江苏省苏州市2014-2015学年第一学期期末调研高一数学试卷及答案(word版)


苏州 2014-2015 学年第一学期期末调研测试试卷

高一数学
注意事项: 1.本试卷共 160 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的密封线内。

2015. 1

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题 纸 相应的 .. . ... 位置 上。 .. 1.已知集合 A ? ??1,1,2? , B ? ??1,0,2? ,则 A I B = 2.角 ? 的终边过点(?3,?4),则 tan ? = ▲ . ▲ . ▲ . ▲ .

3.函数 f ( x) ? log a ( x ?1) ?1( a ? 0 且a ?1) 恒过定点

4.已知 a=(cos40?,sin40?),b=(sin20?,cos20?),则 a· b= 5.若 tan ? ? 3 , tan ? ? 4 ,则 tan(? ? ? ) = ▲ . 3 6.函数 y ? x2 ? 3x ? 2 的零点是 ▲ .

7.将函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的 1 (纵坐标不变),再将图象上所有点向 2 ? 右平移 3 个单位,所得函数图象所对应的解析式为 y= ▲ . 8.若 cos 2? ? ? 2 ,则 sin 2? = 2 sin(? ? π ) 4 ▲ .

9.若函数 f ? x ? ? 4x2 ? kx ? 8 在 ?5,8? 上是单调函数,则 k 的取值范围是 ▲ . uuu r π 10.已知向量 a=(6,-4),b=(0,2), OC =a+?b,O 为坐标原点,若点 C 在函数 y=sin x 12 的图象上,实数?的值是 ▲ . uur uuu r uuu r uu u r uuu r BA BC BD 11. 四边形 ABCD 中,AB ? DC ? ?1,1? , uur ? uuu 则此四边形的面积等于 r ? 2 uuu r , BA BC BD 12.如图,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=5,将矩形 ABCD 绕点 B 按 顺时针方向旋转 45 后得到矩形 A'BC'D',则点 D'到直线 AB 的距 离是 ▲ . D
o





D' A' C

?a x ( x ? 0), 13.已知函数 f ( x) ? ? 是减函数,则 a 的取值范围是 0) ?(a ? 3) x ? 4a ( x…
▲ .

C'

A (第 12 题图) B

14.设两个向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? (2m,m ? sin ? ) ,其中 ?,m,? 为实数.若 a = 2b, 则 ? 的取值范围是 ▲ . m
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二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内。 15.(本题满分 14 分) 已知 a=(1,2),b=(-3,1), (Ⅰ) 求 a-2b; (Ⅱ) 设 a,b 的夹角为 ? ,求 cos ? 的值; (Ⅲ) 若向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直,求 k 的值.

16.(本题满分 14 分) 已知 cos? ? 2 ,cos(? ? ? ) ? 1 , 且 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 , 2 2 5 10 (Ⅰ) 求 tan 2? 的值; (Ⅱ) 求 ? 的值.

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17.(本题满分 15 分) 已知函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)= log 2 x +x-3. (Ⅰ) 求 f(-1)的值; (Ⅱ) 求函数 f(x)的表达式; (Ⅲ) 求证:方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解.

18.(本题满分 15 分) 根据市场调查,某种新产品投放市场的 30 天内,每件销售价格 P (元)与时间 t (天 t ? N * )的 关系满足下图,日销量 Q (件)与时间 t (天)之间的关系是 Q ? ?t ? 40(t ? N* ) . (Ⅰ) 写出该产品每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (Ⅱ) 在这 30 天内,哪一天的日销售金额最大? (日销量金额=每件产品销售价格×日销量)

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19.(本小题满分 16 分)

uuu r uur uu u r 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足 OC ? 1 OA+ 2 OB . 3 3

(Ⅰ) 求证:A、B、C 三点共线; uuu r AC (Ⅱ) 求 uur 的值; CB
uur uuu r uu u r (Ⅲ) 已知 A(1,cosx)、B(1+cosx,cosx),x∈ ?0, ? ? ,f (x)= OA ? OC ? (2m ? 2 ) AB 的最小值 ? 3 ? 2? ? 为 ? 3 ,求实数 m 的值. 2

20.(本小题满分 16 分)

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. 已知函数 f ( x) ? log a x ?1
(Ⅰ) 判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并给出证明; (Ⅱ) 当 x ? (n, a ? 2) 时,函数 f ( x) 的值域是 (1, ??) ,求实数 a 与 n 的值;
2 f (x ) ? 5,a ≥8 时,存在最大实数 t ,使得 x ? (1, t ] 时, (Ⅲ) 令函数 g ( x) ? ?ax ? 8(x ? 1)a

?5剟 g ? x ? 5 恒成立,请写出 t 关于 a 的表达式.

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2014-2015 学年第一学期期末调研测试试卷

高一数学参考答案 2015. 1
一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分 1. ??1, 2? ;2. 4 ;3.(2,1);4. 3 ;5. 1 ;6.1,2;7. y ? sin(2 x ? 2 ? ) ;8. ? 4 ; 3 3 3 3 2 5 17 2 ;13. (0, 1 ] ;14.[-12,2]. 9. k? 40 或 k… 64 ;10.2;11.2;12. 4 2 二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。 15.解:(Ⅰ) a-2b=(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0);……………..(4 分) (Ⅱ) cos ? ?

a ?b 1? (?3) ? 2 ?1 ……………..(6 分) ? ………..(8 分) a?b 1 ? (?3)2 22 ? 1
2 ;…………(10 分) 10

=?

(Ⅲ)因为向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直,所以(a+kb)?(a-kb)=0 即 a 2 ? k 2b2 ? 0 ……………..(12 分) 因为 a 2 ? 5 , b2 ? 10 ,所以 5 ? 10k ? 0 ? k ? ?
2

16.解:(Ⅰ)由 cos ? ?

2 ? ,0 ? ? ? , 2 5
2

2 ; ………(14 分) 2

2 ? 1 ……………..(2 分) 得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 5 ? ?

∴ tan ? ?

(Ⅱ)由 ?

?

sin ? 1 5 1 ? ? ? ,……………..(3 分) cos ? 2 5 2 1 2? 2 ? 4 .……………..(6 分) 则 tan 2? ? 2 tan ? ? 2 2 1 ? tan ? 3 ?1? 1? ? ? ?2?

2

? ? ? 0, 0 ? ? ?

?

2

,得 0 ? ? ? ? ? ? ,……………..(7 分)
2

? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ? 1 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 3 .…..(9 分) 10 ? 10 ? 10
由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得:

cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? cos ? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ?

?

2 1 1 3 2 ,……………..(12 分) ? ? ? ? 2 5 10 5 10
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∵?

?
2

? ? ? 0∴? ? ?

?
4

. ……………..(14 分)

17.解:(Ⅰ)函数 f(x)是实数集 R 上的奇函数. 所以 f(-1)=-f(1). 因为当 x>0 时,f(x)=log2x+x-3,所以 f(1)=log21+1-3=-2. 所以 f(-1)=-f(1)=2.……………..(3 分) (Ⅱ)当 x=0 时,f(0)=f(-0)=-f(0),解得 f(0)=0;……………..(4 分) 当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=log2(-x)+(-x)-3=log2(-x)-x-3. 所以-f(x)=log2(-x)-x-3,从而 f(x)=-log2(-x)+x+3.……..(6 分)
?? log (2? x ) ? x ? 3 , x ? 0, ? 所以 f(x)= ?0, x ? 0, ……………..(8 分) ?log x ? x ? 3, x ? 0 ? 2

(Ⅲ)因为 f(2)=log22+2-3=0,所以 方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有解 x=2.……………..(10 分) 又方程 f(x)=0 可化为 log2x=3-x. 设函数 g(x)=log2x,h(x)=3-x. 由于 g(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数……………..(12 分), h(x)在区间(0,+∞)上是单调减函数,……………..(13 分) 所以,方程 g(x)=h(x) 在区间(0,+∞)上只有一个解. 所以,方程 f(x)=0 在区间(0,+∞)上有唯一解. ……………..(15 分) (指出解且直接指出 f(x)单调性给满分) 18.解:(Ⅰ)根据图象,每件销售价格 P 与时间 t 的函数关系为:

?t ? 30 (0 ? t? 20, t ? N* ) ? P?? . * 50 (20 ? t ? 30, t ? N ) ? ?
(Ⅱ)设日销售金额 y(元), * ? ?(t ? 30)(?t ? 40) (0 ? t? 20, t ? N ) 则y?? (20 ? t? 30, t ? N* ) ? ?50(?t ? 40) ??t 2 ? 10t ? 1200 (0 ? t? 20, t ? N* ) ? ?? * ? ??50t ? 2000 (20 ? t? 30, t ? N ).

……………..(4 分)

……………..(6 分) ……………..(8 分)

* 若 0 ? t? 20, t ? N 时, y ? ?t 2 ? 10t ? 1200 ? ?(t ? 5) 2 ? 1225,

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∴当 t=5 时, ymax ? 1225; ……………..(11 分) 若 20<t?30,t∈ N 时,y=-50t+2000 是减函数,……………..(13 分)
*

∴y<-50× 20+2000=1000,因此,这种产品在第 5 天的日销售金额最大, 最大日销售金额是 1225 元. ……………..(15 分) uuu r uur uu u r uuu r uuu r uur uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uur uu u r 19.解:(Ⅰ)由已知 OC ? 1 OA+ 2 OB ,即 AC ? AC +CA= 2 AB , AC ? AO+OC = AO+ 1 OA+ 2 OB 3 3 3 3 3 uuu r uuu uuu r uu u r uuu r r = 2 AO+ 2 OB ? 2 AB ∴ AC ∥ AB . 3 3 3

uuu r uuu r 又∵ AC 、 AB 有公共点 A,∴A、B、C 三点共线. ………..(4 分)
(Ⅱ)∵ AC ?

u r 2 uuu r uur r 2 uur 2 uu 1 uuu AB ? ( AC ? CB) ,∴ AC ? CB , 3 3 3 3 uuu r AC uuu r uur AC ? 2CB ,∴ uur ? 2 ……………..(8 分) CB uuu r

uuu r

(Ⅲ)∵ OC ? OA+ OB ∴C( 1 ?

u r uuu r 2 1 uur 2 uu cos x, cos x ), AB =(cosx,0), 3 3 3 uur uuu r uu u r 2 2 2 ∴f(x) = OA ? OC ? (2m ? ) AB = 1 ? cos x ? cos2 x ? (2m ? ) cos x 3 3 3
∴f(x)=(cosx?m)2+1?m2. ……………..(11 分) ? ?? ∵x∈ ?0, ? ,∴cosx∈[0,1]. ……………..(12 分) ? 2? 当 m<0 时,当且仅当 cosx=0 时,f(x)取得最小值 1 与已知相矛盾; 当 0?m?1 时, 当且仅当 cosx=m 时,f(x)取得最小值 1-m2, 10 3 由 1-m2= ? 得 m=± (舍去); 2 2 当 m>1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 2-2m,由 2-2m= ? 得 m= 综上所述,m=

3 2

7 ? 1. 4

7 为所求. ……………16 分 4

20.解:(Ⅰ)由已知条件得 f (? x) ? f ( x) ? 0 对定义域中的 x 均成立.

mx ? 1 1 ? mx ? loga ? 0. ?x ?1 x ?1 mx ? 1 1 ? mx 即 ,对定义域中的 x 均成立, ? ? 1 ∴ m2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 1 , ?x ?1 x ?1
∴ loga

(m2 ? 1 )x 2 ? 0 ,∴ m2 ? 1 即 当 m ? 1 时, f ( x) 无意义,故舍去,当 m ? ?1 时 f ( x) 奇函数,
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∴ m ? ?1 .……………..(3 分)

x ?1 , x ?1 x ? 1 x ?1 ? 2 2 设t ? , ? ?1? x ?1 x ?1 x ?1 2( x2 ? x1 ) 2 2 ? ? ∴当 x1 ? x2 ? 1时, t1 ? t2 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) f ( x) ? loga
当 a ? 1 时, loga t1 ? loga t2 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

∴ t1 ? t2 .

∴当 a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上是减函数. ……………..(5 分) 同理当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 (1, ??) 上是增函数. ……………..(7 分) (Ⅱ)? 函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (1, ??) , ∴① n ? a ? 2? ? 1 ,∴ 0 ? a ? 1 . ∴ f ( x) 在 (n, a ? 2) 为增函数,

1? n ? ?1 ?log a 要使值域为 (1, ??) ,则 ? (无解); n ?1 ? ? a ? 2 ? ?1
② 1? n ? a ? 2 , ∴ a ? 3 .∴ f ( x) 在 (n, a ? 2) 为减函数,

?n ? 1 ? 要使 f ( x) 的值域为 (1, ??) , 则 ? , a ?1 log a ?1 ? a?3 ?
∴ a ? 2 ? 3 , n ?1. ……………..(12 分)

4 16 f x (Ⅲ) g ? x ? ? ?ax2 ? 8? x ? 1? a ? ? ? 5 ? ?ax2 ? 8x ? 3 ? ?a( x ? )2 ? 3 ? , a a
则函数 y ? g ( x) 的对称轴 x ? ∴函数 y ? g ( x) 在 x ? ?1, t 上单调减. 则 1 ? x? t ,有 g (t )? g ( x) ? g (1) ……………..(13 分) ∵ g (1)=11- a ,又 a≥8,∴ g (1) ≤3<5……………..(14 分)

4 ? 1? 4 8 ∴ x ? ? ? 0, ? . ,? a… a ? 2? a

?

g ( x) 5 恒成立,∴ g (t )…- 5 , (, 1 t ] 上 - 5剟 ∵t 是实数,使得 x ?
- 5 ,∴ at - 8t - 8? 0 , t 2 即 - at + 8t ? 3…
2

2

8 8 t- ? 0 a a

16 8 4 4 16 8 t? (t ? ) 2 ? 2 ? ,∴ ? 2 ? 剟 a a a a a a

16 8 ? a2 a

4 16 8 4 16 8 4 16 8 ? 2? 剟 t ? 2 ? ,∴ t = ? ? 2 ? ……………..(16 分) a a a a a a a a a

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