即 ? ? A ; ④若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2 个子集。 2. 相等 (1)定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,若集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的 元素,同时集合 B 中的任何一个元素都是集合 A 中的元素,这时就说集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B。 (2)备注:① A ? B且B ? A
n

?

A=B ;

②若 A=B,则集合 A、B 中元素个数必相等。 3. 真包含(真子集) (1)定义:一般地,对于集合 A 与 B,若 A ? B ,且 A ? B ,就说集合 A 是集合 B 的 真子集,记作 A ? B 或 B ? A 。 (2)备注:①集合的真包含关系具有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; ②空集是任何非空集合的真子集,即若 A ? ? ,则 ? ? A ;

2

③若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 有 2 -1 真个子集。 4. 不包含 当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,记作 A 谯B或B 5. 集合关系的几何表示 (1)数轴:规定了的原点、正方向和单位长度的直线。 (2)Venn 图:用封闭的曲线表示集合的内部。 例二、用适当的符号填空:

n

A。

?

?a? ; ?a?

?a, b? ; ?a?
?

?a? ; ?

?a? ;

?1, 2,3?

4 ?1, 2 , 3?, ; ?

2 例三、若集合 A ? ?1,3, x? , B ? x ,1 ,且 B ? A ,则 x ?

?

?

例四、已知集合 A ? x 1 ? x ? 4 , B ? x x ? a ,若 A ? B ,则实数 a 的取值集合为
?

?

?

?

?

解:步骤:①在数轴上画出已知集合; ②由 x ? a 确定,应往左画(若为 x ? a ,则往右画) ,进而开始实验; ③得到初步试验结果; ④验证端点。

试验得到: a ? 4 ,当 a ? 4 时,由于 A 集合也不含有 4,故满足 A ? B 。
?

综上所述, a a ? 4 。 例五、满足 ?1? ? M ? ?1, 2,3? 的集合 M 为 ?

?

?

3

三、集合的基本运算
1. 交集 (1)定义:一般地,由既属于集合 A 又属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫做 A 与 B 的交集,记作 A ? B ,即 A ? B={x|x ? A且x ? B} 。

A ? ?1,2,3,4,5?, B ? ?3,4,5,6,8? , A ? B ? ?3, 4,5?

交集为 ?

在画数轴时,要注意层次感和端点的虚实!

(2)性质:① A ? A=A ; ② A ? ?=? ; ③ A ? B=B ? A ; ( ? ( ? ④ A ? B) A , A ? B) B ; ( =A ? A ? B 。 ⑤ A ? B) 2. 并集 (1)定义:一般地,由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合,叫做 A 与 B 的并集,记作 A ? B ,即 A ? B={x|x ? A或x ? B} 。 (2)性质:① A ? A=A ; ② A ? ?=A ; ③ A ? B=B ? A ; ( ( ④ A ? A ? B) B ? A ? B) , ; ( =A ? B ? A ; ⑤ A ? B) ( ? ⑥ A ? B)(A ? B) 。

?1,3,5? ??2,3,4,6? ? ?2,3,4,5,6?

4

只要是线下面的部分都要!

3. 全集 在研究某些集合时,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定集合叫作全集, 常用 U 表示。 4. 补集 (1)定义:设 U 是全集,A 是 U 的一个子集,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集 合叫作 U 中子集 A 的补集 (余集)记作 CU A , CA U x ? 且 ? , 即 U= x { x | A } (2)性质:① A ? (CU A) ? U , ② CA A ? ? , 。

A ? (CU A) ? ? ;

CA? ? A 。

读作: A 在 U 中的补集” “

U

?A U

A

★经典例题: 例一、已知集合 M ? ?0,1,2,4,5,7?, N ? ?1,4,6,8,9?, P ? ?4,7,9? , 则 ? M ? N ? ? ? M ? P ? 等于

例二、设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} , N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤3} , 则M ?N ?

5

例三、 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ? ? , 则实数 a 的取值范围是

例四、求满足 M ? ?a1,a2,a3,a4 ? ,且 M ? ?a1,a2,a3? ? ?a1,a2 ? 的集合 M 。

2 例五、集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的值为

?

?

例六、设集合 U ? ( x, y ) y ? x ? 1 , A ? ?? x, y ?

?

?

? ?

y ?1 ? ? 1? ,则 CU A ? x ?

2 2 例七、已知集合 A ? x x ? px ? 2 ? 0 , B ? x x ? x ? q ? 0 ,且 A ? B ? ??2,0,1? ,

?

?

?

?

求实数 p, q 的值。

2 2 例八、已知集合 A ? ??2? , B ? x x ? ax ? a ? 12 ? 0 ,若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值

?

?

范围。

6


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