2017届河南新乡一中高三上学期第一次周练数学(文)试题(解析版)


2017 届河南新乡一中高三上学期第一次周练数学(文)试题
一、选择题 1.过点 (1,?1) 且与曲线 y ? x 3 ? 2 x 相切的直线方程为( A. x ? y ? 2 ? 0 或 5 x ? 4 y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 或 4 x ? 5 y ? 1 ? 0 【答案】A 【 解 析 】 试 题 分 析 : 若 直 线 与 曲 线 切 于 点 )

B. x ? y ? 2 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

?x0 , y0 ? ?x0 ? 0?
0

, 则

k?

3 y0 ? 1 x0 ? 2 x0 ? 1 2 2 ?2 ,∴ ? ? x0 ? x0 ? 1 . ∵ y? ? 3x 2 ? 2 , ∴ y ? x ? x ? 3 x0 x0 ? 1 x0 ? 1

2 2 2 x0 ? x0 ?1 ? 3x0 ? 2 ,∴ 2x0 ? x0 ?1 ? 0 ,∴ x0 ? 1 , x0 ? ?

1 ,∴过点 A?1,?1? 与曲 2

线 f ?x ? ? x ? 2 x 相切的直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 或 5 x ? 4 y ? 1 ? 0 .故选:A.
3

【考点】利用导数研究曲线上某点的切线. 【思路点晴】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会根据一点坐
3 标和斜率写出直线的方程,是一道综合题.设切点为 ?x0 , y0 ? ,则 y0 ? x0 ? 2 x0 由于直

线 l 经过点 ?1,?1? ,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点 x 0 处的切线 斜率,利用切点即在切线上又在曲线上,便可建立关于 x 0 的方程,从而可求方程.

?a x , x ? 2 2.已知 f ( x) ? ? 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是( ?(5 ? a) x ? a, x ? 2
A. (0,1) D.[2,5) 【答案】B 【解析】 试题分析: 由 f ( x) ? ? B. ( 1 , 2]



C. (1,5)

?a x , x ? 2 x 知, 当 x ? 2 时, f ?x? ? a ; 当x ? 2 ?(5 ? a) x ? a, x ? 2

x 时, f ?x ? ? ?5 ? a ?x ? a . ∵ f ?x ? 是 R 上的增函数, ∴ f ?x? ? a 与 f ?x ? ? ?5 ? a ?x ? a x 在对应区间上均为增函数, 且 f ?x ? ? ?5 ? a ?x ? a 图象的左端点必须在 f ?x? ? a 图象的

?a ? 1 ? 右端点的上方, 如下图所示, 从而得 ?5 ? a ? 0 , 解得 1 ? a ? 2 , 即 a ? ?1,2? . 故 ??5 ? a ?? 2 ? a ? a 2 ?
选 B.

第 1 页 共 10 页

【考点】分段函数的单调性. 【易错点晴】1.本题考查了分段函数解析式、单调性及图象等,掌握基本函数的单调 性(指数函数、一次函数的单调性)是解决本题的前提. 2.本题易忽略条件 “ ?5 ? a ?? 2 ? a ? a 2 ,从而误选 C .从本题的解答过程可以看出,分段函数中“段” 与 “段” 的分界点的重要性. 由题意及 f ?x? ? a x 知,a ? 1 , 又由 f ?x ? ? ?5 ? a ?x ? a 知,

x 的系数大于零,再考虑临界点 x ? 2 处的情况,结合此三个条件,即可得 a 的取值范
围. 3.已知函数 f ( x) 是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) 是减函数, 如果不等式 f (1 ? m) ? f (m) 成立,则实数 m 的取值范围( A. [ ?1, ) D. (??,1) 【答案】A 【解析】试题分析:偶函数 f ?x ? 在 ?0,2? 上是减函数,∴其在 ?? 2,0? 上是增函数,由此 可以得出,自变量的绝对值越小,函数值越大,∴不等式 f ?1 ? m? ? f ?m? 可以变为 ) C. ( ??, 0)

1 2

B. 1 , 2

?1 ? m ? m ? ? 1? ?? 2 ? m ? 2 ,解得 m ? ?? 1, ? ,故选 A. 2? ? ?? 2 ? 1 ? m ? 2 ?
【考点】函数的奇偶性与单调性. 2 2 4.已知 p: (a-1) ≤1,q:? x∈R,ax -ax+1≥0,则 p 是 q 成立的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A
2



【解析】试题分析:命题 p : ?a ? 1? ? 1 ,即 p : 0 ? a ? 2 ;条件 q :一元二次不等
2 式 ax ? ax ? 1 ? 0 对一切实数 x 都成立,当 a ? 0 时,不符合题意;当 a ? 0 时,根据

?a ? 0 ,∴ y ? ax2 ? ax ? 1 的 图 象 , ∴ ? ?? ? 0

?a ? 0 , 解 为 a ? ?0,4? . ∴ q : ? 2 a ? 4 a ? 0 ?

0 ? a ? 4 .若条件 p : 0 ? a ? 2 成立则命题 q 一定成立;反之,当条件 q 成立即有

第 2 页 共 10 页

0 ? a ? 4 不一定有条件 p : 0 ? a ? 1 成立,所以 p 是 q 成立的充分非必要条件,故选
A. 【考点】充分条件与必要条件. 【方法点睛】判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简两个条件,再利用充 要条件的定义进行判断.先通过解二次不等式化简命题 p ,通过一元二次不等式

ax2 ? ax ? 1 ? 0 对一切实数 x 都成立, y ? ax2 ? ax ? 1 ? 0 的图象在 x 轴上方,由此能
够求出 a 的取值范围简命题 q .再判断 p 成立是否推出 q 成立;条件 q 成立是否推出 p 成立,利用充要条件的定义判断出 p 是 q 成立的什么条件. 5.函数 f(x)= í

ì ? log2 x,x > 0 有且只有一个零点的充分不必要条件是( x - 2 + a , x ? 0 ? ?
1 2



A.a<0 C.

B.0<a<

1 <a<1 2

D.a≤0 或 a>1

【答案】A 【解析】试题分析:∵当 x ? 0 时, x ? 1 是函数 f ?x ? 的一个零点;故当 x ? 0 时,

? 2 x ? a ? 0 恒成立;即 a ? 2 x 恒成立,故 a ? 0 ;故选 A.
【考点】函数零点的判定定理. 6.已知函数 y=log2(ax-1)在(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值范围是( A. (0,1] B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【答案】C )

【解析】试题分析:∵函数 y ? log2 ?ax ? 1? 在 ?1,2? 上单调递增,∴ a ? 1 ? 1 ? 0 ,解得

a ? 1 ,故 a 的取值范围为 ?1,??? ,故选 C.
【考点】复合函数的单调性. 7.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 y=(1-x)f′(x)的 图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2) D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2) 【答案】D 【解析】试题分析:由函数的图象可知, f ??? 2? ? 0 , f ??2? ? 0 ,并且当 x ? ?2 时,

第 3 页 共 10 页

f ??x ? ? 0 ,当 ? 2 ? x ? 1 , f ??x ? ? 0 ,函数 f ?x ? 有极大值 f ?? 2? .又当1 ? x ? 2 时, f ??x ? ? 0 ,当 x ? 2 时, f ??x ? ? 0 ,故函数 f ?x ? 有极小值 f ?2? .故选 D.
【考点】 (1)函数在某点处取得极值的条件; (2)函数的图象. 3 2 2 8.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)等于( A.11 或 18 B.11 C.18 D.17 或 18 【答案】C 【 解 析 】 试 题 分 析 : )

f ??x? ? 3x 2 ? 2ax ? b





?3 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?3 ? 2a ?a ? ?3 ?a ? ?3 ?a ? 4 或 ,①当 时, ? ? ? ? ? ? ? 2 2 b ? 3 b ? 3 b ? ? 11 1 ? a ? b ? a ? 10 a ? a ? 12 ? 0 ? ? ? ? ?
?a ? 4 2 时 , f ??x? ? 3?x ?1? ? 0 , ∴ 在 x ? 1 处 不 存 在 极 值 ; ② 当 ? ?b ? ?11
? 11 ? f ??x? ? 3x 2 ? 8x ?11 ? ?3x ? 11??x ?1? ,∴ x ? ? ? ,1? , f ??x ? ? 0 , x ? ?1,??? , ? 3 ?

?a ? 4 f ??x ? ? 0 ,符合题意.∴ ? ,∴ f ?2? ? 8 ? 16 ? 22 ? 16 ? 18.故选 C. ?b ? ?11
【考点】利用导数研究函数的极值. 【方法点睛】本题主要考查导数为 0 时取到函数的极值的问题,这里多注意联立方程组 求未知数的思想,本题要注意 f ??x0 ? ? 0 是 x ? x0 是极值点的必要不充分条件,因此对 于解得的结果要检验.根据函数在 x ? 1 处有极值时说明函数在 x ? 1 处的导数为 0 ,又
2 因为 f ??x? ? 3x ? 2ax ? b ,所以得到: f ??1? ? 0 ,又因为 f ?1? ? 10 ,所以可求出 a 与

b 的值确定解析式,最终将 x ? 2 代入求出答案.
9.设函数 f(x)=x +x+a(a>0) ,且 f(m)<0,则( A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0 C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0 【答案】C
2



2 【解析】试题分析: f ?x? ? x ? x ? a ? x?x ? 1? ? a ,∵ f ?m? ? m?m ? 1? ? a ? 0 ,∴

m?m ? 1? ? ?a ,∵ a ? 0 ,且 m ? m ? 1 ∴ m ? 0 , m ? 1 ? 0 ,∴ ?m ? 1?2 ? 0 ,即:
2 f ?m ?1? ? ?m ?1? ? ?m ?1? ? a ? 0 ,∴ f ?m ? 1? ? 0 ,故答案为:C.

【考点】一元二次不等式的应用. 2x x 10.如果函数 y=a +2a -1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是 14,则 a 的值 为( ) A.

1 3

B.1 D.

C.3

1 或3 3
第 4 页 共 10 页

【答案】D 【解析】试题分析:设 t ? a x ,则函数等价为 y ? f ?t ? ? t 2 ? 2t ?1 ? ?t ? 1? ? 2 ,对称
2

轴为 t ? ?1 , 若 a ? 1, 则0 ? a ? t ?
2

1 2 , 此时函数的最大值为 f ?a? ? ?a ? 1? ? 2 ? 14 , a

即 ?a ? 1? ? 16 ,即 a ? 1 ? 4 或 a ? 1 ? ?4 ,即 a ? 3 或 a ? ?5 (舍),若 0 ? a ? 1 ,

1 ?1? ?1 ? ?1 ? 则 0 ? a ? t ? ,此时函数的最大值为 f ? ? ? ? ? 1? ? 2 ? 14 ,即 ? ? 1? ? 16 , a ?a? ?a ? ?a ?


2

2

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 4 或 ? 1 ? ?4 ,即 ? 3 或 ? ?5 (舍),解得 a ? ,综上 3 或 ,故答 3 a a a a 3

案为:D. 【考点】指数型复合函数的性质. 2 11.若 loga(a +1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A. (0,1) C. ( B. (0,



1 ) 2

1 ,1) D. (0,1)∪(1,+∞) 2

【答案】C 【解析】 试题分析: 当 a ? 1 时, loga a 2 ? 1 ? 0 ,loga 2a ? 0 ,loga a 2 ? 1 ? loga 2a , 原不等式不成立, 当 0 ? a ? 1 时, 原不等式可转化为:a 2 ? 1 ? 2a ? 1 , 解得: ? a ? 1 , 综上, a 的取值范围是:

?

?

?

?

?

?

1 2

1 ? a ? 1,故答案为:C. 2

【考点】对数函数的单调性与特殊点. 12.已知函数 f(x)= log 2015 x,x ?1 若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c) , 则 a+b+c 的取值范围是( ) A. (1,2 015) B. (1,2 016) C.[2,2 016] D. (2,2 016) 【答案】D 【解析】试题分析:当 0 ? x ? 1 时,函数 f ?x ? ? sin ?x 的对称轴为 x ?

?

sin ? x, 0 ? x ?1

1 .当 f ?x ? ? 1 2

时,由 log2015 x ? 1 ,解得 x ? 2015 .若 a, b, c 互不相等,不妨设 a ? b ? c ,因为

f ?a ? ? f ?b? ? f ?c ? , 所 以 由 图 象 可 知 0 ? a ?

1 1 , ? b ? 1 , 1 ? c ? 201 5 , 且 2 2
所以

a?b 1 ? , 即 a ? b ? 1 , 所 以 a ? b ? c ? 1 ? c , 因 为 1 ? c ? 201 5 , 2 2

2 ? 1 ? c ? 201 6 ,即 2 ? a ? b ? c ? 201 6 ,所以 a ? b ? c 的取值范围是 ?2,2016? .故
答案为:D.

第 5 页 共 10 页

【考点】函数的零点与方程根的关系. 二、填空题 13.若集合 A={x|-1≤2x+1≤3}, B= ? x 【答案】 x 0 ? x ? 1

? x?2 ? ? 2? ,则 A∩B=_______. ? x ?

?

?
? ? ? ?
x?2 x?2 ? 2得 ? 0, x x

【解析】 试题分析: 由 A ? x ?1 ? 2 x ? 1 ? 3 ? x ?1 ? x ? 1 , 故 B ? x0? x ? 2 , 则 A ? B ? x 0 ? x ? 1 ,故答案为 x 0 ? x ? 1 .

?

?

?

?

?

?

【考点】 (1)分式不等式的解法; (2)集合的运算. 2 14.已知函数 f (x)=x -6x+8,x∈[1,a],并且 f(x)的最小值为 f(a) ,则实 数 a 的取值区间是________.

, 3? 【答案】 ?1
【解析】试题分析:函数 f ?x? ? x 2 ? 6x ? 8 ? ?x ? 3? ?1, x ? ? 1, a?,并且函数 f ?x ? 的
2

, 3? 上单调递减, , 3? . 最小值为 f ?a ? , 又∵函数 f ?x ? 在区间 ?1 ∴1 ? a ? 3 , 故答案为:?1
【考点】 (1)二次函数的性质; (2)函数的最值及其几何意义. 15.已知函数 f x = mx + m + 2 mx + 2 为偶函数,求实数 m 的值= 【答案】 0 或 ? 2 【解析】试题分析:当 m ? 0 时, f ?x ? ? 2 为偶函数,满足题意;当 m ? 0 时,由于函 数 f ?x ? ? mx ? ?m ? 2?mx? 2 为偶函数,故对称轴为 x ? ?
2

()

2

(

)

.

m?2 ? 0 ,即 m ? ?2 ,故 2m

答案为 0 或 ? 2 . 【考点】函数的奇偶性. 【方法点晴】本题考查函数奇偶性的应用.若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域 关于原点对称,且对定义域内的一切
2

x 都有 f ?? x ? ? f ?x ? 成立.其图象关于轴对

称. f ?x ? ? mx ? ?m ? 2?mx? 2 是偶函数,对于二次项系数中含有参数的一元二次函数 一定要分为二次项系数为 0 和二次项系数不为 0 两种情况,图象关于 y 轴对称 ? 对称 轴为 y 轴 ? 实数 m 的值. 第 6 页 共 10 页

16.若函数 y= 【答案】 ?0,3?

ax ? 1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是________. zx 2ax ? 3
2

ax ? 1 的定义域为 R , 所以 ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 ax ? 2ax ? 3 恒成立.若 a ? 0 ,则不等式等价为 3 ? 0 ,所以此时成立.若 a ? 0 ,要使
【解析】 试题分析: 因为函数 y ?
2

ax2 ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立,则有 ? ? 0 ,即 ? ? 4a 2 ? 4 ? 3a ? 0 ,解得 0 ? a ? 3 .综
上 0 ? a ? 3 ,即实数 a 的取值范围是 ?0,3? .故答案为: ?0,3? . 【考点】函数的定义域及其求法.

x 2 ?1,x ? 0 2 17.已知函数 f(x)= 1,x ? 0 则满足不等式 f(1-x )>f(2x)的 x 的取值
范围是________. 【答案】 ? 1, 2 ? 1

?

?

?
?
2 ? ?? 1 ? 2 ? x ? ?1 ? 2 ?1 ? x ? 2 x , 即 , ? 2 ? ? 1 ? x ? 1 1 ? x ? 0 ? ?

【解析】试题分析:由题意可得 f ?x ? 在 ?0,??? 上是增函数,而 x ? 0 时, f ?x ? ? 1 , 故满足不等式 f 1 ? x 2 ? f ?2 x? 的 x 需满足 ?

?

解得 x ? ?1, 2 ?1 ,故答案为 ? 1, 2 ? 1 . 【考点】不等式的解法. 【方法点睛】本题考查分段函数的单调性,利用单调性解不等式,考查利用所学知识分 析问题解决问题的能力, 属于基础题. 由题意可得 f ?x ? 在 ?0,??? 上是增函数, 而x ?0 时, f ?x ? ? 1 ,故 1 ? x 必需在 x ? 0 的右侧,故满足不等式 f 1 ? x
2

?

?

?

?

?

2

? ? f ?2x? 的 x 需满

足 ?

2 ? ?1 ? x ? 2 x 2 ? ?1 ? x ? 0

,由此解出 x 即可,借助于分段函数的图象会变的更加直观.
3 x

18 .函数 f ? x? ? x ?12 x ? 3, g ? x ? ? 3 ? m ,若对 ?x1 ?? ?1, 5? , ?x2 ? ?0, 2? ,

f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 m 的最小值是
【答案】 41



, 5?递 【解析】 试题分析: f ?x? ? x2 ?12x ? 3 ? ?x ? 6? ? 33, 对称轴 x ? 6 , 在区间 ?- 1
2

减,∴ f ?x?min ? f ?5? ? ?32 , f ?x?max ? f ??1? ? 16 , g ?x ? ? 3 ? m 是增函数,∴
x

g ?x?max ? 1 ? m , g ?x?min ? 9 ? m ,∴只需 f ?x?min ? g ?x?min 即可,解得: m ? 41 ,
故答案为: 41 . 【考点】二次函数的性质. 3 19.函数 f(x)=ax -x 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围_________. 第 7 页 共 10 页

【答案】 a ? 0 【解析】试题分析:∵ f ??x ? ? 3ax2 ? 1 ,由题意 f ??x ? ? 0 在 R 上恒成立,当 a ? 0 时, 显然成立,若 a ? 0 ,则必须有 ?

?3a ? 0
2 ?? ? 0 ? 4 ? 3a ? ?? 1? ? 0

,解之可得 a ? 0 ,综上可

得实数 a 的取值范围为: a ? 0 ,故答案为: a ? 0 . 【考点】函数的单调性与导数的关系. 三、解答题 20.设函数 f(x)=

1 3 a 2 x - x +bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线 3 2

方程为 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内为减函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) ?

?c ? 1 ; (2) ?? ?,?3? . ?b ? 0

【解析】试题分析: (1)求函数的导数,利用导数的几何意义建立方程即可求 b , c 的 值;(2)求函数的导数,利用 g ?x ? 在 R 上为单调递增,转化为 g ??x ? ? 0 恒成立,进行 求解即可. 试题解析: (1) f ??x? ? x 2 ? ax ? b , 由题意得 ?

? f ?0? ? 1 ?c ? 1 即? ? f ??0? ? 0 ?b ? 0
2

∵ g??x? ? x ? ax ? 2 ,且 g ?x ? 在 ?? 2,?1? 内为减函数,
2 ∴ g ??x ? ? 0 ,即 x ? ax ? 2 ? 0 在 ?? 2,?1? 内恒成立,

∴?

? g ??? 2? ? 0 ?4 ? 2a ? 2 ? 0 即? ? g ??? 1? ? 0 ?1 ? a ? 2 ? 0

解之得 a ? ?3 , 即实数 a 的取值范围为 ?? ?,?3? . 【考点】 (1)利用导数研究函数的单调性; (2)利用导数研究曲线上某点切线方程. 【方法点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性以及分析问题解 决问题的能力,(2)问的解决关键是对问题准确转化.导数的几何意义即函数在某点 处的导数即函数在该点处切线的斜率,二问用到了高考中常考的知识点之一,函数在某 个区间内单调增 ? 函数在该区间内 f ??x ? ? 0 恒成立,函数在某个区间内单调减 ? 函 数在该区间内 f ??x ? ? 0 恒成立. 21.已知函数 f(x)=2ln x-x +ax(a∈R) . (1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; 第 8 页 共 10 页
2

(2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在[ 【答案】 (1) 2 x ? y ? 1 ? 0 ; (2) ?1,2 ?

1 ,e]上有两个零点,求实数 m 的取值范围. e

? ?

1? . e2 ? ?

【解析】 试题分析: (1) 求函数的导数, 利用导数的几何意义即可求 f ? x ? 的图象在 x ? 1 处的切线方程;(2)利用导数求出函数的在 ? , e? 上的极值和最值,即可得到结论. e 试题解析: (1)当 a ? 2 时, f ?x ? ? 2 ln x ? x 2 ? 2 x , f ?? x ? ?

?1 ? ? ?

2 ? 2x ? 2 , x

切 点 坐 标 为 ?1,1? , 切 线 的 斜 率 k ? f ??1? ? 2 , 则 切 线 方 程 为 y ? 1 ? 2?x ? 1? , 即

2x ? y ?1 ? 0 .
(2) g ?x ? ? 2 ln x ? x ? m ,
2

则 g ?? x ? ?

2 ? 2? x ? 1??x ? 1? ? 2x ? . x x

∵ x ? ? , e? ,∴当 g ??x ? ? 0 时, x ? 1 . e 当

?1 ? ? ?

1 ? x ? 1 时, g ??x ? ? 0 ; e

当 1 ? x ? e 时, g ??x ? ? 0 . 故 g ?x ? 在 x ? 1 处取得极大值 g ?1? ? m ? 1 . 又 g? ? ? m ? 2 ?

?1? ?e?

1 2 , g ?e? ? m ? 2 ? e , 2 e

1 ?1? g ?e? ? g ? ? ? 4 ? e 2 ? 2 ? 0 , e ?e?
则 g ?e ? ? g ? ? ,

?1? ?e?

∴ g ?x ? 在 ? , e? 上的最小值是 g ?e? . e

?1 ? ? ?

?1 ? g ?x ? 在 ? , e? 上有两个零点的条件是 ?e ?

? g ?1? ? m ? 1 ? 0 ? , 1 ? ?1? ?g? e ? ? m ? 2 ? e2 ? 0 ? ? ?
第 9 页 共 10 页

解得 1 ? m ? 2 ?

1 , e2

∴实数 m 的取值范围是 ?1,2 ?

? ?

1? . e2 ? ?

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.

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