高二数学必修5

高二数学（必修 5）不等式测试题
一、选择题： 1、若 a, b, c ? R ，且 a ? b ，则下列不等式一定成立的是 A． a ? c ? b ? c B． ac ? bc （ ）

C．

c2 ?0 a?b

D． (a ? b)c 2 ? 0

2、函数 f ( x) ? A． ( ,?? )

1 2? x

? lg( 2 x ? 1) 的定义域为
B． ( ,2)

（

）

1 2 3、已知 ? 1 ? a ? 0 ，则

1 2

C． ( ,1)

1 2

D． (??,2) （ ）

?1? A． 0.2 ? ? ? ? 2 a ?2?
a

a

?1? B． 2 ? 0.2 ? ? ? ?2?
a a a a

a

?1? C． ? ? ? 0.2 a ? 2 a ?2?
4、不等式

a

?1? D． 2 ? ? ? ? 0.2 a ? 2?
（ C． (??, ? 1] ）

x ?1 ? 2 的解集为 x
B． [?1, ? ?)

A． [?1, 0)

D． (??, ? 1] ? (0, ? ?)

6、已知正数 x、y 满足

8 1 ? ? 1 ，则 x ? 2 y 的最小值是 x y
Ｂ．16 C．8 D．10 ( B．当 x ? 0 ， x ?

（

）

Ａ．18 7、下列命题中正确的是

)

A．当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 lg x C．当 0 ? ? ?

1 x

?2

?
2

， sin ? ?

2 的最小值为 2 2 sin ?

D．当 0 ? x ? 2时, x ?

1 无最大值 x

?x ? 0 ?y ? 0 ? 9、在约束条件 ? 下，当 3 ? x ? 5 时，目标函数 y ? x ? s ? ? ? y ? 2x ? 4
z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 A． [6,15] B． [7,15] C． [6,8]
二、填空题
? 11、设 x , y 满足 x ? 4 y ? 40, 且 x, y ? R , 则 lg x ? lg y 的最大值是

（

） D． [7,8]

。

12 、 已 知 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 1 ≤ x ? y ≤ 4, － 2 ≤ x ? y ≤ 2 。 若 目 标 函 数

z ? ax ? y(a ? 0) 仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为___________.
13、设 a＞0，且 a ? 1，函数 f(x)=alg（x2 －2a+1）有最小值,则不等式 loga(x2－5x+7) ＞0 的解集为___________. 14、某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储 费用为 4 x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x ? _______ 三、解答题 15、已知 a, b 都是正数，并且 a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

16、关于 x 的不等式 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 的解集为空集，求实数 k 的取值范围.
2

17、已知正数 x , y 满足 x ? 2 y

? 1 ,求

1 1 ? 的最小值有如下解法： x y

解：∵ x ? 2 y ∴(

? 1 且 x ? 0, y ? 0 .∴

1 1 1 1 1 ? ? ( ? )(x ? 2 y) ? 2 ? 2 2 xy ? 4 2 x y x y xy

1 1 ? ) min ? 4 2 . 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． x y

19、制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人 打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为 100%和 50%， 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%， 投资人计划投资金额不超过 10 万元， 要求确保可能的 资金亏损不超过 1.8 万元， 问投资人对甲、 乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利 最大？

18、已知函数 f ( x) ? ax2 ? a 2 x ? 2b ? a 3 ，当 x ? (??， ? 2) ? (6， ? ?) 时， f ( x) ? 0 ； 当 x ? (?2， ①求 a、 b 的值； ②设 F ( x) ? ? 6) 时，f ( x) ? 0 。 则当 k 取何值时, 函数 F(x)的值恒为负数?

k f ( x) ? 4(k ? 1) x ? 2(6k ? 1) ， 4

20、某公司按现有能力，每月收入为 70 万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后 因竞争加剧收入将逐月减少． 分析测算得入世第一个月收入将减少 3 万元， 以后逐月多减少 2 万元，如果进行改革，即投入技术改造 300 万元，且入世后每月再投入 1 万元进行员工培 训， 则测算得自入世后第一个月起累计收入 Tn 与时间 n （以月为单位） 的关系为 Tn = an ? b ， 且入世第一个月时收入将为 90 万元，第二个月时累计收入为 170 万元，问入世后经过几个 月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．

高二数学（必修 5）不等式参考答案
参考答案：1——10 11、 2

DBAAA
12、

ABACA
13、 （2，3） 14、 20
a

(1，+∞)

?1? ?1? 3、若 a<0，则 y ? x 在 (0,??) 上为减函数，∵ 2 ? ? ? ? 0.2 ，∴ 0.2 a ? ? ? ? 2 a ?2? ?2?
n

6、 解法一： （利用均值不等式）x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y ) ? 10 ?

8 x

1 y

x 16 y x 16 y ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , y x y x

?8 1 ?x ? y ?1 ? 即 x ? 12, y ? 3 时“=”号成立，故此函数最小值是 18。 ? x 16 y ? ? ?y x ?

解法二： （消元法）由

x 8 1 x ，由 y ? 0? ? 0 又x? 0? x ? 8 则 ? ?1得 y ? x ?8 x ?8 x y

16 2x 2( x ? 8) ? 16 16 16 ? x? ? x?2? ? ( x ? 8) ? ? 10 ? 2 ( x ? 8) ? ? 10 ? 18 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 16 当且仅当 x ? 8 ? 即 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立，故此函数最小值是 18。 x ?8
x ? 2y ? x ?
8、由面积公式可知 ab ? ch ，则 a 4 ? b 4 ? (c 4 ? h 4 ) ＝ (a 2 ? b 2 ) 2 ? (c 2 ? h 2 ) 2 ＝ (a 2 ? b 2 ? c 2 ? h 2 )(a 2 ? b 2 ? c 2 ? h 2 ) ＝ ? d 2 (a 2 ? b 2 ? c 2 ? h 2 ) <0 9、分析：由 ?

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 可得交点为： ?? ? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) ① 当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC， 此时， 7 ? z ? 8
②当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时， z max ? 8 ，故选 D.
2

y
y ? 2x ? 4
x? y?s

O

x
题9

10、因函数 f ( x) ? x ? 4 x 在 x ? [0,1] 上得最小值为－3，故 m ? f min (1) ? ?3 11、由 x ? 4 y ?

x ? 4y ? 20 ，即 xy ? 100 。 2
C

y 4 3 2 1 O -1 -2 1 D 2 3 A x 4 B

故 lg x ? lg y = lg( xy) ? lg100 ? 2 12、分析：由约束条件 1≤ x ? y ≤4,－2≤ x ? y ≤2 在坐标 系中画出可行域，如图为四边形 ABCD，其中 A(3，1)，

k AD ? 1, k AB

? ?1，目标函数 z ? ax ? y （其中 a ? 0 ）

中的 z 表示斜率为－a 的直线系中的截距的大小，若仅 在点 ? 3,1? 处取得最大值，则斜率应小于 k AB ? ?1，即 ?a ? ?1 ， 所以 a 的取值范围为(1，+∞)。 13、由函数 f(x)=alg（x2 －2a+1）有最小值，可知 g ( x) ? x ? 2a ? 1 有最小值，
2
2 而 x ? 0 ，故 g min (0) ? ?2a ? 1 ? 0 ，因此 0 ? a ?

1 。 2

所以求不等式 loga(x2－5x+7) ＞0 解可转化为求 0<x2－5x+7<1 的解。

400 次，运费为 4 万 x 400 ? 4 ? 4 x 万元， 元/次，一年的总存储费用为 4 x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为 x 400 1600 ? 4 ? 4 x ≥160，当 ? 4 x 即 x ? 20 吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。 x x
14、该公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，则需要购买 15、证明：(a5 + b5 ) ? (a2b3 + a3b2) = ( a5 ? a3b2) + (b5 ? a2b3 )

= a3 (a2 ? b2 ) ? b3 (a2 ? b2) = (a2 ? b2 ) (a3 ? b3) = (a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) ∵a, b 都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0 又∵a ? b，∴(a ? b)2 > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 ∴(a + b)(a ? b)2(a2 + ab + b2) > 0

16、分析:本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法.关键是对 x 前系数分类讨论. 解:(1)当 k ? 0 时，原不等式化为 8<0，显然符合题意。 (2)当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足：

2

?k ? 0 ? 2 ?? ? (6k ) ? 4 ? k (8 ? k ) ? 0
综合(1)(2)得 k 的取值范围为 ?0,1? 。

解得 0 ? k ? 1

17、解：错误. ∵

1 1 1 ? ?2 x y xy

① 等号当且仅当 x ? y 时成立，又∵ x ? 2 y ?

2xy

②

等号当且仅当 x ? 2 y 时成立，而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法：∵ x ? 2 y ? 1 且 x ? 0, y ? 0 . ∴

1 1 1 1 2y x 2y x ? ? ( ? )(x ? 2 y) ? 3 ? ? ? 3? 2 ? ? 3? 2 2 ， x y x y x y x y

?x ? 2 ? 1 2y x ? ? ，即 x ? 2 y ，又 x ? 2 y ? 1 ，∴这时 ? 当且仅当 2? 2 x y ?y ? 2 ?
∴ (

1 1 ? ) min ? 3 ? 2 2 ． x y

18、解：设分别向甲、乙两项目投资 x 万元，y 万元，由题意知

? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
目标函数 z ? x ? 0.5 y

（0,10）

M（4,6）

O

（6,0）

（10,0） x

作出可行域，作直线 lo : x ? 0.5 y ? 0 ，并作平行于直线 l o 的一组直线 x ? 0.5 y ? z ，

z ? R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距
离最大， 这里 M 点是直线 x ? y ? 10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点， 解方程组 ?

? x ? y ? 10 ?0.3 ? 0.1y ? 1.8

解得 x=4,y=6，此时 z=1×4+0.5×6=7（万元） ∵7>0 ∴当 x=4、y=6 时 z 取得最大值。 答：投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万 元的前提下，使可能的盈利最大。 19、解： （1）先作出符合条件下函数的大致图象，如图所示， 根据图象列出关于函数解析式的参数 a，b 的关系式。
∵

f ( x) ? ax2 ? a 2 x ? 2b ? a 3

又 x ∈（－2，6）， f ( x ) ＞0； x ∈（－∞，－2）∪（6，+∞）， f ( x ) ＜0。 ∴－2 和 6 是方程 ax ? a x ? 2b ? a ? 0 的两根。
2 2 3

?? 2 ? 6 ? ?a ? 故? 2b ? a 3 ? 2 ? 6 ? ? a ?
此时，

解得

?a ? ?4 ? ?b ? ?8

f ( x) ? ?4x 2 ? 16x ? 48

∴欲使 f ( x ) ＜0 恒成立，只要使 kx ? 4 x ? 2 ? 0 恒成立，则须要满足：
2

①当 k ? 0 时，原不等式化为 4 x ? 2 ? 0 ，显然不合题意，舍去。 ②当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为 x ? R ，则必须满足：

?k ? 0 ? 2 ?? ? 4 ? 4k ? (?2) ? 0

解得 k ? ?2

综合①②得 k 的取值范围为 (??,?2) 。 20、解：入世改革后经过 n 个月的纯收入为 Tn ? 300 ? n 万元 不改革时的纯收入为 70 n ? [3n ? n(n ? 1) ? 2]
2

又?

?90 ? a ? b ?170 ? 2a ? b

?a ? 80 ?? ?b ? 10

由题意建立不等式 80n ? 10 ? 300? n ? 70n ? 3n ? (n ? 1)n 即 n ? 11n ? 290 ? 0得n ? 12.2
2

?n? N

故取 n ? 13

答：经过 13 个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．