向量的数乘 学案 高中数学 必修四 苏教版 Word版


2.2.3 乘 向量的数 学习目标 1.能记住数乘向量的运算及其几何意义. 2.能说出两个向量共线的含义,学会共线定 理. 3. 能记住向量线性运算的性质及其几何意义. 重点难点 重点:数乘向量的运算及其几何意义. 难点:两向量共线的含义及共线定理. 易错点:两向量共线的含义. 1.向量数乘的定义 一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,它的长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a|; (2)当 λ>0 时,λa 与 a 的方向相同;当 λ<0 时,λa 与 a 的方向相反;当 a=0 时,λa =0;当 λ=0 时,λa=0. 实数 λ 与向量 a 相乘,叫做向量的数乘. 预习交流 1 你能说一下向量-3a 的几何意义吗? 提示:向量-3a 的几何意义:表示向量 a 的有向线段在其相反方向上伸长为原来的 3 倍. 2.向量数乘的运算律 (1)λ(μ a)=(λμ)a; (2)(λ+μ)a=λa+μa; (3)λ(a+b)=λa+λb. 向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算. 预习交流 2 运用向量的运算律应注意哪些问题? 提示:(1)运算律的记法:向量数乘的运算律可以类比实数乘法或整式乘法的结合律与 分配律学习. (2)运算的误区:结合律要注意 λ,μ 均为实数,不可以是向量. (3)运算律的应用:对以上恒等式不仅能正用,还要能逆用,从而灵活进行向量的线性 运算. 3.向量共线定理 如果有一个实数 λ,使 b=λa,那么 b 与 a 是共线向量;反之,如果 b 与 a(a≠0)是共线 向量,那么有且只有一个实数 λ,使得 b=λa. 预习交流 3 → → → (1)若OA=e1-e2,OB=3e1+e2,OC=λe1+5e2,则当 A,B,C 三点共线时,实数 λ= ________. (2)判断下列各题中的向量是否共线: 2 1 ①a=4e1- e2,b=e1- e2,且 e1,e2 不共线; 5 10 ②a=e1+e2,b=2e1-2e2,且 e1,e2 共线. 提示:(1)7 (2)①由 a=4b,且 e1,e2 不共线,可知 a 与 b 共线. ②当 e1,e2 中至少有一个为零向量时,显然 b 与 a 共线. 当 e1,e2 均不为零向量时,设 e1=λe2, ∴a=(1+λ)e2,b=(2λ-2)e2. 2λ-2 当 λ=-1 时,a=0,显然 b 与 a 共线.当 λ≠-1 时,b= a, 1+λ ∴b 与 a 共线. 一、向量数乘的基本运算 计算: (1)8(2a-b+c)-6(a-2b+c)-2(2a+c); 1 1 ?2a+8b?-?4a-2b??; (2) ? ? 3?2 (3)(m+n)(a-b)-(m+n)(a+b). 思路分析:解答本题应先去括号再化简. 解:(1)原式=16a-8b+8c-6a+12b-6c-4a-2c =(16-6-4)a+(-8+12)b+(8-6-2)c =6a+4b. 1 (2)原式= [(a+4b)-(4a-2b)] 3 1 = (-3a+6b)=2b-a. 3 (3)原式=(m+n)a-(m+n)b-(m+n)a-(m+n)b =-2(m+n)b. 1.下列命题中,正确的个数为__________. ①(-5)· 6a=-30a; ②7(a+b)-6a=7a+b; ③(a-5b)+(a+5b)=2a; ④(a+b)-(a-b)=2b. 答案:3 解析:①③④正确. ∵7(a+b)-6a=a+7b,∴②不正确. ?2x-y=a, 2.设

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