《新新练案系列》2013-2014学年高中数学(人教A版必修五)同步练测:2.4 等比数列 同步练测(含答案解析)


2.4
建议用时 45 分钟 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1.如果数列 ?an ? 是等比数列,那么( A.数列 {a } 是等比数列 B.数列 ?2 an ? 是等比数列 C.数列 ?lg an ? 是等比数列 D.数列 ?nan ? 是等比数列
2 n

等比数列(人教 A 版必修 5)
实际用时 满分 100 分 ) 16=0 的两根,则 a20 a50 a80 的值为( A.256 B.±256 C.64 D.±64 10.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,公比 q ≠1, 1 a ?a 设 P = (log0.5a5+log0.5a7 ) , Q = log 0.5 3 9 ,则 2 2 ) P 与 Q 的大小关系是( A. P ≥ Q C. P ≤ Q B. P < Q D. P > Q 实际得分

)

2.在等比数列 ?an ? 中, a4+a5 =10, a6+a7 =20,则

a8+a9 =(

)

A.90 B.30 C.70 D.40 3.已知等比数列 ?an ? 的各项为正数,且 3 是 a5 和 a6 的等比中项,则 a1a2 ?a10 =( A.3 11 C.3
9

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 11.等比数列 ?an ? 中, an ? 0 ,且 a2= -a1 , 1

a4=9-a3 ,则 a4+a5 =

. 1 ,则 3

)
10

B.3 12 D.3

12. 已 知 等 比 数 列 ?an ? 的 公 比 q = -

a2 4.在等比数列 ?an ? 中,若 a3a5a7 a9a11 =243,则 9 的 a11
值为( ) A.9 B.1 C.2 D.3 5.已知在等比数列 ?an ? 中,有 a3a11=4a7 ,数列 ?bn ? 是等差数列,且 b7=a7 ,则 b5+b9 =( ) A.2 B.4 C.8 D.16 6.在等比数列 ?an ? 中, an ? an+1 ,且 a7 a11 =6,

a1 ? a3 ? a5 ? a7 = a2 ? a4 ? a6 ? a8



13.在 3 和一个未知数间填上一个数,使三数成等差 数列,若中间项减去 6,则成等比数列,此未知数 是 . 14.一种专门占据内存的计算机病毒的大小为 2 KB, 它每 3 s 自身复制一次,复制后所占内存是原来的 10 两倍,则内存为 64 MB(1 MB=2 KB)的计算机开机 后经过 s,内存被占完. 三、解答题(共 54 分) 15.(8 分)已知 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,且

a4+a14 =5,则

a6 =( a16

)

3 2 A. B. 2 3 1 C. D.6 6 7.已知在等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 ,

?1 1? ?1 1? a1+a2 =2 ? ? ? , a3+a4 =32 ? ? ? .求 ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ?an ? 的通项公式.

a ?a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 =( a7 ? a8 2
A.1+ 2 B.1- 2

)

C.3+2 2 D.3-2 2 8.已知公差不为零的等差数列的第 k , , 项构成等比 np 数列的连续三项,则等比数列的公比为( n? p n? p A. B. p?k k ?n n?k k?p C. D. n? p n? p )

10 9.已知在等比数列 ?an ? 中, a5 , a95 为方程 x 2+ x+

16.(8 分)在等比数列 ?an ? 中,已知 a4 a7 =-512,

a3+a8 =124,且公比为整数,求 a10 .

17.(9 分)在等差数列 ?an ? 中, a4 =10,且 a3 , a6 , a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S20 .

18.(9 分)设正整数数列 ?an ? 为一个等比数列,且

a2 =4, a4 =16,求 lg an+1+lg an+2+?+lg a2n .

19.(10 分)已知 a1 =2,点 (an , an+1 ) 在函数

f ( x)=x + 2x 的图象上,其中 n =1,2,3,…. (1)证明数列 {lg(1+an )} 是等比数列;
2

(2)求 ?an ? 的通项公式.

20.(10 分)容积为 a L( a ? 1)的容器盛满酒精后倒 出 1 L,然后加满水,混合溶液后再倒出 1 L,又用水 加满,如此继续下去,问第 n 次操作后溶液的浓度是 多少?若 a =2,至少应倒出几次后才可以使酒精浓 度低于 10%?

2.4
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 三、解答题 15. 12. 1 2

等比数列(人教 A 版必修 5)答题纸
得分: 3 4 5 6 7 8 9 10

13.

14.

16.

17.

18.

19.

20.

2.4
一、选择题 1.A
2 解析:设 bn = an ,则

等比数列(人教 A 版必修 5)答案
2

?a ? a 2? bn?1 = n21 = ? n?1 ? = q 2 ,∴ an bn ? an ?

?bn ? 为等比数列;

2an?1 ? 2an?1 ?an ≠常数; 2an

当 an ? 0 时, lg an 无意义;设 cn=nan ,则 2.D 3.B 4.D 5.C 6.A 解析:∵ q 2 =

cn?1 (n ? 1)an?1 n ?1 = = ? q ≠常数. nan cn n

a6 ? a7 =2,∴ a8+a9=(a6+a7 )q 2=20q 2=40 . a4 ? a5

解析:由题意得 a5a6=9 ,∴ a1a10=a2 a9=a3a8=a4a7=a5a6=9 ,∴ a1a2 ?a10=95=310 . 解析:∵ a3a5a7 a9 a11=a15q30=243 ,∴
2 5 a 2 q16 a9 = 1 10 = a1q6 = 243=3. a11 a1q

2 解析: a3a11=a7=4a7 , a7 ≠0, a7 =4, b7 =4.∵ 数列 ?bn ? 为等差数列, b5+b9=2b7=8 . ∵ 又 ∴ ∴ ∴

?a7 a11 ? a4 a14 ? 6, ?a4 ? 3, ?a4 ? 2, 解析:由题意得 ? 解得 ? 或? ?a14 ? 2 ?a14 ? 3. ?a4 ? a14 ? 5,
a6 a4 3 ? ? . a16 a14 2

又∵ an ? an+1 ,∴ a4=3 , a14=2 .∴ 7.C

1 解析:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,∵ a1 , a3 , 2a2 成等差数列,∴ a3=a1+2a2 ,∴ 2

a1q 2=a1+2a1q ,
∴ q -2q-1=0,∴ q =1± 2.∵ 各项都是正数,∴ q ? 0 ,∴ q =1+ 2,
2

∴ 8.A

a9 ? a10 2 = q 2 =(1+ 2) =3+2 2. a7 ? a8
解析:设等差数列的首项为 a1 ,公差为 d ,
an a p a p ? an ? a1 ? ( p ? 1)d ? ? ? a1 ? (n ? 1)d ? p ? n n ? p = . ? ? ? ? ak an an ? ak ? a1 ? (n ? 1)d ? ? ? a1 ? (k ? 1)d ? n ? k k ? n

则q? 9.D

解析:由根与系数的关系,得 a5 a95 =16,由等比中项可得 a5 a95 = (a50 ) 2 =16,故 a50 =±4,
3

则 a20 a50 a80 = (a50 )3 =(±4) =±64. 10.D 解析: P = log0.5 a5a7 = log0.5 a3a9 , Q = log 0.5

a3 ? a9 . 2

∵ q ? 1 ,∴ a3 ? a9 ,∴

a3 ? a9 > a3 a9 . 2

又∵ y=log0.5 x 在(0,+∞)上单调递减, ∴ log 0.5

a3 ? a9 < log0.5 a3a9 ,即 Q ? P .故选 D. 2

二、填空题 11.27 解析:由题意,得 a1+a2 =1, a3+a4 = (a1+a2 )q 2 =9,∴ q 2 =9.

又 an ? 0 ,∴ q=3 .故 a4+a5=(a3+a4 )q=9 ? 3=27 . 12.-3 解析:

a1 ? a3 ? a5 ? a7 a1 ? a3 ? a5 ? a7 1 = = =-3. a2 ? a4 ? a6 ? a8 a1q ? a3q ? a5q ? a7 q q

13.3 或 27

?2a ? 3 ? b, ?a ? 3, ?a ? 15, 解析:设三数分别为 3, a, b ,则 ? 解得 ? 或? (a ? 6) 2 ? 3b. ?b ? 3 ?b ? 27. ?

∴ 这个未知数为 3 或 27. 14.45 解析: 设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列 ?an ? , a1 =2×2=4, =2, an =4· 2n-1 . 且 则 q
10

令 4· 2n?1 =64×2 ,得 n =15,即复制 15 次,共用 45 s. 三、解答题 15.解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q ,则 an=a1q n-1 .

?1 ? 1 1 ? 1 ? 2 3 ? 由已知得 a1+a1q =2 ? ? ? , a1q +a1q =32 ? ?. 2 a1q 3 ? ? a1q ? a1 a1q ?
?a12 q (q ? 1) ? 2(q ? 1), ?a12 q ? 2, ? ? 化简,得 ? 2 5 即? 2 5 a1 q (q ? 1) ? 32(q ? 1), ?a1 q ? 32. ? ? ?

?a ? 1, 又∵ a1 ? 0 , q ? 0 ,∴ ? 1 ∴ an=2n-1 . q ? 2. ?
?a3 ? a8 ? 124, ? a3 ? ?4, ?a3 ? 128, 16.解:∵ a3a8=a4a7=-512 ,联立 ? 解得 ? 或? ?a3a8 ? ?512. ? a8 ? 128 ?a8 ? ?4.
又公比为整数,∴ a3=-4,a8= ,q=-2 . 128 ∴ a10=a3q7=(-4) ? (-2)7=512 . 17.解:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a3=a4-d= -d,a6=a4+2d= +2d,a10=a4+6d= +6d . 10 10 10
2 由 a3 , a6 , a10 成等比数列,得 a3 a10=a6 ,即 (10-d )(10+6d )=(10+2d )2 .

整理,得 10d 2- d=0 .解得 d =0 或 d =1. 10 当 d =0 时, S20=20a4=200 ; 当 d =1 时, a1=a4-3d= -3 ?1=7 , 10 于是 S20 = 20a1 + 20×19 d =20×7+190=330. 2

18.解:由 a2 =4, a4 =16,得 a1 =2, q =2,∴ an=2n . ∴ lg?an+1+lg?an+2+?+lg?a2n=lg(an+1an+2 ? a2n )=lg 2( n+1)+( n+2)+?+2n=lg 2
2 2 1 1 1) 19.(1)证明:由已知得 an+1=an+2an ,∴ an+1+ =an+2an+ =(an+ 2 .

3 n2 ? n 2



3n2 ? n lg 2. 2

1 1) ∵ a1=2 ,∴ an+1+ =(an+ 2 ? 0 .

∴ lg(1+an+1 )=2lg(1+an ) ,即

lg(1+an+1 ) =2 ,且 lg(1+a1 )=lg 3 . lg(1+an )

∴ {lg(1+an )} 是首项为 lg 3,公比为 2 的等比数列. (2)解:由(1)知, lg(1+an )=2n-1 ? lg 3=lg 32 ,∴ 1+an=32 ,∴ an=32 -1 .
n -1 n -1 n -1

20.解:开始的浓度为 1,操作一次后溶液的浓度是 a1 =1-

1 . a

1? ? 设操作 n 次后溶液的浓度是 an ,则操作 (n+ 次后溶液的浓度是 an+1 = an ?1- ? . 1) a? ?
所以数列 ?an ? 是以 a1 =1-

1 1 为首项, q =1- 为公比的等比数列. a a
n

? 1? 所以 an=a1q n-1=?1 ? ? ? a?

n

? 1? ,即第 n 次操作后溶液的浓度是 ?1 ? ? . ? a?
n

1 ?1? 当 a =2 时,由 an = ? ? ? ,得 n ≥4. ? 2 ? 10
因此,至少应倒 4 次后才可以使酒精浓度低于 10%.


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