2011年上海静安区高三数学(理科)二模试卷


静安区 2010 学年第二学期高三教学质量调研 数学试卷(理科)
(本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2011.4 学生注意: 1. 本试卷包括试题纸 和答题纸两部分. 2. 在试题纸上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3. 可使用符合规定的计算器答题. [来源:学科网] 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 不等式

1 x ?1 ? 1 的解集是___________. x x?4
. .

2.若函数 y ? f (x) 与 y ? e x?1 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f (x) ? 3.经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,且以 d ? (1,1) 为方向向量的直线的方程是 4. 计算:
2 Cn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 2n

lim

.

n???

5. 在二项式 ( x ?

1 x

) 8 的展开式中,含 x 5 的项的系数是

(用数字作答).

6. 若数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 的值等于

.

7. 已知直线 m ? 平面 ? ,直线 n 在平面 ? 内,给出下列四个命题:① ? // ? ? m ? n ; ② ? ? ? ? m // n ;③ m ? n ? ? // ? ;④ m // n ? ? ? ? ,其中真命题的序号是 . 8. 一个盒内有大小相同的 2 个红球和 8 个白球,现从盒内一个一个地摸取,假设每个球摸 到的可能性都相同. 若每次摸出后都不放回,当拿到白球后停止摸取,则摸取次数 ? 的 数学期望是 9. 极坐标方程 4 ? sin
2



?
2

? 5 所表示曲线的直角坐标方程是

. .

10.在△ ABC 中,已知最长边 AB ? 3 2 , BC ? 3 ,? A =30?,则? C =

11. 已 知 函 数 f ( x) ? l g ( ? 1) , 若 a ? b 且 f (a) ? f (b) , 则 a ? b 的 取 值 范 围 是 x .

12.在平行四边形 ABCD 中,AB=1,AC= 3 ,AD=2;线段 PA⊥平行四边形 ABCD 所在的 平面,且 PA =2,则异面直线 PC 与 BD 所成的角等于 表示). (用反三角函数

D A P S3 C D O S2 D A C S1 C B B C B B C A A (12 题) D (13 题) A CDCBA C 13.如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC,AC、BD 相交于 O,记△BCO、△CDO、△ADO 的 B
A S ? S3 面积分别为 S1、S2、S3,则 1 的取值范围是

S2

.

14. 已知函数 f ( x ) 满足:①对任意 x ? (0, ??) ,恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立;②当 x ? (1, 2]

) 时, f ( x) ? 2 ? x .若 f (a ) ? f (2020 ,则满足条件的最小的正实数 a 是

.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一 开 始 律得零分. 1 5.如图给出的是计算 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? 的值的一个程序框图, 3 5 2011


i=1, s=0
否 是 输出 S 结 束

其中判断 框内应填入的条件是……………………( (A) i ? 2011 ; (B) i ? 2011 ; (C) i ? 1005 ; (D) i ? 1005 .

?(3 ? a) x ? a 16. 已知 f ( x) ? ? ?loga x
(A) (1,+∞) ;

( x ? 1) ( x ? 1)

是 (??,??) 上的增函数, ) (D) [

s=s+

1 i

那么 a 的取值范围是 ……………………………( (B) (0,3); (C) (1,3) ;

3 ,3) . 2

i=i+2
(15 题)

17.在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 的侧面 ABB A1 内有一动点 P 到直线 1

A1 B1 与直线 BC 的距离相等 ,则动点 P 所在的曲线的形状为…………(

)

A1 P A (A)

B1

A1 P

B1

A1 P

B1

A1 P

B1

B

A (B)

B

A (C)

B

A (D)

B

18.已知有穷数列 A: a1 , a2 ,? ? ?, an ( n ? 2, n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两 项 ai , a j ,将

ai ? a j 1 ? ai a j

的值添在 A 的最后,然后删除 ai , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新

数列 A1 (约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系

? 列 n ? 2 项的新数列 A2, 如此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A:
则 A3 的可能结果是……………………………( (A)0; (B) ) (D)

5 3 1 1 , , , , 7 4 2 3

3 ; 4

(C)

1 ; 3

1 . 2

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要 的步骤. 19.(本题满分 12 分) 如图,用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮
2

[来源:学*科 *网] 制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计) 该容器最 , 多盛水多少?(结果精确到 0.1 cm ) [来源:学科网] [来源:学&科&网] 20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1,0) . (1)若 x ?
3

?

?

?

?
3

,求向量 a 、 c 的夹角 ? ;

(2)若 x ? ? ?

1 ? 3? ? ? , ? ,函数 f ( x) ? ? a ? b 的最大值为 ,求实数 ? 的值. 2 ? 8 4?

21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8 . (1)设点 Q( x, y) 是圆 C 上一点,求 x ? y 的取值范围; (2)如图, 定点A(1,0), M 为圆 C 上一动点,点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 求 点N 的轨迹的 内接矩形的 最大面积. M A O N y x O P

???? ?

??? ??? ???? ? ? ?

C O

A

x

22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设虚数 z 满 足 z ? m z ?
2 t

m100 ? 0 (m 为实常数, m ? 0且m ? 1 , t 为实数). 4

(1) 求 z 的值; ( 2) 当 t ? N ,求所有虚数 z 的实部和; (3) 设虚数 z 对应的向量为 OA( O 为坐标原点) OA ? (c, d ) ,如 c ? d ? 0 ,求 t 的 , 取值范围. 23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.[来源:学,科,网] 设二次函数 f ( x) ? (k ? 4) x ? kx
2
?

对任意实数 x , f ( x) ? 6 x ? 2 恒成立; 有 (k ? R) ,

数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ) . (1)求函数 f (x) 的解析式和值域; (2)试写出一个区间 ( a, b) ,使得当 a1 ? (a, b) 时,数列 {an } 在这个区间上是递增数 列, 并说明理由; (3)已知 a1 ?

1 ? ,是否存在非零整数 ? ,使得对任意 n ? N ,都有 3

? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? n ?1 log3 ? ? ? 2) n?1 n log32 ? 1 ? ? log3 ? 1 ? ? ??? ? log3 ? 1 ? ? ?? 1? (?1? ? 2? ? n log3 2 恒成 1 ? ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? an ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
立,若存在, 求之;若不存在,说明理由.

上海市静安区 2011 届第二学期高三教学质量调研
参考答案及评分标准
一、填空题 1. 【 (-1,3) 】 5. 【 28 】 8. (理) 【 2. 【 f ( x) ? ln x ? 1, ( x ? 0) 】 【 3. 【 x ? y ? 1 ? 0 】 4. 【 2011.4.16

1 】 2

6. 【 24 】 7. (文)

【①,④】. 3 】 (理)

25 11 8 ? 5? 2 】 文) ( 【 】 9. (文) 0, ? , , 【 】 (理) y ? 5 x ? 【 】 10. ? C =135?】 【 4 9 45 6 6
3 14 或 2 arcsin 】13. ( 2,??) 】14. (理) 36 ,(文) 【 【 】 7 7

11.【 (0,??) 】 12.【arccos 【 [?3 , 3] 】 二、选择题

15. ;16. 【D】 【A】 ;17. 【B】 ;18. B 】 【 三、解答题 19.(本题满分 12 分) 解:设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、l,圆锥形容器的高和底面半径 分别为 h、r,则由题意得 R= 10 2 ,由

1 Rl ? 100 2? 得 2

l ? 20? ;
………2 分 由

……………………………………………………………………………………

2?r ? l



r ? 10 ;…………………………………………………………………………………5 分


R2 ? r 2 ? h2



h ? 10 ;……………………………………………………………………………8 分
由 V锥 ?

1 1 ?r 2 h ? ? ? ? 100 ? 10 ? 1047 .2cm 3 3 3
3

所以该容器最多盛水 1047.2cm ……12 分

………………………………………………………………

(说明: ? 用 3.14 得 1046.7 毫升不扣分)

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)当 x ?

?
3

时,

? ? 3 1? a?? ? 2 , 2 ? , ………………………………………………………………1 分 ? ? ?

3 ? ? ? a?c 3 ? ? ? 2 ?? 所以 cos ? ? ?? ……………………… 2 | a | ? | c | 1? 1
……………………………………… 因而 ? ? 4分

5? ; 6

……………………………

……………………………………………………6 分 (2)

f ( x) ? ? (sin 2 x ? sin x cos x) ?
7分

?
2

(1 ? cos 2 x ? sin 2 x) , ……………………………………

f ( x) ?

??

? ? ?1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2? 4 ?

………………………………………………………………

………10 分 因为 x ? ? ?

? 3? ? ? ,所以 , ? 8 4? ?
……………………………………………………11 分

? ? ? ?? ? ? ? ?? 2 x ? ? ?? ? ,, ? 2 x ? ? ?? 4 ? 2 4? 4 ? 2 4? ?
当 ? ? 0 时, f max ( x) ?

?
2

?1 ? 1? ?

1 ,即 2

1 , …………………………………………………12 分 2 ? 1 1 ? 2 ? ,即 当 ? ? 0 时, f max ( x) ? 2 2

??

?

?

? ? ?1 ? 2
所以

.…………………………………………13 分

? ? 或? ? ?1 ? 2 . …………………………………………………………………………

1 2

…14 分 21.( 本题满 分 14 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解 : 文 ) 1 ) 由 题 意 知 所 求 的 切 线 斜 率 存 在 , 设 其 方 程 为 y ? k ( x ? 3) , 即 ( (

kx ? y ? 3k ? 0 ;……2 分


| ?k ? 3k | k ?1
2

? 8 得 8k 2 ? 8 ? 16k 2 ,解得 k ? ?1 ,…………………5 分
M A N O y x P O CO A x

从而所求的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 , x ? y ? 3 ? 0 .…………………6 分 (2)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线, ∴|NA|=|NM|.…………………………………8 分[来 源:学。科。网] 又? CN | ? | NM |? 2 2,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | |

∴ 动 点 N 的 轨 迹 是 以 点 C ( - 1 , 0 ), A ( 1 , 0 ) 为 焦 点 的 椭 圆.……………………………………12 分 且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴点 N 的轨迹是方程为

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.

[来源:学,科,网]

x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………………………14 分 2
(理) (1)∵点在圆 C 上,∴可设

? ? x ? ?1 ? 2 2 cos? ? ? [0,2? ) ;……………………………2 分 ? ? y ? 2 2 sin ? ? ? x ? y ? ?1 ? 2 2 (cos ? ? sin ? ) ? ?1 ? 4 sin(? ? ) ,………………………………… 4
…………4 分 从而

x ? y ? [?5,3] .………………………………………………………………………………… …
6分 (2)? AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0. ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴

|NA|=|NM|.……………………………………………………………8 分 又? CN | ? | NM |? 2 2,? CN | ? | AN |? 2 2 ? 2. | | ∴ 动 点 N 的 轨 迹 是 以 点 C ( - 1 , 0 ), A ( 1 , 0 ) 为 焦 点 的 椭 圆.……………………………………10 分
[来源:学#科#网]

且椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴点 N 的轨迹是方程为

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.

x2 ? y 2 ? 1. …………………………………………………………………12 分 2
所以轨迹 E 为椭圆,其内接矩形的最大面积为

2 2 .………………………………………………14 分
22. (本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解 : ( 1 )

mt ? m100 ? m2t i , z? 2


…………………………………………………………………2

=

mt ? m100 ? m2t i

?z ?

m2t m100 ? m2t m50 ? ? 4 4 2

………………………………………………………

…………4 分 (或 zz ? z ?
2

?

m100 m50 ?z ? ) 4 2
100

[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

(2) z 是虚数,则 m 当

? m2t ? 0 ? mt ? m50 , z 的实部为

mt ; 2

2 49 50 mm m2 m2 m49 m50 ? m m50 ? m m49 m ? 1, 得t?? 得t 且t 且t N N? S ? 2( ? ? ? ? ? ? ) ? ? ? ) ? .……………… m ? 1, 50? 50 ? ? ? S ?22( m 1, 2 ?1 m ?1 22 2 2 2 m

? ? ?

………7 分 当

51 52 51 52 51 m52 m mm51 mm52 mm51 0 ? 0 ?? ?? 1,t tt ?? 50且?? N?S S?? 2( ?? ???)?? 0 m m 1, 1, 得 50且t t N ? ? S 2( ? ? 得 得 50 ? ? ?) ? 0 ? mm 1, 得 ?t? 50且t? N ???? ? 2( ?) 2 .…………………………… 2 1m 22 22 11 ? m ?

………10 分 (3)解: c ?

mt ? m100 ? m2t ? 0, d ? 2 2

① ?d ? d d ?? ?

m100?? 222t m100 2 m m100 t , c ? c ? d 恒成立, ,, d 22 2
得 , 当

m100 ? m2t ? 0 ? mt ? m50 由

m ?1 时 ,

t ? 50





0 ? m ?1





t ? 50 .………………………………12 分
② d ? 当

m100 ? m2t mt , 如 c ? d, 则 ? 2 2

m100 ? m2t m100 m50 ? m2 t ? 即m t ? , 2 2 2

?t ? 50 1 1 ? 50 - log 2 2 ? 50 m ? 1, ? 即50? log m m ? t? t ?. 50 ………………………… 1 2 2 ?t ? 50 ? 2 log m 2 ?
…………14 分 当

?t ? 50 11 ? 50 ? ? 50 0 ? m ? 1, ? 即50<t t 50 ? - log m 2 m 2 ………………… < log 1 22 t ? 50 ? log m 2 ? ? 2
…………16 分 23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.
2 解 :( 1 ) 由 f ( x) ? 6 x ? 2 恒 成 立 等 价 于 (k ? 4) x ? (k ? 6) x ? 2 ? 0 恒 成

立,…………………………1 分 从 而 得 : ?

?k ? 4 ? 0 ?(k ? 6) ? 8(k ? 4) ? 0
2

, 化 简 得 ?

?k ? 4
2 ?(k ? 2) ? 0

, 从 而 得 k ?2 , 所 以

f ( x) ? ?2 x 2 ? 2 x ,………3 分
其值域为

1 (?? , ] .…………………………………………………………………………………………… 2
…4 分 (2)解:当 a1 ? (0, 网] 设 an ? (0, ), n ? 1 ,则 a n ?1 ? f (a n ) ? ?2a n ? 2a n ? ?2(a n ? ) ?
2 2

1 ) 时,数列 {an } 在这个区间上是递增数列,证明如下:[来源:学科 2

1 2
*

1 2

1 1 ? (0, ) ,所以对 2 2

一切 n ? N ,均有

1 a n ? (0, ) ;……………………………………………………………………………………… 2
………7 分

1 1 2 a n ?1 ? a n ? f (a n ) ? a n ? ?2a n ? 2a n ? a n ? ?2(a n ? ) 2 ? 4 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a n ? (0, ) ? ? ? a n ? ? ? (a n ? ) 2 ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? ? ?2(a n ? ) 2 ? ? 0 2 4 4 4 4 16 4 8 4 8
, 从 而 得 an?1 ? an ? 0 , 即 a n ?1 ? a n , 所 以 数 列 {an } 在 区 间 (0, ) 上 是 递 增 数 列.………………………10 分 注:本题的区间也可以是 [ , ) 、 [ , ) 、 [ , ) 等无穷多个. 另解:若数列 {an } 在某个区间上是递增数列,则 an?1 ? an ? 0 即

1 2

1 1 5 2

1 1 4 2

1 1 3 2

1 2 2 an?1 ? an ? f (an ) ? an ? ?2an ? 2an ? an ? ?2an ? an ? 0 ? an ? (0, ) ……………… 2
…………7 分

1 1 ? (0, ) ,所以 2 2 1 1 * 对一切 n ? N ,均有 a n ? (0, ) 且 an?1 ? an ? 0 ,所以数列 {an } 在区间 (0, ) 上是递增数 2 2
又当 an ? (0, ), n ? 1 时, a n ?1 ? f (a n ) ? ?2a n ? 2a n ? ?2(a n ? ) ?
2 2

1 2

1 2

列.…………………………10 分 (3) (文科)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而

1 ? a n ?1 2 1 ? a n ?1 2

1 1 ? a n ? (0, ) ; 2 2 1 1 1 2 2 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 2 2 2 1 ? 2( ? a n ) 2 ; ………12 分 2

1 2





令 bn ?

1 1 2 ? a n ,则有 bn?1 ? 2bn 且 bn ? (0, ) ; 2 2

从而有 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 可得 lg bn?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) , 所以数列 {lg bn ? lg 2} 是 以 lg b1 ? lg 2 ? lg(

1 1 1 ? ) ? lg 2 ? lg 为 首 项 , 公 比 为 2 的 等 比 数 2 3 3
2 n ?1

列,……………………………………14 分

1 ?1? 从 而 得 lg bn ? lg 2 ? lg ? 2 n ?1 ? lg? ? 3 ? 3?
?1? ? ? 3 bn ? ? ? 2
所以
2 n ?1

2 n ?1

?1? ? ? ? 3? , 即 lg bn ? lg 2

, 所 以

1 ?1? ? ? ? 2 ? 3?

2 n ?1



[来源:学&科&网]

1

1 ? an 2 ? ? ? 1 ? n ?1 ? ? log3 (2 ? 32 ) ? log3 2 ? 2 n?1 , ………………16 分 log3 ? ? 1 ?a ? ? n ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 ? ? 所以 , log3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?
? n log3 2 ?
…………18 分

?

n ?1 1 ? 2 ? 32 ,所以 bn

1 ? 2n ? 2n ? n log3 2 ? 1 . 1? 2

…………………………………………

1 1 ? a n ? (0, ) ;[来源:学科网] 2 2 1 1 1 1 2 2 ? a n ?1 ? ? (?2a n ? 2a n ) ? 2a n ? 2a n ? ? 2(a n ? ) 2 , 2 2 2 2 1 1 ? a n ?1 ? 2( ? a n ) 2 ;………12 分[来源:Zxxk.Com] 2 2 1 1 2 令 bn ? ? a n ,则有 bn?1 ? 2bn 且 bn ? (0, ) ; 2 2
(3) (理科)由(2)知 a n ? (0, ) ,从而

1 2



从而有 lg bn?1 ? 2 lg bn ? lg 2 , 可得 lg bn?1 ? lg 2 ? 2(lg bn ? lg 2) , 所以数列 {lg bn ? lg 2} 是

lg b1 ? lg 2 ? lg

1 3















2









列,………………………………………………………14 分

1 ?1? 从 而 得 lg bn ? lg 2 ? lg ? 2 n ?1 ? lg? ? 3 ? 3?
?1? ? ? 3 bn ? ? ? 2
2 n ?1

2 n ?1



?1? ? ? ? 3? 即 lg bn ? lg 2

2 n ?1

, 所 以

1 ?1? ? ? ? 2 ? 3?

2 n ?1



? ? ? 1 ? n ?1 n ?1 1 ? ? log3 (2 ? 32 ) ? log3 2 ? 2 n?1 , 所以 ? ? 2 ? 32 ,所以 log3 ? 1 bn ? 1 ?a ? ? an ? n ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? log3 ? ? ? ? ? ? ? log3 ? ? 所以, log3 ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? 1 ?a ? ? ? ? 1? 2 ? n ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?

1

? n log3 2 ?
………16 分

1 ? 2n ? 2n ? n log3 2 ? 1 .……………………………………………… 1? 2

2 ? ? n log3 2 即 2n (log 3 2) n ? 1 ? ? ?1?
n

n ?1

2? ? n log3 22? 1 ,所以, 2n ?1 ? ? ?1? 3 ?1
n ?1

n ?1

? 恒成立
有最小值 1 为。? ? ? 1

(1) 当 n 为奇数时,即 ? ? 2

恒成立,当且仅当 n ? 1 时, 2

n?1

(2) 当 n 为偶数时, ? ? ?2 即
源:学*科*网 Z*X*X*K]

n ?1

? 恒成立, 当且仅当 n ? 2 时, 有最大值 ?2 为。 ? ? ?2

[来

所 以 , 对 任 意 n? N

?

, 有 ?2 ? ? ? 1 。 又 ?

非 零

整 数 ,

? ? ? ?1 …………………………………18 分
[来源:学|科|网]


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