2011年静安区初三数学二模试卷(含答案)


静安区“学业效能实证研究”学习质量调研 九年级数学学科
2011.4

(满分 150 分,100 分钟完成)
考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答, 在草稿纸、本调研卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算 的主要步骤. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) [每小题只有一个正确选项,在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1.下列各数中与 3 (A) 3 2.不等式组 ?
? 1 2

相等的是 (B) ? 3 (C)

3 3

(D) ?

3 3

? x ? ?2, 的解集是 ?? x ? 1
(B) x ? ?1 (C) x ? ?1 (D) ? 2 ? x ? ?1

(A) x ? ?2

3.下列问题中,两个变量成反比例的是 (A)长方形的周长确定,它的长与宽; (C)长方形的面积确定,它的长与宽; (B)长方形的长确定,它的周长与宽; (D)长方形的长确定,它的面积与宽.

4.一支篮球队准备购买 10 双运动鞋,各种尺码统计如下表: 尺码(厘米) 购买量(双) 25 1 25.5 1 26 2 26.5 4 27 2

则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别为 (A)26 厘米,26 厘米 (C)26.5 厘米,26 厘米 5.三角形的重心是三角形的 (A)三条中线的交点 (C)三边垂直平分线的交点 6.下列图形中,可能是中心对称图形的是 (B)三条角平分线的交点 (D)三条高所在直线的交点 (B)26.5 厘米,26.5 厘米 (D)26 厘米,26.5 厘米

1

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案] 7.计算: 20 ? | 1 ? 2 | = 8.化简: ▲ ▲ . ▲ . .

a ?a ? a ?1

9. 如果关于 x 的方程 x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 0 有两个实数根, 那么 m 的取值范围是 10. 将二元二次方程 x 2 ? 6 xy ? 5x ? 0 化为二个一次方程为 ▲ .

11. 如果函数 y ? ( k 为常数) 的图像经过点 (–1, –2) 那么 y 随着 x 的增大而 , 12. 如果 ( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 0 , 那么 x ? 1 ? ▲ .

x k





13.在一个袋中,装有四个除数字外其它完全相同的小球,球面上分别标有 1、2、3、4 这四个 数字,从中随机摸出两个球,球面数字的和为奇数的概率是 ▲ .

14.为了了解某校九年级学生的身体素质情况,在该校九年级随机抽取 50 位学生进行一分钟跳 绳次数测试,以测试数据为样本,绘制出频数分
16 频数

布直方图(如图,每组数据可含最小值,不含最
12

大值) 如果在一分钟内跳绳次数少于 120 次的为 ,
8

不合格,那么可以估计该校九年级 300 名学生中 跳绳不合格的人数为 ▲ . ▲ .

4 O 80 100 120 140 160 180 跳绳次数

15.正五边形每个外角的度数是

(第14题图) ▲ .

16.在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,BD=2CD, AB ? a , AC ? b ,那么 AD ?

17.已知⊙ O1 与⊙ O2 两圆内含, O1O2 ? 3 ,⊙ O1 的半径为 5,那么⊙ O2 的半径 r 的取值范围 是 ▲ .

18.在△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=2,△ABC 绕着点 C 旋转后, 点 B 落在 AC 边上的 点 B’ ,点 A 落在点 A’ ,那么 tan∠AA’B’的值为 ▲ .

2

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) [将下列各题的解答过程,做在答题纸的相应位置上] 19. (本题满分 10 分) 化简:

y x ,并求当 x ? 3 y 时的值. ? x? y x? y

20. (本题满分 10 分) 解方程:

3 2 ? ? 1. x ?4 x?2
2

21. (本题满分 10 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 7 分) 已知:如图,在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,BD 平分∠ABC,∠A=60°. 求: (1)求∠CDB 的度数; (2)当 AD=2 时,求对角线 BD 的长和梯形 ABCD 的面积. D C

A

(第 21 题图)

B

22. (本题满分 10 分第(1)小题满分 8 分,第(2)小题满分 2 分) A、B 两城间的公路长为 450 千米,甲、乙两车同时从 A 城出发沿这一公路驶向 B 城,甲 车到达 B 城 1 小时后沿原路返回.如图是它们离 A 城的路程 y(千米)与行驶时间 x(小时) 之间的函数图像. (1) 求甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式, 并写出函数的定义域; (2)乙车行驶 6 小时与返回的甲车相遇,求乙车 的行驶速度. O D 10 x(小时) (第 22 题图) 45 450 y(千米) CE F

3

23. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分) 已知:如图,在□ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,CE、AF 与对角线 BD 分别 相交于点 G、H. (1) 求证:DH=HG=BG; (2) 如果 AD⊥BD,求证:四边形 EGFH 是菱形. G A E (第 23 题图) B D H F C

24. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 9 分) 如图, 二次函数 y ? ax2 ? bx ? 2 的图像与 x 轴、 y C

y 轴的交点分别为 A、B,点 C 在这个二次函数的图像
上,且∠ABC=90?,∠CAB=∠BAO, tan ?BAO ? (1)求点 A 的坐标; (2)求这个二次函数的解析式. O (第 24 题图) 25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 3 分) 如图,在半径为 5 的⊙O 中,点 A、B 在⊙O 上,∠AOB=90?,点 C 是 AB 上的一个动点, AC 与 OB 的延长线相交于点 D,设 AC= x ,BD= y . (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义 域; (2)如果⊙ O1 与⊙O 相交于点 A、 且⊙ O1 与 C, ⊙O 的圆心距为 2,当 BD= A C A x

1 . 2

B

O

B

D

1 OB 时,求⊙ O1 的半径; 3
(第 25 题图)

(3)是否存在点 C,使得△DCB∽△DOC?如果 存在,请证明;如果不存在,请简要说明理由.

4

静安区质量调研九年级数学试卷参考答案及评分标准 2011.4.14
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.C; 2.D; 3.C; 4.B; 5.A; 6.D. 二.填空题: (本大题共 12 题,满分 48 分) 7. 2 ; 13. ; 8.

a2 ; a ?1

9. m ?

2 3

14. 72;

15. 72;

1 ; 10. x ? 0, x ? 6 y ? 5 ? 0 ; 11.增大; 12.2; 4 1 2 1 0 16. a ? b ; 17. ? r ? 2或r ? 8 ; 18. . 3 3 3

三、 (本大题共 7 题,第 19、20、21、22 题每题 10 分,第 23、24 题每题 12 分,第 25 题 14 分,满分 78 分) 19.解:原式=

x ? xy x? y

?

xy ? y x? y

……………………………………………………………(5 分)

=

x? y ……………………………………………………………………………(2 分) x? y

当 x ? 3 y 时,原式=

3y ? y 3y ? y

?

3 ?1 3 ?1

? 2 ? 3 .………………………………(3 分)

20.解: 3 ? 2( x ? 2) ? x 2 ? 4 ,……………………………………………………………(3 分)

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,………………………………………………………………………(2 分)
( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,……………………………………………………………………(2 分)

x1 ? ?1, x2 ? 3 .………………………………………………………………………(2 分)
经检验: x ? ?1 , x ? 3 都是原方程的根.………………………………………(1 分) 所以原方程的根是 x1 ? ?1, x2 ? 3 . 21. 解:(1) ∵在梯形 ABCD 中,DC∥AB,AD=BC,∠A=60°, ∴∠CBA=∠A=60?. ………………………………………………………………(1 分) ∵BD 平分∠ABC,∴∠CDB=∠ABD=

1 ∠CBA=30?,………………………(2 分) 2

(2)在△ACD 中,∵∠ADB=180?–∠ –∠ABD=90?.……………………………(1 分) A ∴BD=AD ? tan A=2tan60?=2 3 .…………………………………………………(1 分) 过点 D 作 DH⊥AB, 垂足为 H, …………………………………………………… 分) (1 ∴AH=AD ? sin A=2sin60?= 3 .……………………………………………………(1 分)

5

∵∠CDB=∠CBD=

1 ∠CBD=30?,∴DC=BC=AD=2. …………………………(1 分) 2

∵AB=2AD=4, ………………………………………………………………………(1 分)

1 1 ………………………… 分) (1 ( AB ? CD) ? DH ? (4 ? 2) 3 ? 3 3 . 2 2 22.解: (1)设甲车返回过程中 y 与 x 之间的函数解析式 y ? kx ? b ,……………………(1 分)
∴ S梯形ABCD ? ∵图像过(5,450)(10,0)两点,………………………………………………(1 分) ,
?5k ? b ? 450, ∴? ……………………………………………………………………(2 分) ?10k ? b ? 0.
?k ? ?90, 解得 ? ………………………………………………………………………(2 分) ?b ? 900.

∴ y ? ?90 x ? 900 .……………………………………………………………………(1 分) 函数的定义域为 5≤ x ≤10.…………………………………………………………… 分) (1 2)当 x ? 6 时, y ? ?90 ? 6 ? 900 ? 360 ,………………………………………………(1 分)
v乙 ? 360 . ? 60 (千米/小时) ………………………………………………………(1 分) 6

23.证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD.…………………(1 分) ∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,

DH DF DF 1 ? ? ? . ………………………………………………………… 分) (2 HB AB CD 2 1 ∴DH= BD . ……………………………………………………………………… 分) (1 3 1 同理: BG= BD . ………………………………………………………………… (1 分) 3 1 ∴DH=HG=GB= BD . …………………………………………………………… 分) (1 3
∴ (2)联结 EF,交 BD 于点 O.…………………………………………………………(1 分) ∵AB//CD,AB=CD,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,

1 CD FO OD DF 2 ∴ ? ? ? ? 1 .…………………………………………………(1 分) EO BO BE 1 AB 2
∴FO=EO, DO=BO. ……………………………………………………………… 分) (1 ∵DH=GB,∴OH=OG.∴四边形 EGFH 是平行四边形.……………………(1 分) ∵点 E、O 分别是 AB、BD 的中点,∴OE//AD. ∵AD⊥BD,∴EF⊥GH.…………………………………………………………(1 分)
6

∴□HEGF 是菱形.………………………………………………………………(1 分) 24.解: (1)二次函数 y ? ax2 ? bx ? 2 的图像 y 轴的交点为 B(0,2) ,………………(1 分) 在 Rt△AOB 中,∵OB=2, tan ?BAO ?

OB 1 ? ,………………………………(1 分) OA 2

∴OA=4,∴点 A 的坐标(4,0) .…………………………………………………(1 分) (2)过点 C 作 CD⊥ y 轴,垂足为 D,…………………………………………………(1 分) ∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90?, ∴∠CBD=180? –∠ABC–∠ABO=90?–∠ABO=∠BAO.………………………(1 分) ∴△CDB∽△BOA,…………………………………………………………………(1 分)

CB 1 ? tan ?CAB ? tan ?BAO ? ,………………………(1 分) AB 2 CD BD CB 1 ∴ ? ? ? .……………………………………………………………(1 分) OB OA AB 2
∵∠CAB=∠BAO,∴ ∴OC=1,BD=2,∴OD=4.∴C(1,4) .…………………………………………(1 分) ∵点 A、C 在二次函数 y ? ax2 ? bx ? 2 的图像上,

?0 ? 16a ? 4b ? 2, ∴? …………………………………………………………………(1 分) ?4 ? a ? b ? 2,

5 ? ?a ? ? 6 , ? ∴? …………………………………………………………………………(1 分) ?b ? 17 . ? 6 ?
∴二次函数解析式为 y ? ?

5 2 17 x ? x ? 2 .………………………………………(1 分) 6 6

25.解: (1)过⊙O 的圆心作 OE⊥AC,垂足为 E,………………………………………(1 分) ∴AE=

1 1 1 AC ? x ,OE= AO 2 ? AE 2 ? 25 ? x 2 .…………………………(1 分) 4 2 2
y?5 5 ? .………………………………(1 分) x 1 25 ? x 2 2 4
5 100 ? x 2 ? 5 x .……………………………(1 分) x
7

∵∠DEO=∠AOB=90?, ∴∠D =90?–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.……… (1 分) ∴

OD AO ? ,∵OD= y ? 5 ,∴ OE AE

∴ y 关于 x 的函数解析式为: y ?

定义域为: 0 ? x ? 5 2 .………………………………………………………(1 分)

(2)当 BD=

5 5 5 100 ? x 2 ? 5 x 1 OB 时, y ? , ? .…………………………………(1 分) x 3 3 3 1 x ? 3 ,OE= 5 2 ? 3 2 ? 4 . 2

∴ x ? 6 .……………………………………………………………………………(2 分) ∴AE=

当点 O1 在线段 OE 上时, O1 E ? OE ? OO1 ? 2 ,

O1 A ? O1 E 2 ? AE 2 ? 2 2 ? 32 ? 13 .…………………………………………(1 分)
当点 O1 在线段 EO 的延长线上时, O1E ? OE ? OO1 ? 6 ,

O1 A ? O1 E 2 ? AE 2 ? 6 2 ? 32 ? 3 5 .…………………………………………(1 分)

O1 的半径为 13 或 3 5 .
(3)存在,当点 C 为 AB 的中点时,△DCB∽△DOC.…………………………………(1 分) 证明如下:∵ 当点 C 为 AB 的中点时,∠BOC=∠AOC= 又∵OA=OC=OB,∴∠OCA=∠OCB=

1 ∠AOB=45? , 2

180 ? 45? ? 67.5? , 2

∴∠DCB=180?–∠OCA–∠OCB=45?.…………………………………………(1 分) ∴∠DCB =∠BOC.又∵∠D=∠D,∴△DCB∽△DOC.………………………(1 分) ∴存在点 C,使得△DCB∽△DOC.

8


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