淮阴中学高三数学一轮复习学案:函数的综合应用


第 17 课

函数的综合应用

考点解说 熟练利用函数的知识方法解决函数的综合问题, 注意函数知识与其它知识的联系, 灵活选择 适当方法解决问题。 一、基础自测 1 1.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称, 2 则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=________________。 2.对于函数 f ( x) 定义域中任意的 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,有如下结论: ① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ ② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . ④ f( 1 ? 0; 2 2 x1 ? x2 当 f ( x) ? lg x 时,上述结论中正确结论的序号是 。 1 3.函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ? ,若 f ?1? ? ?5, f ? x?
则f

? f ?5?? ? __________。

x2 ? x ? 3 4. 若函数 y ? 的定义域为 ? 0, ??? ,则它的值域是 。 x x ?[0,1] ?1 5. 已知 f ( x) ? ? ,若 f [ f ( x)] ? 1 ,则实数 x 的取值范围为________。 ? x ? 3 x ? [0,1] x2 ? 1 6.关于函数 f ( x) ? lg ( x ? R, x ? 0), 下列命题: | x| (1) f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; (2)当 x ? 0 时, f ( x ) 为增函数;当 a ? 0 时 f ( x ) 为减函数; (3) f ( x ) 的最小值 lg 2 ; (4)当 ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 时, f ( x ) 是增函数; (5)函数 f ( x ) 无最大值无最小值。其中真命题的序号为
二、例题讲解 例 1.对于函数 f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1(a ? 0) ,若存在实数 x0 ,使 f ( x0 ) ? x0 成立, 则称 x0 为函数 f ( x ) 的不动点。 (1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x ) 的不动点; (2)若对于任意实数 b ,函数 f ( x ) 恒有两个相异的不动点,求实数 a 的取值范围。

例 2. 已知不等式

1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? log a (a ? 1) ? 对于一切大于 1 的自 n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 12 3 然数 n 都成立,求实数 a 的取值范围。

1

例 3.设 f ( x ) 是定义在 (??, ??) 上的以 2 为周期的周期函数且 f ( x ) 为偶函数, 在区间[2,3]上, f ( x) ? ?2( x ? 3) 2 ? 4 。 (1)求 x ? [1, 2] 时 f ( x ) 的解析式; (2)若矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 在 x 轴上 , C , D 在 y ? f ( x) (0 ? x ? 2) 的图象上 , 求这个矩形面积的最大值。

例 4.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R,对任意实数 x , y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , 且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1。

f ( x) ? 0 ; (2)求证: f ( x ) 为减函数; (3)若 f (a) ? f (b) ? f ( ?a) ? f ( ?b) ,求证: a ? b ? 0 ;
(1)求证:

1 1 ,解不等式 f ( x) f (3x ? 1) ? ; 9 27 (5)设 A ? {( x, y) | f ( x2 ) f ( y 2 ) ? f (1)} , B ? {( x, y) | f (ax ? y ? 2) ? 1, a ? R} ,
(4)若 f (2) ? 若A

B ? ? ,求 a 的取值范围。

板书设计:

教后感: 三、课后作业 班级

姓名
x

学号

等第

1. 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a) , 则 f ( x) ? 。 2.函数 y ?

ln( x ? 1)

? x 2 ? 3x ? 4 ? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 3.设函数 f ( x) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解集是 ? x ? 6, x ? 0 4.设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是

的定义域为



。 。

2

x 5.已知函数 f ( x ) 满足:当 x ? 4 时, f ( x ) = ( ) ;当 x ? 4 时, f ( x ) = f ( x ? 1) ,

1 2

则 f (2 ? log2 3) =



6.偶函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 7. 若函数 f ? x ? ?

1 3



2x

2

? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是
,则不等式 | f ( x ) |?



?1 , x?0 ? ?x 8.若函数 f ( x ) ? ? ?( 1 ) x , x ? 0 ? ? 3
1 2

1 的解集为____ 3

________。

1 的值域是 f ( x) 1 1 ? f ( x) 10.函数 f ( x ) 的定义域为 R,且 f ( x ? 2) ? ,若 f (3) ? ? ,则 f (2007) = 3 1 ? f ( x)
9.若函数 y ? f ( x) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? 1. 2. 3. 4. 5.

。 。

6.

7.

8.

9.

10.

11.设 a 是实数,求函数 f ( x) ? 4 x ? 4 ? x ? 2a(2 x ? 2 ? x ) 的最小值,并求相应的 x 值。

12.已知函数 f ? x ? ? x ?
2

(1)判断函数 f ?x ? 的奇偶性;

a ( x ? 0, a ? R) x

(2)若 f ?x ? 在区间 ?2,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围。

13. 设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2x ? ( x ? a) | x ? a | 。 (1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(2)求 f ( x ) 的最小值。
3

14.在函数 y ? lg x 的图像上有 A、B、C 三点,它们的横坐标分别为 m,m+2,m+4(m>1) (1)若△ABC 面积为 S,求 S=f(m);(2)判断 S=f(m)的增减性; (3)求 S=f(m)的值域。

错因分析:

4

5


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