指数及指数函数高考复习题及答案详细解析


指数及指数函数高考复习题
1(2011·山东文,3)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan A.0 B. 3 3
x
x


6

的值为(

)

C.1 (

D. 3 ) (D) (0, 4)

2(2010 重庆文数)函数 y ? 16 ? 4 的值域是 (A) [0, ??) (B) [0, 4]

(C) [0, 4)

3(2010 安徽文数)设 a ? ),b ? ) c ? ) ,则 a,b,c 的大小关系是( ( 5 ( 5, ( 5

3 5

2

2 5

3

2 5

2

)

(A)a>c>b (B)a>b>c (C)c>a>b (D)b>c>a 4(2010 陕西文数)下列四类函数中,个有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x +y)=f(x)f(y) ”的是 ( ) (A)幂函数 (B)对数函数 (C)指数函数 (D)余弦函数

1 (a b )( ?3a b ) ? ( a 6 b 6 ) 3 5.化简 的结果
A. 6a B. ? a C. ? 9a

2 3

1 2

1 2

1 3

1

5

( D. 9a


2

6(2009 辽宁卷文)已知函数 f ( x) 满足:x≥4,则 f ( x) = ( ) ;当 x<4 时 f ( x) =

1 2

x

f ( x ? 1) ,则 f (2 ? log 2 3) =(
A.

) C.

1 24

B.

1 12

1 8
)

D.

3 8

7.[2011· 益阳模拟] 不等式 4x-3·x+2<0 的解集是( 2 A.{x|x<0} B.{x|0<x<1} C.{x|1<x<9} D.{x|x>9}
x

8.若关于 x 的方程|a -1|=2a(a>0,a≠1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞)
x

)

B.(0,1)

1 C.(1,+∞) D.(0, ) 2 )

9(理)函数 y=|2 -1|在区间(k-1,k+1)内不单调,则 k 的取值范围是( A.(-1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,1) D.(0,2)

10(理)(2011·聊城模拟)若函数 y=2 ( ) A.m≤-1 B.-1≤m<0

|1-x|

+m 的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是

C.m≥1

D.0<m≤1

1

1 x 11.(2012·北京文,5)函数 f(x)=x -( ) 的零点个数为( 2 A.0 B.1 C.2 D.3

1 2

)

?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 f ( x ) ? ? ( x ?6 ) ,x ? 7 12(理)(2011·大连模拟)已知函数 若数列{an}满足 an=f(n)(n∈ ?a
N ),且{an}是递增数列,则实数 a 的取值范围是( 9 A.[ ,3) 4 9 B.( ,3) 4
x
*

) D.(1,3) )

C.(2,3)

13.设函数 f(x)=|2 -1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则 a+b 等于( A.1 B.2 C.3 D.4

? 1 x ?( ) , x ? 1 f ( x) ? ? 2 ?log 2 ( x ? 1), x ? 1 ,则 f(x)≤1的解集为________. 14.已知函数 ?
2

?1 x ?( 3 ) , x ? 0 ? f ( x) ? ? ? 1 , x ? 0 则不等式|f(x)|≥1的解集为________. 15.若函数 3 ?x ?
16.函数 y=ax
+2012

+2011(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点________.

17. (2011·潍坊模拟)设 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, 满足条件 y=f(x+1)是偶函数, 2 3 1 x 且当 x≥1 时,f(x)=2 -1,则 f( )、f( )、f( )的大小关系是________. 3 2 3 18.(文)(2011·青岛模拟)若定义运算 a*b=? 域是________. 19. 定义区间[x1, 2]的长度为 x2-x1, x 已知函数 f(x)=3 的定义域为[a, ], b 值域为[1,9], 则区间[a,b]的长度的最大值为______,最小值为______.
20.设函数 f(x)=
|x|

? ?a

? ?

a<b? , a≥b? ,

?b ?

则函数 f(x)=3 *3 的值

x

-x

,求使 f(x)≥2

的 x 的取值范围.

21.(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数 f(x)= (1)求 a 的值;
2

a·2x+a-2
2 +1
x

是奇函数.

(2)判断函数 f(x)的单调性,并用定义证明; (3)求函数的值域.

2 22.(文)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.

x

23.设a ? 0且a ? 1,函数y ? a 2 x ? 2a x ? 1在?- 1,1?上的最大值是 ,求实数a的值 14

24.已知 f(x)=

a
2

a -1

(a -a )(a>0 且 a≠1). (2)讨论 f (x)的单调性;

x

-x

(1)判断 f(x)的奇偶性;

(3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

指数及指数函数高考复习题答案

1[答案]

D

3

[解析] 由点(a,9)在函数 y=3 图象上知 3 =9,即 a=2,所以 tan 2 解析:? 4 ? 0,? 0 ? 16 ? 4 ? 16 ? 16 ? 4 ? ? 0, 4 ?
x x x

x

a



π =tan = 3. 6 3

3.A 【解析】 y ? x 5 在 x ? 0 时是增函数, 所以 a ? c , y ? ( ) 在 x ? 0 时是减函数,
x

2

2 5

所以 c ? b 。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 4.解析:本题考查幂的运算性质 [C]

f ( x) f ( y ) ? a x a y ? a x ? y ? f ( x ? y )
5.C

6 答案 A 解析 ∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23)且 3+log23>4 ∴ f (2 ? log 2 3) =f(3+log23)

1 3? log2 3 1 1 log 2 3 1 1 log 1 3 1 1 1 ? ?( ) ? ?( ) 2 ? ? ? =( ) 2 8 2 8 2 8 3 24
7.B [解析] ∵4x-3·x+2<0,∴(2x)2-3·x+2<0, 2 2 x x x ∴(2 -1)(2 -2)<0,解得 1<2 <2,∴0<x<1,故不等式的解集是{x|0<x<1}. 8[答案] D [解析] 若 a>1,如图(1)为 y=|a -1|的图象,与 y=2a 显然没有两个交点;当 0<a<1 1 x 时,如图(2),要使 y=2a 与 y=|a -1|的图象有两个交点,应有 2a<1,∴0<a< . 2
x

1

9[答案]

C
x

[解析] 由于函数 y=|2 -1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函 数在区间(k-1,k+1)内不单调,所以有 k-1<0<k+1,解得-1<k<1.

4

10[答案] A [解析] ∵|1-x|∈[0,+∞),∴2 欲使函数 y=2 11[答案] B 1 2 1 x 1 x [解析] 函数 f(x)=x -( ) 的零点个数即为方程 x =( ) 的实根个数,在平面直 2 2 1 x 角坐标系中画出函数 y=x 和 y=( ) 的图象,易得交点个数为 1 个. 2 1 2 1 2
|1-x| |1-x|

∈[1,+∞),

+m 的图象与 x 轴有公共点,应有 m≤-1.

[点评] 本题考查函数零点问题和指数函数与幂函数的图象. 12[答案] C [解析] ∵{an}是递增数列, ∴f(n)为单调增函数,

?a>1, ? ∴?3-a>0, ?a8-6>? 3-a? ×7-3, ?
13[答案] A

∴2<a<3.

[解析] 因为 f(x)=|2 -1|的值域为[a,b],所以 b>a≥0,而函数 f(x)=|2 -1|在 [0,+∞)内是单调递增函数,
?|2 -1|=a, ? 因此应有? b ? ?|2 -1|=b,
a

x

x

解得?

?a=0, ? ? ?b=1,

所以有 a+b=1,选 A. 14.[答案] [1, 2+1] 1 [解析] 由 f(x)≤ 得, 2

5

??1?x≤1, ?? ? ??2? 2 ?x≤1, ?

?log2? x-1? ≤1, ? 2 或? ?x>1, ?

∴x=1 或 1<x≤ 2+1, ∴1≤x≤ 2+1,故解集为[1, 2+1]. 15[答案] [-3,1] [解析]

f(x)的图象如图.
1 1 |f(x)|≥ ? f(x)≥ 3 3 1 或 f(x)≤- . 3 1 ?1?x 1 1 ∴? ? ≥ 或 ≤- 3 ?3? 3 x ∴0≤x≤1 或-3≤x<0,∴解集为{x|-3≤x≤1}. 16.(-2012,2012) [解析] ∵y=ax(a>0 且 a≠1)恒过定点(0,1),∴y=ax 点(-2012,2012). 2 3 1 17[答案] f( )<f( )<f( ) 3 2 3 18[答案] (0,1] [解析] 由 a*b 的定义知,f(x)取 y=3 与 y=3 的值中的较小的,∴0<f(x)≤1. 19[答案] 4 2
|x| |x| |x| +2012

+2011 恒过定

x

-x

[解析] 由 3 =1 得 x=0,由 3 =9 得 x=±2,故 f(x)=3 的值域为[1,9]时,其 定义域可以为[0,2],[-2,0],[-2,2]及[-2,m],0≤m≤2 或[n,2],-2≤n≤0 都可以, 故区间[a,b]的最大长度为 4,最小长度为 2. 22[解析] (1)∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0, 又当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1),
6

∴f(-x)=

2 = x, 4 +1 1+4
-x

2

-x

x

2 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=- x, 1+4 ∴f(x)在(-1,1)上的解析式为

x

x∈? ? ? 2 f(x)=? - x∈? 4 +1 ?0 x=0. ?
2 4 +1
x x x

x

0,1? -1,0?

, ,

2 (2)当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 设 0<x1<x2<1, 2x1 2x2 则 f(x1)-f(x2)= - 4x1+1 4x2+1 = ? 2x2-2x1? ? 2x1+x2-1? , ? 4x1+1? ? 4x2+1?

x

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2x1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在(0,1)上是减函数. 21[解析] (1)∵f(x)的定义域为 R,且为奇函数. ∴f(0)=0,解得 a=1. 2 -1 2 (2)由(1)知,f(x)= x =1- x ,∴f(x)为增函数. 2 +1 2 +1 证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2.
x

f(x1)-f(x2)=1-
= 2?

2 2 -1+ 2x1+1 2x2+1

2x1-2x2? , ? 2x1+1? ? 2x2+1?

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,且 2x1+1>0,2x2+1>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)为 R 上增函数. 2 -1 -1-y x (3)令 y= x ,则 2 = , 2 +1 y-1 -1-y x ∵2 >0,∴ >0,∴-1<y<1. y-1 ∴函数 f(x)的值域为(-1,1).
x

7

20 解析:原不等式等价于 x ? 1 ? x ? 1 ? (1) 当 x ? 1

3 2

3 成立 2 3 3 (2) 当 ?1 ? x ? 1 时, 2 x ? , ? x ?1 2 4 3 (3) 当 x ? ?1 时, ?2 ? 无解 2 x ? 1 ? (x ? 1? ? ) 2
综上 x 的范围 ? , ?? ? ?4 ? 24 分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算 f(-x),看是否等于 f(x)(或-f(x)); (2)可用单调性定义,也可用导数判断 f(x)的单调性; (3)b≤f(x)恒成立,只要 b≤f(x)min,由 f(x)的单调性可求 f(x)min. [解析] (1)函数定义域为 R,关于原点对称. 又因为 f(-x)=

?3

?

a
2

a -1

(a -a )=-f(x),

-x

x

所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a -1>0,
2

y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数,所以 f(x)为增函数.
当 0<a<1 时,a -1<0,
2

y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数,从而 y=ax-a-x 为减函数,所以 f(x)为增函数.
故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数,∴f(-1)≤f(x)≤f(1), ∴f(x)min=f(-1)=

a 1-a -1 (a -a)= 2 · =-1. a -1 a -1 a
2

a

2

∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1,故 b 的取值范围是(-∞,-1].

8


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