【智博教育原创专题】排列组合中涂色问题


涂色问题的常见方法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。 解决涂色问题方法技巧性强且灵 活多变,故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力,有利于开发学 生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。 【题型一】区域涂色问题 【策略 1】根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。 【例1】用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分 涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种? 【分析】先给①号区域涂色有 5 种方法,再给②号涂色有 4 种方法,接着给③号涂色方法有 3 种, 由于④号与①、②不相邻,因此④号有 4 种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 240 。 【策略 2】根据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不 同的涂色方法种数。 【例2】四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域,且相邻两个区域不能同色。 【分析】依题意只能选用 4 种颜色,并且一定两组两块区域同色,要分四类: 4 ⑴②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 ⑵③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 ⑶②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 ⑷③与⑤同色、②与④同色,则有 A4 ; ⑸②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 ? 120 。 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 【例3】如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色, 现有 4 种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种? 4 【分析】依题意至少要用 3 种颜色 ①当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色, 3 ②区域 3 与 5 必须同色,故有 A4 种; ③当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色, 4 ④则区域 3 与 5 不同色,有 A4 种;若区域 3 与 5 同色,则区域 2 与 4 不同色,有 A4 种,故用四种颜 4 4 3 4 ? 2 A4 ? 24 ? 2 ? 24 ? 72 。 色时共有 2 A4 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有 A4 【策略 3】根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分 别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。 【例4】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两 第1页 个区域涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 【解析】可把问题分为三类: ⑴四格涂不同的颜色,方法种数为 A54 ; 1 2 ⑵有且仅两个区域相同的颜色,即只有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为 2C5 A4 ; ⑶两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A52 , 2 1 2 因此,所求的涂法种数为 A5 ? 2C5 A4 ? A52 ? 260 。 【策略 4】根据相间区使用颜色的种类分类 【例5】如图, 6 个扇形区域 A, B, C, D, E, F ,现给这 6 个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色, 相邻的两个区域不得使用同一种颜色, 现有 4 种不同的颜色可供选择, 则不同的涂色方法有多少种? 【解析】⑴当相间区域 A, C, E 涂同一种颜色时,有 4 种涂色方法,此时 B, D, F 各有 3 种涂色方法, 此时, B, D, F 各有 3 种涂色方法故有 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 1

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