直线的参数方程1


直线的参数方程

请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些? y ? kx ? b y ? y ? k ( x ? x ) 点斜式: 0 0
y ? y1 x ? x1 ? 两点式: y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b

一般式: Ax ? By ? C ? 0

y2 ? y1 k? x2 ? x1

? tan ?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为 y ? y ? tan ? ( x ? x ) 0 0 ? 要注意: sin ? 把它变成 ? y0 ? ( x ? x0 ) x0, y0 y 都是常

cos ? 数,t才是参 y ? y0 x ? x0 进一步整理,得: ? 数 sin ? cos ? y ? y0 x ? x0 ? ?t 令该比例式的比值为t ,即 sin ? cos ? ?x=x0 ? t cos ? 整理,得到 ? (t是参数) ? y ? y0 ? t sin ?

求这条直线的方程. 解:? 在直线上任取一点M(x,y),则 ?????? (x, y) ? ( x0 ? y0 ) ? ( x ? x0 , y ? y0 ) M? 0M ? y 设 ? e是直线l的单位方向向量,则 M(x,y) e ? (cos ? ?????? ?,sin ? ?) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t ? R, ?????? ? ? M0(x0,y0) 使M 0 M ? te,即 ? ( x ? x0 , y ? y0 ) ? t (cos ? ,sin ? ) e x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? 所以 即,x ? x0 ? t cos ? , y ? y0 ? t sin ? ? (cos ? ,sin ? ) 所以,该直线的参数方程为 O
? x ? x0 ? t cos ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

问题:已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 ),倾斜角?,

x

思考?????? ?

? 由M 0 M ? te, 你能得到直线l的参数方程中 参数t的几何意义吗? ?????? ?
y M M0

? ?????? ? ? 解: ? M 0 M ? te ? M 0 M ? te ? ? 又 ? e是单位向量, ? e ?1 ?????? ? ? ? M 0M ? t e ? t

所以,直线参数方程中 参数t的绝对值等于直 这就是t的几何 意义 ,要牢记 线上动点M 到定点 M0 的 |t|=|M0M| 距离.

? e
O
x

?????? ? ??? 我们是否可以根据t的值来确定向量 M0M

我们知道e是直线l的单位方向向量,那 么它的方向应该是向上还是向下的?还
?????? ? M0 M

的方向呢??

是有时向上有时向下呢? 分析: 此时 , 若 t>0, 则 ?????? ? ?? 是直线的倾斜角, ?当0<? <? 时,?sin? >0 ? ?0 M 的方向向上; M 又 ? sin? 表示e的纵坐标, ? e 的纵坐标都大于 0 若 t<0, ? ?????? ? 则 ? 那么e的终点就会都在第一,二象限, ? e的方向 ; M0 M的点方向向下 若t=0,则M与点 就总会向上。 M0重合.

2 例 1 例1.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于

A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y

M(-1,2)

O

B

x

例 例 11.已知直线l : x ? y ? 1 ? 0与抛物线y ? x 交于 A,B两点,求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
2

两点的距离之积。
解:因为把点M的坐标代入直线方 程后,符合直线方程,所以点M A 在直线上. 3? 易知直线的倾斜角为 4 所以直线的参数方程可以写成 3? ? x=-1+tcos ? ? 4 (t为参数) ? ? y ? 2 ? t sin 3? ? ? 4

y

M(-1,2)

O

B

x

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 即? (t为参数) A ?y ? 2? 2 t ? ? 22 把它代入抛物线y=x 的方程,得

y

M(-1,2)

t ? 2t ? 2 ? 0
2

O

B

x

由参数t的几何意义得

? 2 ? 10 ? 2 ? 10 解得t1 ? ,t2 ? 2 2

AB ? t1 ? t2 ? 10
MA ? MB ? t1 ? t2 ? t1t2 ? 2

探究
直线与曲线y ? f ( x)交于M 1 , M 2两点,对应的参数 分别为t1 , t2 . (1)曲线的弦M 1M 2的长是多少? (2)线段M 1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少?

(1) M 1M 2 ? t1 ? t2 t1 ? t2 (2)t ? 2

?x=x0 ? t cos ? 1.直线 ? (t为参数)上有参数分别 ? y ? y0 ? t sin a 为t1和t2对应的两点A和B,则A,B两点的距离为

A.t1 ? t2 B. t1 ? t2 C. t1 ? t2 D. t1 ? t2

练习

? x ? a ? t cos ? 2。在参数方程 ? (t为参数)所表示 ? y ? b ? t sin ? 的曲线上有B,C两点,它们对应的参数值分别为 t2、t2 , 则线段BC的中点M对应的参数值是(



t1 ? t2 A. 2

t1 ? t2 B. 2

|t1 ? t2 | C. 2

| t1 ? t2 | D. 2

小结:

1.直线参数方程

? x ? x0 ? at (t为参数) |t|=|M0M| t 才具有此几何意义 ? ? y ? y0 ? bt 其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.

2.利用直线参数方程中参数t的几何意义, 简化求直线上两点间的距离 2 2.

?x=x0 ? t cos ? ? ? y ? y0 ? t sin ?

探究:直线的 参数方程形 (t是参数) 式是不是唯 一的

当a ? b ? 1时,

作业:p39第1题
预习:例2,例3.例4

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 3.一条直线的参数方程是 ? (t为参数), ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 2 另一条直线的方程是x-y-2 3 ? 0, 则两直线的交点 与点(1,-5)间的距离是

4 3

4。求直线l : 4 x ? y ? 4 ? 0与l1:x ? 2 y ? 2 ? 0及直线 l2: 4 x ? 3 y ? 12 ? 0所得两交点间的距离。

9 17 14

5.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的 分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长 度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处, 求点M的轨迹的参数方程.

3 ? x=2+ t ? x ? 3t ? 2 ? ? 5 ( t 为参数) ? ( t 为参数) ? ? y ? 4t ? 1 ? y ? 1? 4 t ? 5 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 5.直线 ? (t为参数)与圆 ? ? y ? t sin a ? y ? 2sin ? (?为参数)相切,则直线倾斜角? 为( )

? 5? 5? ? 3? ? 2? D. ? 或 ? A. 或 C. 或 B. 或 6 6 6 6 3 3 4 4

?

? x ? 4 ? at 2 2 6.如直线 ? (t为参数)与曲线x ? y ? 4 x ? y ? bt ? 2? ?1 ? 0相切,则这条直线的倾斜角等于 或
3 3

? ? x ? t sin 20 ? 3 1。直线 ? (t为参数)的倾斜角是 o ? ? y ? ?t cos 20
o

A.20

o

B.70

o

C.110

o

D.160

o

辨析: 例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分 速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1), 求点M的轨迹的参数方程. 解: 请思考:此时的t x ? 1 ? 9 t ? 有没有明确的几 (t为参数) ? 何意义? ? y ? 1 ? 12t

没有

重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:

? x ? x0 ? at (t为参数) ? ? y ? y0 ? bt
当a ?b ? 1时,t有明确的几何意义,它表示 M 0 M
2 2

此时我们可以认为a ? cos ? , b ? sin ? .? 为倾斜角。 当a ?b ? 1时,t没有明确的几何意义。
2 2


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