【数学】广东省中山市2016-2017学年高二下学期期末统一考试(理)


广东省中山市 2016-2017 学年高二下学期期末统一考试 (理)
本试卷共 4 页,22 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1、答卷前,考生务必用 2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或 签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2、选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上.如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案.不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. 若复数 z 满足 z ? 2i ? ?i ? z ,则 z ? ( A. ? 1 ? i B. 1 ? i ) C. 1 ? i D. ?1 ? i )

2.设随机变量 X~B(8,p),且 D(X)=1.28,则概率 p 的值是( A.0.2 B.0.8 C.0.2 或 0.8

D.0.16

3.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响.部分统计数据如下表: 使用智能手机 学习成绩优秀 学习成绩不优秀 总计 附表: P(K2≥k0) k0
2

不使用智能手机 8 2 10

总计 12 18 30

4 16 20

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635 )

0.005 7.879

0.001 10.828

经计算 K 的观测值为 10, ,则下列选项正确的是( A.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B.有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为使用智能手机对学习有影响 D.在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为使用智能手机对学习无影响 4. 用反证法证明: 若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理数根, 那么 a, b, c 中
2

至少有一个是偶数.下列假设正确的是(

)

A.假设 a, b, c 都是偶数; C.假设 a, b, c 至多有一个偶数

B.假设 a, b, c 都不是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个偶数 )

5.函数 f ( x) ? x 2 ? ln x 的单调递减区间是( A. ? 0, ?

? ?

2? ? 2 ?
D. ? ?

B. ?

? 2 ? , ?? ? ? ? 2 ?

C. ? ??, ? ?

? ?

2? 2? ? 0, ? ? ,? 2 ? ? ? 2 ?
)

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

6.已知 X 的分布列为(

X P 设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为 7 A. 3 B.4

-1 1 2

0 1 3

1 1 6

C.-1

D.1

7.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B 为“取 到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( 1 A. 8 1 B. 4 ) 2 C. 5 1 D. 2

8.在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 N(-1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为 附:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4.

A.1 193

B.1 359

C.2 718

D.3 413

9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产 能耗 y(吨)的几组对应数据, 根据表中提供的数据, 求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y =0.7x +0.35,则下列结论错误的是( x y ) 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5

A. 产品的生产能耗与产量呈正相关 B.t 的值是 3.15 C.回归直线一定过(4.5,3.5)

D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨 10. 将 5 件不同的奖品全部奖给 3 个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是 A. 150 B. 210 C. 240 D. 300

11. 大衍数列,来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.其前 10
? n2 ? 1 , n为奇数 ? ? 2 项为:0、2、4、8、12、18、24、32、40、50.通项公式: an ? ? 2 , ? n , n为偶数 ? ?2
(m, n) 如果把这个数列 {an } 排成如图形状,并记 A 表示第 m 行中从左向右第 n 个

( 10, 4) 数,则 A 的值为(

) C.3528 D. 3612

A.1200

B.1280

12.已知函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? ? x ? ? f ? x ? 对任意的 x ? R 恒成立,则下列不等 式均成立的是( ) B. f ? ln 2? ? 2 f ? 0? , f ? 2? ? e2 f ? 0? D. f ? ln 2? ? 2 f ? 0? , f ? 2? ? e2 f ? 0?

A. f ? ln 2? ? 2 f ? 0? , f ? 2? ? e2 f ? 0? C. f ? ln 2? ? 2 f ? 0? , f ? 2? ? e2 f ? 0?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上) 13. 直线 y ? 14.

1 x ? b 是曲线 y ? ln x 的一条切线,则实数 b 的值为 2

?

1

0

? x 2 ? 2 xdx ?
5 2 3 5

15. 已知 (1 ? x) ? a0 ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 x 4 ? a5 x , 则 (a0 ? a2 ? a4 )(a1 ? a3 ? a5 ) 的值 等于. 16. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2x ? a, g ? x ? ? ln x ? 2x, ,如果存在 x1 ? ? , 2 ? ,使得对任意的 2
2

?1 ?

? ?

?1 ? x2 ? ? , 2? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是. ?2 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ) 17. (本小题满分 10 分)

1 ? ? 在?2 x ? ? 的展开式中,求: x? ?
(1)第 3 项的二项式系数及系数; (2)含 x 2 的项.

6

18. (本小题满分 12 分) 设正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ?

1 1 (an ? ) , 2 an

(1)求 a1 , a2 , a3 ,并猜想数列 ?an ? 的通项公式 (2)用数学归纳法证明你的猜想.

19.(本小题满分 12 分) 为了研究一种昆虫的产卵数 y 和温度 x 是否有关, 现收集了 7 组观测数据列于下表中, 并做 出了散点图,发现样本点并没有分布在某个带状区域内,两个变量并不呈现线性相关关系,

现分别用模型① y ? C1x2 ? C2 与模型;② y ? e 建立两个变量之间的关系.

C3 x ?C4

作为产卵数 y 和温度 x 的回归方程来

温度 x / ?C 产卵数 y / 个

20 6 400 1.79

22 10 484 2.30

24 21 576 3.04

26 24 676 3.18

28 64 784 4.16

30 113 900 4.73

32 322 1024 5.77

t ? x2

z ? ln y

x
26

t
692

y
80

z
3.57

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

7

? (t
i ?1

7

i ? t )( yi ? y ) 2

? (z
i ?1 7

7

i ? z )( xi ? x ) 2

? ( z ? z )(t ? t )
i ?1 i i

7

? ( x ? x)
i ?1 i

7

2

? (t ? t )
i ?1 i

7

? ( x ? x)
i ?1 i

? (t ? t )
i ?1 i

7

2

1157.54 其中 ti ? xi 2 , t ?

0.43

0.32

0.00012

1 7 1 7 , , z ? ln y z ? ? zi , ? ti i i 7 i ?1 7 i ?1

附:对于一组数据 ( ?1 ,? 1 ) , (?2 ,? 2 ) ,…… (?n ,? n ) ,其回归直线 v ? ?? ? ? 的斜率和截

距的最小二乘估计分别为: ? ?

? (?
i ?1 n

n

i

? ? )(? i ?? )
i

? (?
i ?1

, ? ? ? ? ?? .

? ?)

2

(1)根据表中数据,分别建立两个模型下 y 关于 x 的回归方程;并在两个模型下分别估计 温度为 30? C 时的产卵数 .( C1 , C2 , C3 , C4 与估计值均精确到小数点后两位) (参考数据:

e4.65 ? 104.58, e4.85 ? 127.74, e5.05 ? 156.02 )
(2)若模型①、②的相关指数计算分别为 R12 ? 0.82, R22 ? 0.96. ,请根据相关指数判断哪 个模型的拟合效果更好.

20. (本小题满分 12 分) 某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 道题, 按题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中 2 道题的便可通过.已知 6 道备选题中应聘者 甲有 4 道题能正确完成,2 道题不能完成;应聘者乙每题正确完成的概率都是 确完成与否互不影响. (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望; (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大?

2 ,且每题正 3

21.(本小题满分 12 分) 对于命题 P :存在一个常数 M ,使得不等式 数 a , b 恒成立. (1)试给出这个常数 M 的值; (2)在(1)所得结论的条件下证明命题 P ;

a b a b 对任意正 ? ?M ? ? 2a ? b 2b ? a a ? 2b b ? 2a

( 3 )对于上述命题,某同学正确地猜想了命题 Q : “ 存在一个常数 M ,使得不等式

a b c a b c 对任意正数 a , b , c 恒成立.”观 ? ? ?M ? ? ? 3a ? b 3b ? c 3 c? a a? 3 b b? 3 c c? 3 a
察命题 P 与命题 Q 的规律,请猜想与正数 a , b , c , d 相关的命题.

22. (本小题满分 12 分)
1 已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax2 ? x ? 3a3 ? 4a2 ? a ? 2(a ? R) 存在两个极值点. 2

(Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 x1 和 x 2 分别是 f ( x) 的两个极值点且 x1 ? x2 ,证明: x1 x2 ? e2 .

参考答案
一、选择题:1-12、CCABA 二、填空题: 13. ln 2 ? 1 ; 三、解答题: 15. ABBBA DA

? ; 4

15. ?256 ;

ln 2 ? 16. (??,

21 ]. 4

2 17.解:(1)第 3 项的二项式系数为 C6 ? 15 ,
2

………………………………… 2 分

? 1 ? 又 T3 ? C (2 x ) ? ? ? ? 240 x ,所以第 3 项的系数为 240. …………… 5 分 x? ?
2 6 4

(2) Tk ?1 ? C (2 x )
k 6

6? k

? 1 ? k 6? k k 3? k ?? ? ? (?1) 2 C6 x , x ? ?
……… 10 分

k

令 3 ? k ? 2 ,得 k ? 1 . 所以含 x 2 的项为第 2 项,且 T2 ? ?192 x2 18.解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, a1 ? a2 ?

1 1 (a1 ? ) ,∴ a1 ? 1 或 a1 ? ?1 (舍, an ? 0 ). ……… 1 分 2 a1 1 1 (a2 ? ) ,∴ a2 ? 2 ?1 . 2 a2
……… 2 分

当 n ? 3 时, a1 ? a2 ? a3 ? 猜想: an ? n ? n ?1 .

1 1 (a3 ? ) ,∴ a2 ? 3 ? 2 . 2 a3

……… 3 分 ………4 分 ………5 分

(2)证明:①当 n ? 1 时,显然成立. ②假设 n ? k 时, ak ? k ? k ?1 成立, 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? 即 ak ?1 ?

1 1 1 1 (ak ?1 ? ) ? (ak ? ) , 2 ak ?1 2 ak

1 1 1 ? ?(ak ? ) ? ?( k ? k ? 1 ? ) ? ?2 k ak ?1 ak k ? k ?1
………11 分 ………12 分

∴ ak ?1 ? k ?1 ? k . 由①、②可知, ?n ? N * , an ? n ? n ?1 .

2 19.解: (1)对于模型①:设 t ? x ,则 y ? C1x2 ? C2 ? C1t ? C2

其中 C1 ?

? (t ? t )( y ? y)
i ?1 i i

7

? (t ? t )
i ?1 i

7

? 0.43 ,

……………………… 1 分

2

C2 ? y ? C1t ? 80 ? 0.43? 692 ? ?217.56
所以 y ? 0.43x ? 217.56 ,
2

…………………… 3 分 ………………… 4 分

当 x ? 30 时,估计产卵数为 y1 ? 0.43? 302 ? 217.56 ? 169.44 …… 5 分 对于模型②:设 z ? ln y ,则 ln y ? C3 x ? C4

其中 C3 ?

? ( z ? z )( x ? x)
i ?1 i i

7

? ( x ? x)
i ?1 i

7

? 0.32 ,………………………………… 6 分

2

C4 ? z ? C3 x ? 3.57 ? 0.32 ? 26 ? ?4.75 ……………………… 8 分
所以 y ? e0.32 x ?4.75 , ………………………………… 9 分

当 x ? 30 时,估计产卵数为 y2 ? e0.32?30?4.75 ? e4.85 ? 127.74 ………… 10 分 (2)因为 R12 ? R2 2 ,所以模型②的拟合效果更好 ………………………………… 12 分

20. 解: (1)设甲正确完成面试的题数为 ? ,则 ? 的取值分别为 1,2,3……………1 分

P ?? ? 1? ?

1 2 2 1 3 0 C4 C2 1 C4 C2 3 C4 C2 1 ; ; ? P ? ? 2 ? ? P ? ? 3 ? ? ;…………4 分 ? ? ? ? 3 3 3 c6 5 c6 5 c6 5

应聘者甲正确完成题数 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5

3 5

1 5
………………………………………5 分

1 3 1 E ? ? ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 5 5 5

设乙正确完成面试的题数为? ,则? 取值分别为 0,1,2,3……………………………6 分

1 ?1? 1? 2? P ?? ? 0? ? C ? ? ? ; P ?? ? 1? ? C3 ? ? ? 3 ? 27 ?3?
0 3 2 2 3

3

1

6 ?1? , ? ? ? ? 3 ? 27
3

2

8 ? 2 ? ? 1 ? 12 3? 2? ……………………………9 分 P ?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? , P ?? ? 3? ? C3 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 27 ? 3 ? 27
应聘者乙正确完成题数? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 27

6 27

12 27

8 27

E ?? ? ? 0 ?

1 6 12 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2. 27 27 27 27

(或∵? ? B ? 3, ? ∴ E ?? ? ? 3 ? (2)因为 D ?? ? ? ?1 ? 2 ? ?
2

? ?

2? 3?

2 ? 2) 3

…………10 分

1 3 1 2 2 2 ? ? 2 ? 2? ? ? ?3 ? 2? ? ? , 5 5 5 5

D ?? ? ? np (1 ? p ) ?

2 3

所以 D ?? ? ? D ?? ? ……………………………………………11 分 综上所述,从做对题数的数学期望考查,两人水平相当; 从做对题数的方差考查,甲较稳定; 从至少完成 2 道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大………………12 分 21. 解: (1)令 a ? b 得: (2)先证明

2 2 2 ? M ? ,故 M ? ; 3 3 3

……3 分

a b 2 ? ? . 2a ? b 2b ? a 3

∵ a ? 0 , b ? 0 ,要证上式,只要证 3a(2b ? a) ? 3b(2a ? b) ? 2(2a ? b)(2b ? a) , 即证 a 2 ? b 2 ? 2ab 即证 (a ? b)2 ? 0 ,这显然成立. ∴

a b 2 ? ? . 2a ? b 2b ? a 3 2 a b . ? ? 3 a ? 2b b ? 2a

……6 分

再证明

∵ a ? 0 , b ? 0 ,要证上式,只要证 3a(2a ? b) ? 3b(2b ? a) ? 2(a ? 2b)(b ? 2a) , 即证 a 2 ? b 2 ? 2ab 即证 (a ? b)2 ? 0 ,这显然成立. ∴

2 a b . ? ? 3 a ? 2b b ? 2a

……9 分

(3)猜想结论:存在一个常数 M ,使得不等式

a b c d a b c d 对任意正数 a ,b , ? ? ? ?M ? ? ? ? 4a ? b 4b ? c 4c ? d 4d ? a a ? 4b b ? 4c c ? 4d d ? 4a
c , d 恒成立.
……12 分

22. 解: (Ⅰ)由题设函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ln x ? ax , 故函数 f ( x) 有两个极值点等价于其导函数 f ?( x) 在 (0, ??) 有两个零点. 当 a = 0 时 f ?( x) ? ln x ,显然只有 1 个零点 x0 ? 1 . 当 a≠0 时,令 h( x) ? ln x ? ax ,那么 h?( x) ?
1 1 ? ax . ?a ? x x

……… 1 分

……………………… 2 分

若 a< 0,则当 x> 0 时 h?( x) ? 0 ,即 h( x) 单调递增,所以 h( x) 无两个零点. 若 a> 0,则当 0 ? x ?

…3分

1 1 时 h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增;当 x ? 时 h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, a a

1 1 所以 h( x) ? h( ) ? ln ? 1 . 又 h(1) ? ?a ? 0 ,当 x→0 时→ ?? ,故若有两个零点,则 a a

1 1 1 h( ) ? ln ? 1 ? 0 ,得 0 ? a ? . e a a 1 综上得,实数 a 的取值范围是 (0, ) . e

……………………………………… 5 分 ……………………………………… 6 分

(Ⅱ)要证 x1 x2 ? e2 ,两边同时取自然对数得 ln x1 ? ln x2 ? ln e2 ? 2 . ……… 7 分
?ln x ? ax1 ? 0 ln x1 ? ln x2 ln x1 ? ln x2 ? 由 f ?( x) ? 0 得 ? 1 ,得 a ? . x1 ? x2 x1 ? x2 ln x ? ax ? 0 ? 2 2

所以原命题等价于证明 ln x1 ? ln x2 ?

( x1 ? x2 )(ln x1 ? ln x2 ) ?2. x1 ? x2

………… 8 分

x1 ? 1) 2( x1 ? x2 ) x1 x2 ? 0 .…… 9 分 因为 x1 ? x2 ,故只需证 ln x1 ? ln x2 ? ,即 ln ? x1 x1 ? x2 x2 ?1 x2 2(

令t ?

x1 2(t ? 1) ,则 0 ? t ? 1 ,设 g (t ) ? ln t ? (0 ? t ? 1) ,只需证 g (t ) ? 0 .… 10 分 x2 t ?1

1 4 (t ? 1) 2 ? ? 0 ,故 g (t ) 在 (0,1) 单调递增,所以 g (t ) ? g (1) ? 0 . 而 g ?(t ) ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2

综上得 x1 x2 ? e2 .……………………………………………………………… 12 分


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