台州市2014学年第一学期高一年级期末质量数学评估试题及答案


学年 台州市2014 第一学期 高一年级期末质量评估试题





2015.02

命题:汤香花(台州一中) 庄 丰(玉环中学) 审核:詹一铭(台州中学) 一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? ?1,2? , B ? ?2,3? ,则 A A. ?1? 2. cos(?150 ) ? A. ? B. ?2?

B=
C.

?3?
3 2

D. ?1, 2,3?

1 2

B.

1 2 1 BC ? 2

C. ?

D.

3 2

3.若 AB ? ? ?2, 4? , AC ? ? 4,6 ? ,则 A. ?1,5? 4.式子 B. ? 3,1?

C.

? 6, 2?

D.

? ?3, ?1?

m?3 m (m ? 0) 的计算结果为 ( 6 m )5
1

A. 1 5.设函数 f ( x) ? ? A. ? 2

B. m 2

C. m

?

3 10

D. m

?

1 20

x ? 0, ?? x, 则 f ( f (?1)) 的值为 2 ? x ? 1, x ? 0,
B. ? 1 C. 1 D. 2

6.下列函数中,最小正周期为 π 的奇函数是

y ? cos 2 x A.

y ? sin 2 x B.
x

y ? tan 2 x C.

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? 2?

7.设 f ( x) ? x ? a 是偶函数, g ( x) ? 2 ? A. ?

b 是奇函数,那么 a ? b 的值为 2x

1 C. ?1 D.1 2 π 8.为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 图象上所有的点 3 π π A.向左平行移动 个单位长度 B.向右平行移动 个单位长度 6 6 π π C.向左平行移动 个单位长度 D.向右平行移动 个单位长度 3 3
B.

1 2

9.已知函数 f ? x ? ? x2 ? bx ? c ,且 f ? 2 ? x ? ? f ? ?x ? ,则下列不等式中成立的是 A. f ? ?4? ? f ? 0? ? f ? 4? C. f ? 0? ? f ? 4? ? f ? ?4? 10.函数 y ? B. f ? 0? ? f ? ?4? ? f ? 4? D. f ? 4? ? f ? 0? ? f ? ?4?

x 在区间 ? k ?1, k ? 1? 上是单调函数,则实数 k 的取值范围是 x ?1 A. ? ?2,0 ? B. ? ?2,0? C. ? ??, ?2? ? 0, ??? D. ? ??, ?2? ?0, ??? π 3

11.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( ) ? 1 , 则函数 g ( x) ? 2cos ? 2x ? ? ? ?1 的单调递增区间是

5π π? ? , kπ ? ? (k ? Z ) 12 12 ? ? 2π π? ? C. ? kπ ? , kπ ? ? (k ? Z ) 3 6? ?
A. ? kπ ? 12.函数 y ?

B. ? kπ ?

π 7π ? ? , kπ ? ? (k ? Z ) 12 12 ? ? π π? ? D. ? kπ ? , kπ ? ? (k ? Z ) 3 6? ?

x ? ln x 2 的图象可能是 x

A

B

C

D

13.在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 上,且 BC ? 3DC ,点 O 在线段 DC 上(与点 C , D 不重合) 若 AO ? xAB ? yAC ,则 x ? y 的取值范围是 A. ? ?1,0? B. ? ?1, ? ?

? ?

1? 3?

C. ? ?2, ?1?

D. ? ? , ?1?

? 5 ? 3

? ?

2 14.已知函数 f ? x ? ? lg x ,若对任意的正数 x ,不等式 f ? x ? ? f ? t ? ? f x ? t 恒成立,

?

?

则实数 t 的取值范围是 A. ? 0, 4 ?

B. ?1, 4?

C. ? 0, 4?

D. ? 4, ???

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 15.已知幂函数 y ? f ? x ? 的图象过点 ?

?1 2? ?2, 2 ? ? ,则 f ? x ? ? ? ?
▲ .



.

16.向量 a ? ? n,1? 与 b ? ? 9, n ? 共线,则 n ?

17.若 ? 的终边过点 ? ?1, 2? ,则

sin(π ? ? ) π sin( ? ? ) ? cos(π ? ? ) 2

=



.

18.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,点 P 是线段 BC 上的动点,则 PB ? PD PC 的最小 值为 ▲
D

?

?

.
C

P A
(第 18 题)

P O
(第 19 题)

B

19.如图,点 P 从点 O 出发,按逆时针方向沿周长为 l 的圆运动一周,设 O, P 两点连线的距

l 时, y 和 x 间的函数解析式为 ▲ . 2 sin x ? t ? t ? 0? ,若函数的最大值为 a ,最小值为 b ,且 a ? 2b ,则 t 20.已知函数 f ? x ? ? 2
离为 y ,点 P 走过的路程为 x ,当 0 ? x ? 的取值范围是 ▲ . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分为 6 分) 已知函数 f ? x ? ?

a ? x 2 的定义域为 A ,值域为 B .
B;

(Ⅰ)当 a ? 4 时,求 A

(Ⅱ)若 1 ? B ,求实数 a 的取值范围.

22.(本小题满分为 8 分) 如图,已知正三角形 ABC 的边长为 1,设 AB ? a, AC ? b . (Ⅰ)若 D 是 AB 的中点,用 a , b 表示向量 CD ; (Ⅱ)求 2a ? b 与 ?3a ? 2b 的夹角.

C

A

D
(第 22 题)

B

23.(本小题满分为 8 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x .

1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 2 ? sin 2 ? ,且 ? 为第二象限角,计算: cos ? ; 1 ? sin ? 1 ? cos ? 3 π (Ⅱ) 若函数 g ? x ? 的图象与函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? 对称, 求函数 g ? x ? 的解析式. 3
(Ⅰ)若 f ?? ? ?

24.(本小题满分为 8 分) 已知 f ( x) ? tan x ? log 2

1? x ?1. 1? x

(Ⅰ)求 f ( ) ? f ( ? ) 的值; (Ⅱ)若 f (sin ? ) ? f ? cos? ? , ? 为锐角,求 ? 的取值范围.

1 2

1 2

25.(本小题满分为 10 分)
2 已知函数 f ( x ) ? x ? x ? ax .

(Ⅰ)当 a ?

1 时,求方程 f ? x ? ? 0 的根; 2

(Ⅱ)当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上的最小值.

台州市 第一学期 高一期末质量评估试题(数学) 答案及评分标准
一、选择题(本大题共有 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 D 11 A 12 B 13 B 14 C

2014学年

二、填空题: (本大题共有 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 15. x 18. ?
1 2

16. ?3 19. y ?

17. ?1

1 2

l πx sin π l

20. t ?

7 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分) 21.(本题满分 6 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 4 时, f ? x ? ?

4 ? x2 ,

函数的定义域 A ? ? ?2, 2? ,值域 B ? ?0,2? ,………………………………………………2 分

A B ? ?0,2? .………………………………………………………………………………3 分
(Ⅱ) B ? ?0, a ? 由 1 ? B ,得 a ? 1 ,所以 a ? 1 .………………………………6 分

?

?

22.(本题满分 8 分) 解:(Ⅰ) CD ?

C

1 1 AB ? AC ? a ? b .……………………………3 分 2 2

(Ⅱ)由题意知, a ? b ? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ,

? 2a ? b ? ? ?3a ? 2b ? ? ?6a
2a ? b ?

2

? a b ? 2b ? ?6 ?
2 2

2

1 7 ? 2 ? ? ,……4 分 2 2

A

D
(第 22 题)

B

? 2a ? b ?

2

? 4a ? 4a b ? b ? 7 ,……………………………………5 分
2

?3a ? 2b ?

? ?3a ? 2b ?

? 9a ? 12a b ? 4b ? 7 ,……………………………6 分

2

2

设 2a ? b 与 ?3a ? 2b 的夹角为 ? ,则 cos ? ?

? 2a ? b ? ??3a ? 2b ? ? ? 1 ,……………7 分
2a ? b ?3a ? 2b 2

所以 2a ? b 与 ?3a ? 2b 的夹角为 120 .……………………………………………………8 分

23.(本题满分 8 分) 解: (Ⅰ)由 sin ? ?

1 2 2 , ? 为第二象限角,得 cos ? ? ? ………………………1 分 3 3

cos2 ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? (1 ? sin ? )2 (1 ? cos ? )2 2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? cos2 ? sin 2 ?

? ? cos? ?1? sin ? ? ? sin ? ?1 ? cos? ? ? sin ? ? cos?
所以 cos 2 ? (Ⅱ)

1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 2 2 ? sin 2 ? ? ? ……………………………………4 分 1 ? sin ? 1 ? cos ? 3 3

设 点 A? x , y ? 是 函 数 g ? x? 图 象 上 任 意 一 点 , 则 点 A 关 于 直 线 x ?

π 的对称点 3

? 2π ? ? 2π ? A? ? ? x, y ? x ? ,又由 f ? x ? ? sin x 得 ? 落在函数 f ? x ? 的图象上,所以 g ? x ? ? f ? ? 3 ? ? 3 ?

?? ? 2π ? ? g ? x ? ? sin ? ? x ? ,即 g ? x ? ? sin ? x ? ? …………………………………………8 分 3? ? 3 ? ?
24.(本题满分 8 分) 解:(Ⅰ) f ( ) ? f (? ) ? tan

1 2

1 2

1 3 2 ? 1? ? log ? 1 ? tan ? ? ? ? log ? 1 ? 2 ………………3 分 2 2 3 ? 2?

π ? π ? ? kπ ? x ? ? kπ,k ? Z ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? ,得函数定义域为 ? ?1,1? …………………………4 分 1 ? x ? ?0 ? ? 1? x
在区间 ? ?1,1? 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? tan x1 ? tan x2 ? lg

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x2 ? x1 ? x1 x2 ? lg ? tan x1 ? tan x2 ? lg 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x2 ? x1 ? x1 x2

由 tan x1 ? tan x2 ? 0 ,0 ?

1 ? x2 ? x1 ? x1 x2 得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 1, 1 ? x2 ? x1 ? x1 x2

所以函数 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上为增函数, 由 f (sin ? ) ? f ? cos? ? ,结合函数的单调性可得, sin ? ? cos ? ,因为 ? 为锐角 .所以 ? ? ?

?π π? , ? ………………………………………………………………………………8 分 ?4 2?

25. (本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)当 a ?

1 1 2 时,由 f ? x ? ? 0 ,得 x ? x ? x ? 0 , 2 2 1 3 1 ,x? 或 . 2 2 2

显然, x ? 0 是方程的根,当 x ? 0 时, x ? 1 ?

所以,方程 f ? x ? ? 0 的根为 0,

1 3 , .………………………………………………3 分 2 2

(Ⅱ) f ? x ? ? ?

? x 2 ? ? a ? 1? x, x ? 1或x ? 0, ? 2 ? ? ? x ? ?1 ? a ? x, 0 ? x ? 1,

1? a ? 1 ,所以函数 f ? x ? 在 ?0,1? 上为 2 a ?1 a ? 1? ? 2 ? 0, 增函数, 结合函数 y ? x ? ? a ? 1? x 的对称轴 x ? 可知函数 f ? x ? 在 ? ??, 2 2 ? ? ? ? a ?1 ? 上为减函数,在 ? , ?? ? 上为增函数. …………………………………………………5 分 ? 2 ?
2 当 a ? ?1 时,函数 y ? ? x ? ?1 ? a ? x 的对称轴 x ?

(1)当

a ?1 ? ?2 ,即 a ? ?5 时, 2

函数 f ? x ? 在 ? ?2, 2? 上是单调递增函数, f ? x ? 的最小值为 f ? ?2? ? 2a ? 6 ,………7 分

(2)当 ? a ? 1

? a ? ?1 ? ,即 ?5 ? a ? ?1 时, ? ? 2 ? ? 2

函数 f ? x ? 在 ? ?2,

? ?

a ? 1? ? a ?1 ? 上单调递减,在 ? , 2? 上单调递增, ? 2 ? ? 2 ?
2

? a ? 1? . ………………………………………………9 分 ? a ?1 ? f ? x ? 的最小值为 f ? ??? 4 ? 2 ?
综上所述,函数 f ? x ? 的最小值 ? ? f ? x ?? ? min

? 2a ? 6, a ? ?5, ? ? ? ? a ? 1?2 …………10 分 ? , ? 5 ? a ? ? 1 ? ? 4


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