高中数学双曲线和抛物线的总结及例题精讲学生版


双曲线
项目 第一定义 内容 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之差等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫双曲线。

图形

标准方程 范围 顶点与实 虚轴的长

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? o) a 2 b2 | x |? a, y ? R
A1 (?a,0), A2 (a,0), 实轴长 ? 2a 虚轴长 ? 2b, a ? b叫等轴双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a, b ? o) a 2 b2 x ? R,| y |? a
A1 (0, ?a), A2 (0, a), 实轴长 ? 2a 虚轴长 ? 2b, a ? b叫等轴双曲线

几 何 性 质

焦点焦距 渐近线方 程 离心率 对称性 焦点三角 形 项目 定义

F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1 F2 |? 2c(其中c ? a ? b )
2 2 2

F1 (0, ?c), F2 (0, c) | F1 F2 |? 2c(其中c 2 ? a 2 ? b2 )

b y?? x a
e?

a y?? x b

c (e ? 1) ( e 越小,双曲线开口越小),等轴双曲线的 e ? 2 a 双曲线都是关于 x, y 轴成轴对称,关于原点成中心对称

双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形,解题中常用余弦定理和勾股定理来 进行相关的计算 内容 平面内到定点 F 的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。

图形

标准方程 开口方向 焦准距 顶点坐标 焦点坐标 准线方程 对称轴 离心率

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

x2 ? 2 py ( p ? 0)

x2 ? ?2 py ( p ? 0)

向右

向左
p( p ? 0)

向上 坐标原点(0,0)

向下

p F ( ,0) 2
l:x??
x轴

F (?

p ,0) 2

p F (0, ) 2
l:y?? p 2

p F (0, ? ) 2

p 2

l:x?
x轴

p 2

l:y?

p 2

y轴

y轴

e ?1

直线与双曲线的位置关系:与双曲线有两个公共点、与双曲线只有一个公共点、与双曲线没有公共点 直线与双曲线的位置关系的判断: 设直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) , 双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,把直线方程代入双曲线 a2 b2

方程中,整理得: (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? 2kma2 x ? a 2 (m2 ? b2 ) ? 0 (1)直线与双曲线相交:

a . 若 b2 ? a2 k 2 ? 0 ,则方程为一次方程,直线与双曲线只有一个公共点,这时直线与渐近线平行;
b .若 b2 ? a2 k 2 ? 0 且 ? ? 0 ,方程有两个不等实根,则直线与双曲线有两个公共点;
(2)直线与双曲线相切
2 2 2 若 b ? a k ? 0 且 ? ? 0 ,方程有两个相等的实根,这时直线与双曲线只有一个公共点;

(3)直线与双曲线相离 若 b ? a k ? 0 且 ? ? 0 ,方程没有实数根,则直线与双曲线没有公共点.
2 2 2

直线与抛物线的位置关系也类似 弦长与中点弦问题

双曲线高考文科真题
一、选择题

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 ( 1.(2007 宁夏海南文 2)双曲线 10 2 (A)3 2 (B)4 2 (C)3 3

) (D)4 3

3.(2009 海南宁夏 4)双曲线 (A) 2 3

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
(C) 3 (D)1



(B)2

4.(2009 安徽理 3)下列曲线中离心率为 (A)

6 的是( 2

)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ?1 2 4 4 2

(C)

x2 y2 ? ?1 4 6

(D)

x2 y2 ? ?1 4 10

5.(2009 浙江文 6)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,BF⊥x 轴, 直线 a 2 b2
) (D)

AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

1 3

1 2

6.(2009 天津文 4)设双曲线 为 ( )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a2 b2
(C) y ? ?

(A) y ? ? 2 x

(B) y ? ?2 x

2 x 2

(D) y ? ?

1 x 2

7.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线可 能是( ) y o y o y o y o

x

x

x

x D

A

B

C

8.(2009 福建文 4)若双曲线 A.2

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32 3 B. 3 C. D.1 2



二、填空题 9.(2008 山东文 13)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0. 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶 点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 .[

10.(2009 上海春文 7)过点 A( 4, ? 1 ) 和双曲线

x2 y2 ? ? 1 右焦点的直线为 9 16

.

11.(2007 宁夏海南 13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率 为 .

12.(2009 辽宁 16)已知 F 是双曲线 则|PF|+|PA|的最小值为

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点, 4 12



三、解答题

x2 y2 4 ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程. 13.已知双曲线与椭圆 ? 3 49 24

x2 ? y 2 ? 1, P 是双曲线上一点. 14.(2008 上海 18)已知双曲线 4
(1)求证 P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值;(6 分) (2)已知点 A(3,0) ,求 PA 的最小值. (9 分)

抛物线高考文科真题
一、选择题 1.(2007 宁夏海南文 7)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 、 P 3 ( x3 , y3 ) 在抛物线上, 且 2 x2 ? x1 ? x3 ,则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 D. FP 2 ? FP 1 ? FP 3
2 2 2 2

2.(2009 山东文 10)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,
2

若 ?OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( (A) y ? ?4
2


2

(B) y ? ?8x
2

(C) y ? 4 x
2

(D) y ? 8x

二、填空题 3.(2007 广东文 11)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O,且过点 P(2,4), 则该抛物线的方程是 .

4.(2008 上海文 6)若直线 ax ? y _ 1 ? 0 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,则 a=

.

5.(2009 上海春 5)抛物线 y 2 ? x 的准线方程是

.

6.(2009福建13)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点, 线段AB的长为8,则 p ? .

? 2 7.(2009 上海文 9)过点 A(1,0)作倾斜角为 4 的直线,与抛物线 y ? 2 x 交于 M 、N 两点,


MN =



8.(2009 海南宁夏文 14)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,直 线 y ? x 与抛物线 C 交于 A,B 9. 10.两点,若 P(2,2) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 .

三、解答题 10.(2009浙江文22)已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点A(m,4)到其焦点的距离为
2

17 .求p与m的值。 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 a 2 b2 10 C 的右顶点为 B ,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 3 (I)求椭圆 C 的方程;
11.(2009 福建文 22) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

高考真题
1.【2012 高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的 准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(
( A)


(D) ?

2

( B) 2 2

(C ) ?

2. 【 2012 高 考 山 东 文 11 】 已 知 双 曲 线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 2. 若 抛 物 线 a 2 b2

C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为

(A) x 2 ?

8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(C) x2 ? 8 y

(D) x2 ? 16 y

3. 【 2012 高考全国文 10 】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ?
(A)
1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

4.(2011 年高考湖南卷文科 6)设双曲线 则 a 的值为( A.4 B.3 ) C.2 D.1

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, a2 9

5.【2012 高考辽宁文 15】已知双曲线 x2

?

y2 =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,

若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.

6.【2012 高考江苏 8】 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线 则 m 的值为 .

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 , m m ?4


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