初高中衔接训练十四:函数的单调性


函数单调性
一.知识梳理
单调性定义:设函数 y = f ( x) 的定义域为 A,区间 M ? A .若取区间 M 上的任意两个值

x1 ,x2 ,改变量 ?x ? x2 ? x1 >0,则
当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) >0 时,就称函数 f ( x) 在区间 M 上是增函数; 当 ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) <0 时,就称函数 f ( x) 在区间 M 上是增函数. 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数, 就说这个函数在这个区间 M 上具有 单调性(区间 M 称为单调区间) .

二.方法归纳
在同一单调区间上,两个增(减)函数的和仍为增(减)函数,但单调性相同的两个函 数的积未必是增函数. 设 x1 , x2 ? ?a, b? ,若有 (1)

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,则有 f ( x)在?a, b? 上是增函数. x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0,则有 f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)

在函数 f ( x) 、 g ( x) 公共定义域内, 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数. 函数的单调性常应用于如下三类问题: (1)利用函数的单调性比较函数值的大小. (2)利用函数的单调性解不等式,常见题型是,已知函数的单调性,给出两个函数的大 小,求含于自变量中的某个特定的系数,这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的 函数“外衣” ,以实现不等式间的转化. (3)利用函数的单调性确定函数的值域,求函数的最大值和最小值.
1

李彦宏,1968 年生,百度董事长兼 CEO.

若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递增,则函数值域为( f (a ) , f (b) ); 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b ? 上递减,则函数值域为( f (b) , f (a ) ); 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增,则函数值域为 [ f (a ) , f (b) ] ; 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减,则函数值域为 [ f (b) , f (a ) ]; 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递增,则函数的最大值为 f (b) ,最小值为 f (a ) ; 若函数 y ? f ( x) 在定义域 ?a, b? 上递减,则函数的最大值为 f (a ) ,最小值为 f (b) ;

三.例题精讲
例 1:求函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 的最大值. 解析:由 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ?
4 x ?1 ? x ? 3



知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 在其定义域 [3,+? ?上是减函数. 所以 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 的最大值是 f (3) ? 2 . 【技巧提示】 显然由 x ? 1 ? x ? 3 ?
4 x ?1 ? x ? 3
2

使得问题简单化.

1999 年,李彦宏认定环境成熟,于是从美国启程回国,在北大资源宾馆租了两间房,连同 1 个会计 5 个技术人员,以及合作伙伴徐勇,8 人一行,开始创建百度公司.

例 2:已知 x ? ?0,1? ,则函数 y ? x ? 2 ? 1 ? x 的值域是 解析:∵ ∴ 即

.

y ? x ? 2 ? 1 ? x 在 x ? ?0,1? 上单调递增,

函数 y ? x ? 2 ? 1 ? x 的值域是 ? f (0), f (1)? .

? 2 ?1, 3?.
求函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域.

例 3:

解析:∵

y ? x ? 1 ? 2x

? 1 ? 在定义域 ?? ,?? ? 上是增函数, ? 2 ? ? 1 ? ? ,?? ? . ? ? 2 ?



函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域为

∴ 函数 y ? f ( x ? 1) 单调递减区间为(-∞,-1 ] . 例 4:试判断函数 f ( x ) ? ax ? 解 析 : 设 x1 ? x2 ? 0
b (a ? 0, b ? 0) 在 ? 0, ??? 上的单调性并给出证明. x

, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ?

ax1 x2 ? b x1 x2

由 于 x1 ? x2 ? 0

故当

? b ? ? b ? x1 , x2 ? ? ? a , ? ?? ? 时 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,此时函数 f ? x ? 在 ? ? a , ? ?? ? 上增函数,同理可证 ? ? ? ? ? b? 0, 函数 f ? x ? 在 ? ? 上为减函数. ? a? ? ?
3

2005 年 8 月,百度在美国纳斯达克成功上市,成为全球资本市场最受关注的上市公司之一.

1 例 5:已知 ? a ? 1 ,若 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 在区间[1,3]上的最大值为 M (a) ,最小值为 3

N ( a ) ,令 g (a) ? M (a) ? N (a) .

(1)求函数 g (a) 的表达式;
1 (2)判断函数 g (a) 在区间[ ,1]上的单调性,并求 g (a) 的最小值. 3 1 解析: ( 1 )∵ ? a ? 1 ∴ 函数 f ? x ? 的图像为开口向 上的抛物线,且对称 轴为 3 1 x ? ? [1,3]. a 1 ∴ f ? x ? 有最小值 N (a) ? 1 ? . a 1 1 1 当 2≤ ≤3 时, a ?[ , ], f ( x) 有最大值 M ? a ? ? f ?1? ? a ?1; a 3 2 1 1 当 1≤ <2 时,a∈( ,1], f ( x ) 有最大值 M(a)=f(3)=9a-5; a 2



1 1 1 ? a ? 2 ? ( ? a ? ), ? ? a 3 2 g (a) ? ? ?9a ? 6 ? 1 ( 1 ? a ? 1). ? a 2 ?

1 1 1 (2)设 ? a1 ? a2 ? , 则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(1 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ), 3 2 a1a2



1 1 g (a )在[ , ] 上是减函数. 3 2
4

1 1 设 ? a1 ? a2 ? 1, 则 g (a1 ) ? g (a2 ) ? (a1 ? a2 )(9 ? ) ? 0,? g (a1 ) ? g (a2 ), 2 a1a2



1 g ( a )在( ,1] 上是增函数. 2

∴当 a ?

1 1 时, g ? a ? 有最小值 . 2 2

【技巧提示】

当知道对称轴为 x ?

1 ? [1,3] 后,要求 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1在区间[1,3]上 a

的最大值为 M (a) ,最小值为 N ( a ) ,就必须分类讨论.本题对培养学生分类讨论的思想 有很好的作用.第(2)问讨论一个分段函数的单调性并求最值,也具有一定的典型性.

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真枪实战
1 1.函数 f ( x) ? x ? ( x ? 0) 的单调性描述,正确的是( x



A.在(-∞,+∞)上是增函数; B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上是增函数; C.在(-∞,-1)∪(1,+∞)上是增函数; D.在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数 2.证明函数 y ? 4 x ?
1 1 在 [ ,?? ) 上是增函数. x 2

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2014 年 6 月国内搜索市场份额

3.函数 f ( x) 是定义在 [0, ??) 上的单调递减函数, 则 f (1 ? x 2 ) 的单调递增区间是 4.函数 y ?
2? x 的递减区间是 3x ? 6

.

.

5.求函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在区间 [0,2] 上的最值.

6.已知函数 f(x)= x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围 是 . 7. 已 知 函 数 f(x) = x2+2(a-1)x+2 的递 减区间是 (-∞ , 4 ],则实数 a 的取值范 围 是 . 8.已知 x ∈[0,1],则函数 y ? 2x ? 2 ? 1 ? x 最大值为_______;最小值为 . + 9. 已知 f(x) 在其定义域 R 上为增函数, f(2)=1 , f(xy)=f(x)+f(y) ,则不等式 f( x )+f( x ? 2 ) ≤3 的解集 . 10.已知:f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且 f( x ? 1 )<f( x 2 ? 1)求 x 的取值范围.

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11.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)满足 f( (1)求 f(1) (2)判断 f(x (3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2.

x1 ) =f(x1)-f(x2),且当 x2

x>1 时,f(x)<0.

12.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.

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x 13.设 f(x)的定义域为(0,+∞) ,且在(0,+∞)是递增的, f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) y

(1)求证:f(1)=0,f(xy)=f(x)+f(y) ; 1 ) ? 2。 (2)设 f(2)=1,解不等式 f ( x) ? f ( x?3

14.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, 2 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

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