吉林省舒兰市第一中学高中数学 2.3.3空间中的角导学案 新人教A版必修2


第二章

2.3.3 空间中的角

【学习目标】 掌握空间中的三种角的概念及范围; 能够在已知图形中找出或者做出所求角,并能在三角形中进行计算. 【学习重点】 空间中的角度的计算 【知识链接】 1. 异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线 2.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 【基础知识】

图1 1.如图 1,已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O 作直线 a ? ∥ a , b ? ∥ b ,把 a ? 与 b ? 所成的锐角(或直 角)叫做异面直线 a , b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记 作a ? b. 反思: 思考下列问题. (1)作异面直线夹角时 ,夹角的大小与点 O 的位置有关吗?点 O 的位置怎样取才比较简便? (2)异面直线所成的角的范围是多少? (3)两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗? (4)异面直 线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想? (5)异面直线的判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线. 2. 直线 PA 和平面 ? 相交但不垂直, PA 叫做平面的斜线, PA 和平面的交点 A 叫斜足; PO ? ? , AO 叫 做斜线 PA 在平面 ? 上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫这条直线和平面所成的 角. P

?

A

O

直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线 和平面平行或在平面内,则它们所成的角是 0 °角. 反思:求直线与平面所成的角关键是:在斜线上选出一特殊点,做出其在平面内的射影. 确定点的射影位置的方法有 ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面内的射影上 ②一个点到一个角的两边距离相等,则这个点的射影在这个角的角平分线上(射影在角分线定理) ③若两个面垂直,则一个面上的点在另一面上的射影必在两个平面的交线上. ④面面垂直的性质定理. 3.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面 角的面.图 1 中的二面角可记作:二面角 ? ? AB ? ? 或 ? ? l ? ? 或 P ? AB ? Q .

l

图1 图2 如图 2,在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平面 ? 和 ? 内分别作垂直于棱 l 的射

线 OA, OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角. 平面角是直角的二面角叫直二面角. 反思:⑴两个平面相交 ,构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系? ⑵你觉的二面角的大小范围是多少? ⑶二面角平面角的大小和 O 点的选择有关吗?除了以上的作法,二面角的平面角还能怎么作? 小结:求二面角的关键是作出二面角的平面角. 二面角的平面 角的一个常用作法: 如图过平面 ? 内一点 A , 作 AB ? ? 于点 B , 再作 BO ? l 于 O , 连接 OA , 则 ?AOB 即为所求平面角.(为什么?)

【例题讲解】 例 1 如图,在正方体中,求下列异面直 线所成的角.⑴ BA? 和 CC ? ⑵ B?D? 和 C ?A (1) 45
0

(2) 90

0

例 2 如图,在正方体中,求直线 A?B 和平面 A?B ?CD 所成的角. 30

0

D? A? D
A B

C?

B?

C

变式训练 1: 0 如图,在 Rt ?BMC 中,斜边 BM ? 5 ,其射影 AB ? 4 , ?MBC ? 60 ° ?MCB ? 90 ,求 MC 与平面 CAB 所 成角的正弦值.(

2 3 ) 5

例3

在三棱锥 P-ABC 中,PA ? 底面 ABC,PA=AB, ? ABC= 60 , ? BCA= 90 ,点 D、E 分别在棱 PB 、PC 上,
0 0

且 DE//BC.

(1) 求证:BC ? 底面 PAC; (2) 当 D 是 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值;

2 4

(3) 是否存在点 E 使得二面角 A-DE-P 为直二面角?并说明理由.(存在, AE ? PC )

【达标检测】 1. 以下四个命题,正确的是( D ). A.两个平面所成的二面角只有一个 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角 C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一 个 D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置 无关 2. 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,过 A, C , D 的平面与过 D, B1 , B 的 平面的位置关系是( C ). A.相交不垂直 B.相交成 60°角 C.互相垂直 D.互相平行 3. 二面角的大小范围是 [00, 1800 ] . 4. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线在平面内的的射影垂直,则它和这条斜线垂直 (三垂线定理). 5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它和这条斜线在平面内的的射影垂直 (三垂线定理的 逆定理) 6. 两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线的位置关系是 相交、平行或异面 . 7. 棱长都相等的正三棱柱 ABC-A1B1C1, D 是 BB1 的中点, , 求面 A1DC 与面 A1B1C1 所成的锐二面角的大小为 45 . 8.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是个矩形, AB ? 2, BC ? 2 ,侧 面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB 垂 直于底面 ABCD .⑴证明:侧面 PAB ? 侧面 PBC ; P 0 ⑵求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角.( 45 )
0

A B
C

D

9.在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, AD=AC=1, O 为 AC 的中点, PO ? 平面 ABCD,PO=2, ? ADC= 45 ,
0

M 为 PD 的中点. (1)求证:PB//平面 ACM;(2)证明 AD ? 平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.(

4 5 ) 5

【问题与收获】


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