河南省三门峡市陕州中学2014-2015学年高二下学期适应性考试数学(文)试卷


2014-2015 学年下期高二适应性考试 文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N }, B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A A. 5 B.4 2. 以下有关命题的说法错误的是 C.3 D.2

B 中的元素个数为

A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ” B. “ x ? 1 ”是“” x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x 2 ? x ? 1 ? 0 3. 函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 2) ? A. (0,1)

3 的零点所在的大致区间是 x B. (1,2) C. (2, e )

D. (3,4)

4. 已 知 实 数 a, b, c 满 足 不 等 式 0 ? a ? b ? c ? 1 , 且 M ? 2 a , N ? 5 ?b , p ? ln c, 则

M , N , P 的大小关系为
A. P ? N ? M B. P ? M ? N C. M ? P ? N D. N ? P ? M 5.下列函数既是奇函数,又在区间 ?? 1,1? 上单调递减的是 A. f ( x) ? sin x C. f ( x ) ? ? x ? 1 B. f ( x) ? ln D. f ( x ) ?

2? x 2? x

1 x (e ? e ? x ) 2

6. 某程序的框图如图所示,运行该程序时,若输入的 x=0.1,则运行后输 出的 y 值是 A.﹣1 B.0.5 C.2 D.10 7. 已知函数 y ? ? xf ? ? x ? 的图象如图(其中 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数), 下面四个图象中, y ? f ? x ? 的图象可能是 B

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(第 7 题图) 8. 已知函数 f ( x) ? ? A. ?

A.

B.

C.

D.

?2 x ?1 ? 2, x ? 1 ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
B. ?

,且 f (a ) ? ?3 ,则 f (6 ? a ) ?

4 7

5 4

C. ?

3 4

D. ?

1 4

9.若奇函数 f ( x) 对于任意的 x1 , x 2 ? ?? ?,0? 都有 ( x1 ? x 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 )? ? 0 , 则不等式

f (lg x) ? f (1) ? 0
的解集为 A. ? 0,

? 1? ? ? 10 ?

B. (0,1)

C. (

1 ,1) 10

D. ?1,10 ?

10.已知过点 A(1, m) 恰能作曲线 f ( x) ? x 3 ? 3 x 的两条切线,则 m 的值是 A. ?1 B. ?2 C. ?3
x?a

D. ?3 或 ? 2

11. 设 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 与 y ? 2

的 图 像 关 于 直 线 y ? ?x 对 称 , 且

f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ?
A. ?1 B. 1 C. 2 D. 4 12. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 x ? ?? 1,3? 时 ,

f ( x) ?
范围为

?

1? x 2 , x???1,1? t (1? x ? 2 ), x??1,3?

,其中 t ? 0 ,若方程 f ( x) ?

x 有 3 个不同的实数根,则 t 的取值 3
D. ( , ??)

A. (0, )

4 3

B. ( , 2)

2 3

C. ( ,3)

4 3

2 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 f(x)=

1 + 4-x2的定义域为 ln( x ? 1)
2

.

14 .若二次函数 y = x - 2ax + 1 在区间 (2,3) 内是单调函数,则实数 a 的取值范围是 __________. 15.已知函数 f(x)=

x 3 ? sin x +1,则 f(lg 2)+f(lg 2)=

1

.

1 2 16.已知幂函数 f(x)的图象经过点? , ?,P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数图象上的任 ?8 4 ? 意不同两点,给出以下结论:①x1f(x1)>x2f(x2);②x1f(x1)<x2f(x2);③ f?x1? f?x2? f?x1? > ;④ x1 x2 x1

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f?x2? < .其中正确结论的序号是__________. x2 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) (Ⅰ)已知曲线 C: y ? xe x ? tan ? 在 x = 实数 a 的值; 4 (Ⅱ)已知点 P 在曲线 y= x 上,角 α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,求 α 的取值范 e +1 围.

?
4

处的切线与直线 ax-y+1= 0 互相垂直,求

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=a x +bx+c 在点 x=2 处取得极值 c-16. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[-3,3]上的最小值.
3

19.(本小题满分 12 分) 1 已知函数 f(x)=lnx- ax2-2x(a<0). 2 (I)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; 1 1 (Ⅱ)若 a=- 且关于 x 的方程 f(x)=- x+b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 求实数 b 2 2 的取值范围.

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20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? (I)当 m ?

1? m (m ? R) x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性; 4 1 2 ( Ⅱ ) 设 g ( x) ? x ? 2 x ? n. 当 m ? 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 存 在 x2 ? [1, 2] , 使 12

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 n
的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=e +2x —3x (I)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ) 当 x ≥1 时,若关于 x 的不等式 f(x)≥ax 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)求证函数 f(x)在区间[0,1)上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相 应 x 的近似值(误差不超过 0.2);(参考数据 e≈2.7, e ≈1.6,e ≈1.3) .
0.3 x 2

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22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

1—5DCBAB 6—10ABAAD11—12 CB 13. (-1,0)∪(0,2] 14. (-∞,2]∪[3,+∞) 15. 2 16. ②③ 17. (Ⅰ) a ? ?

1
?

e 4 ((1 ?

?
4

3π (Ⅱ)α∈[ ,π) 4

)

18. (1)因 f(x)=ax3+bx+c,故 f′(x)=3ax2+b,由于 f(x)在点 x=2 处取得极值 c-16,
? ? ? ?f′?2?=0, ?12a+b=0, ?12a+b=0, 故有? 即? 化简得? 解得 a=1, b=- ?f?2?=c-16, ? ?4a+b=-8, ? ?8a+2b+c=c-16, ?

12. (2)由(1)知 f(x)=x3-12x+c;f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令 f′(x)=0,得 x1 =-2,x2=2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-2)上为增函数; 当 x∈(-2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(-2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数. 由此可知 f(x)在 x1=-2 处取得极大值 f(-2)=16+c,f(x)在 x2=2 处取得极小值 f(2)
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=c-16. 由题设条件知 16+c=28,得 c=12.此时 f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=- 16+c=-4, 因此 f(x)在[-3,3]上的最小值为 f(2)=-4. ax2+2x-1 1 2 19.(1)∵f(x)=lnx- ax -2x,∴f ′(x)=- (x>0).依题意 f ′(x)≥0 在 x>0 时恒 2 x 1-2x 1 成立,即 ax2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立.则 a≤ 2 =( -1)2-1 在 x>0 时恒成立,即 x x 1 1 a≤(( -1)2-1)min(x>0),当 x=1 时,( -1)2-1 取得最小值-1,∴a 的取值范围是(-∞, x x -1]. 1 1 1 3 1 3 (2)a=- 时,方程 f(x)=- x+b 化为,∴ x2- x+lnx-b=0.设 g(x)= x2- x+lnx- 2 2 4 2 4 2 b(x>0), ?x-2??x-1? 则 g′(x)= ,列表如下: 2x x g′(x) g(x) (0,1) + ↗ 1 0 极大值 (1,2) - ↘ 2 0 极小值 (2,4) + ↗

5 ∴g(x)的极小值为 g(2)=ln2-b-2, g(x)的极大值为 g(1)=-b- , 又 g(4)=2ln2-b-2, 4 g?1?≥0, ? ? ∵方程 g(x)=0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根. 则?g?2?<0, ? ?g?4?≥0,

5 得 ln2-2<b≤- . 4

20.(1) f ( x) ?
'

1 m ? 1 ?mx 2 ? x ? m ? 1 ?m? 2 ? , 令 h( x) ? ?mx 2 ? x ? m ? 1( x ? 0) , 2 x x x
f ( x) 在 (0,1) 是减函

当 m ? 0 时, h( x) ? x ? 1 ,令 h( x) ? 0, x ? 1, 令 h( x) ? 0, 0 ? x ? 1, 数, f ( x) 在 (1, ??) 是增函数;当 m ? 0 时, h( x) ? ? m( x ? 1) ? x ? (

? ?

1 ? ? 1) ? ,当 m ? 0 时, m ?

1 1 ? 1 ? 0 ? 1 , f ( x) 在 (0,1) 是减函数, f ( x) 在 (1, ??) 是增函数; 当 0 ? m ? 时, m 4 1 1 1 0 ? 1 ? ? 1 , f ( x) 在 (0,1) , ( ? 1, ??) 是减函数, f ( x) 在 (1, ? 1) 是增函数; 综上 m m m

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可知:当 m ? 0 时, f ( x) 在 (0,1) 是减函数, f ( x) 在 (1, ??) 是增函数;当 0 ? m ?

1 时, 4

f ( x) 在 (0,1) , (
数; (2)当 m ?

1 1 ? 1, ??) 是减函数, f ( x) 在 (1, ? 1) 是增函 m m
……… 8分

1 时, f ( x) 在 (0,1) 是减函数,在 (1, 2) 上是增函数,对任意 x ? (0, 2) ,有 12 5 5 f ( x1 ) ? f (1) ? , 又已知存在 x2 ? ?1, 2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 g ( x2 ) ? , x2 ? ?1, 2? , 6 6 5 即存在 x2 ? ?1, 2? ,使 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? n ? , 6 5 11 ……… 12分 n ? 1 ? ,即 n ? . 6 6
21.

. Ⅲ ) ∵ f'(0)=e -3=-2<0,f'(1)=e+1>0 , h(x)=f'(x)=e +4x-3, 则 h'(x)=e +4>0,f'(x)在正[0,1]上单调递增, ∴.f'(x)在[0,1]上存在唯一零点,f (x)在[0,1]上存在唯一的极值点. 取区间[0,1]作为起始区间,用二分法逐次计算如下
x x 0

∴ f'(0) · f'(1)<0



由上表可知区间[0.3,0.6]的长度为 0.3,所以该区间的中点 x2=0.45,到区间端点的距离小 于 0.2, 因此可作为误差不超过 0.2 一个极值点的相应 x 的值∴函数 y=f(x)取得极值时, 相应 x≈0.45. 22.见 2015 年全国课标Ⅰ第 21 题

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