高中数学复习专题一 函数图象问题(教师版)


专题 函数图象问题(教师版) 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法,尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式,形象 的显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1. 函数图象作图方法 (1)描点法:列表、描点(注意关键点:如图象与 x 、 y 轴的交点,端点等) ) 、连线(注意关键线:如;对称轴,渐近线等) (2)利用基本函数图象变换。 2.图象变换(由一个图象得到另一个图象) :平移变换、对称变换和伸缩变换等。 (1)平移变换 ① 水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图象可以把函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可 得到; ② 竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图象可以把函数 y ? f ( x) 的图象沿 y 轴方向向上 ( a 即可得到. (2)对称变换 ① 函数 y ? f (? x) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称即可得到; ② 函数 y ? ? f ( x) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象关于 x 轴对称即可得到; ③ 函数 y ? ? f (? x) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称即可得到; (3)翻折变换 ① 函数 y ?| f ( x) | 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; ② 函数 y ? f (| x |) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴 右边部分即可得到. (4)伸缩变换 ① 函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来 ② 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图象可以将函数 y ? f ( x) 的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长( 0 ? 原来的 1 倍得到. a 3.函数图象的对称性:对于函数 y ? f ( x) ,若对定义域内的任意 x 都有 ① f (a ? x) ? f (a ? x) (或 f ( x) ? f (2a ? x)) ,则 f ( x) 的图象关于直线 x ② f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b (或 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b) , ,则 的 a 倍得到;

? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位

a ? 1 )或压缩 (a ? 1) 为

? a 对称;

f ( x) 的图象关于点 P(a, b) 对称.

4、熟练掌握基本初等函数(如正、反比例函数,一次、二次函数,指数、对数函数,幂函数,三角函数)的图象 5、作函数图象的一般步骤: (1)求出函数的定义域; (2)化简函数式; (3)讨论函数的性质(如奇偶性、周期性、单调性)以及图像上的特殊点、线(如极值点、渐近线、对称轴等) ; (4)利用基本函数的图像 (5)利用描点法或图象变换作图 6.判断函数图象的方法 判断函数图象是高考中经常出现的内容,大多属于简单题,值得重视。常用方法有: (1)取点(描点) (2)考虑函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、变化趋势、对称性等方面 (3)利用平移 (4)利用基本形状 4.应用:利用函数图象解决有关问题,即“数形结合”思想解答问题或帮助分析问题。 二、题型演练 题型一、作函数的图像 例 1、作出下列函数的图象. 2x ?1 1 |x| 1 (1)y= (lgx+|lgx|); (2)y= ; (3)y= ( ) . 2 x ?1 2 ?0 (0 ? x ? 1). 解 (1)化简解析式得 y= ? 利用对数函数的图像即得图(1) ?lg x ( x ? 1). 1 2x ?1 (2)由 y= ,得 y= +2. x ?1 x ?1 1 1 1 作出 y= 的图象,将 y= 的图象向右平移一个单位,再向上平移 2 个单位得 y= +2 的图象如图(2). x ?1 x x 1 x 1 x 1 x (3)作出 y=( ) 的图象,保留 y=( ) 图象中 x≥0 的部分,加上 y=( ) 的图象中 x>0 的部分关于 y 轴的对称部分, 2 2 2

即得 y=(

1 |x| ) 2

.如图(3)

(1) 例 2、作出

(2)

(3)

y ?| log2(x ? 1) | ?2 的图象.

[分析]利用图象变换作图(如图)

y ? log2 x 的图象(图①). 第二步:将 y ? log2 x 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位得 y ? logx(x ? 1 ) 的图象(图②). 第三步: 将y?l 以 x 轴为对称轴对称到 x 轴的上方得 y ?| log2(x ? 1 (图 og 2(x ? 1) 的图象在 x 轴下方的图象, ) | 的图象)
解:第一步:作出 ③). 第四步:将

y ?| log2(x ? 1) | 的图象沿 y 轴方向向上平移 2 个单位,得到 y ?| log2(x ? 1) | ?2 的图象(图④).

[评注]运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把点取在关键处,要把线连在恰当处.这就要 求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和 手段,是一个难点.用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这也是个难点. 题型二、已知两个函数解析式,指出它们之间的变换或已知一个解析式和变换,求另一个解析式。 例 3.说明由函数 解:方法一: (1)将函数

y ? 2x 的图像经过怎样的图像变换得到函数 y ? 2? x?3 ? 1的图像.

y ? 2x 的图像向右平移 3 个单位,得到函数 y ? 2x?3 的图像; x ?3 ? x ?3 (2)作出函数 y ? 2 的图像关于 y 轴对称的图像,得到函数 y ? 2 的图像; ? x ?3 ? x ?3 (3)把函数 y ? 2 的图像向上平移 1 个单位,得到函数 y ? 2 ? 1的图像.
方法二:

y ? 2x 的图像关于 y 轴的对称图像,得到 y ? 2? x 的图像; ?x ? x ?3 (2)把函数 y ? 2 的图像向左平移 3 个单位,得到 y ? 2 的图像; ? x ?3 ? x ?3 (3)把函数 y ? 2 的图像向上平移 1 个单位,得到函数 y ? 2 ? 1的图像.
(1)作出函数 题型三、选择正确的函数图象 例 4、已知 a

? 0 ,且 a ? 1,函数 y ? a x 与 y ? loga (?x) 的图象只能是图中的(



[分析]可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数 a 对图象的影响。 解:解法一:首先,曲线

y ? a x 只可能在上半平面, y ? loga (?x) 只可能在左半平面上,从而排除 A、C。 其次,从单调性着眼, y ? a x 与 y ? loga (?x) 的增减性正好相反,又可排除 D。 ,0) ,以上图象均不符合这些条 解法二:若 0 ? a ? 1 ,则曲线 y ? a x 下降且过点(0,1),而曲线 y ? loga (?x) 上升且过 (?1 ,0) ,只有 B 满足条件。 件. 若 a ? 1 时,则曲线 y ? a x 上升且过(0,1),而曲线 y ? loga (?x) 下降且过 (?1 解法三:如果注意到 y ? loga (?x) 的图象关于 y 轴的对称图象为 y ? loga x ,又 y ? loga x 与 y ? a x 互为反函数(图 象关于直线 y ? x 对称) ,则可直接选定 B。

[答案]B 例 5.函数 y ? f ( x) 与函数 则函数

y ? g ( x) 的图象如右,

y ? f ( x) · g ( x) 的图象是( )

解 : 由 图 象 可 知 , f ( x) 是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 且 f ( x) 与 g ( x) 的 公 共 定 义 域 为 x ? 0 , 排 除 C 、 D 。 令 F ( x) ? f ( x) · g ( x) ,则 F (? x) ? f (? x) ? g (? x) ? ? f ( x) · g ( x) ,所以 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为奇函数,其图象关于原点 对称,排除 B。故选 A。 题型四、函数图象的应用

1 的图像; x 2 (2)对每一个实数 x ,三个数 ? x, x,1 ? x 中最大者记为 y ,试判断 y 是否是 x 的函数?若是,作出其图像,讨论其性质(包
例 6.(1)试作出函数

y ? x?

括定义域、值域、单调性、最值) ;若不是,说明为什么? 解: (1)令 f ( x) ? x ?

1 1 ,∵ f ( ? x ) ? ?( x ? ) ? ? f ( x ) ∴ f ( x ) 为奇函数,从而可以先作出 x ? 0 时 f ( x ) 的图像,再利用 x x

f ( x) 的图像关于原点对称可得 x ? 0 时 f ( x) 的图像。又∵ x ? 0 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 2
? 1 时, f ( x) 的最小值为 2,图像最低点为 (1, 2) , 又∵ f ( x ) 在 (0,1) 上为减函数,在 (1, ??) 上是增函数, 1 同时 f ( x) ? x ? ? x( x ? 0) 即以 y ? x 为渐近线, x 于是 x ? 0 时,函数的图像应为下图①, f ( x ) 图象为图② y y
∴x

x

x

y

O


x

O


x

O


x

(2)y 是 x 的函数,作出 g1 ( x) ?

定义域为 R ; x, g2 ( x) ? ?x, g3 ( x) ? 1 ? x2 的图像可知, f ( x) 的图像是图③中实线部分. 值域为 [1, ??) ;单调增区间为 [?1,0),[1, ??) ;单调减区间为 (??, ?1),[0,1) ;当 x ? ?1 时,函数有最小值 1;函数无最 大值. 【评注】解决图像的应用问题,准确地做出图像是问题的关键。 小结:函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周 期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又 要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换等。注意:平移、伸缩变换的先后次序对变换的影响,可结合具体问题阐述如何进 行平移、伸缩变换。 习题 1.在下列图象中,二次函数 y=ax +bx 与指数函数 y= (
2

b x ) 的图象只可能是 a
y

y
1 -1

y
1

y
1

1
1

o1

A

x

-1

o

1

B
( )

x

-1

o

C

x

-1

o

1

D

x

2.函数 y=

3x ? 1 的图象 x?2

A.关于点(?2,3)对称

B.关于点(2,?3)对称

C.关于直线 x= ?2 对称

D.关于直线 y= ?3 对称。

3、设函数

? 2 f ( x) ? ? x ? bx ? c, x ? 0, ? 2, x ? 0.
(B)2



f (?4) ? f (0), f (?2) ? ?2 则关于 x 的方程 f ( x) ? x 的解的个数为(
(D)4 D:3 ) D.向右平移 1 个单位长度



(A)1 4、方程 2
x

(C)3

?x

2

的实根的个数为(

)A:0 B:1 C:2

1 1 5.为了得到函数 y ? 3 ? ( ) x 的图象,可以把函数 y ? ( ) x 的图象( 3 3

A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向左平移 1 个单位长度 ?a (a ? b) x 6.定义运算 a ? b ? ? , 则函数 f(x)= 1 ? 2 的图象是 b ( a ? b ) ?

7.要得到 8.已知

y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个单位而得到。 f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? 2) 的图像关于_______对称;已知 f ( x ? 2) 是偶函数,则函数 f ( x) 的图像关于_____对称.

9、写出函数 10、 若 0 ?

y ? log4 (1 ? 2 x ? x 2 ) 的图像经过怎样的变换可得到函数 y ? log2 x
a ? 1 ,则方程 a x ? log a x
3

的图像。

有几个实根

11、设曲线 C 的方程是

y ? x ? x ,将 C 沿 x 轴,y 轴正方向分别平行移动 t,s 单位长度后得曲线 C1 。 (1)写出曲线 C1 的方程;(2)

?t s? A? , ? 对称。 ? 2 2? 12、试讨论方程 1 ? x ? kx 的实数根的个数。
证明曲线 C 与 C1 关于点


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