2014年高考立体几何专题分析及2015年复习策略


2014 年高考立体几何专题分析及 2015 年复习策略
湖北省兴山县一中 万忠国

2014 年考试大纲介绍
Ⅰ、考试性质 普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业和具有同等学力的考生参加的选拔 性考试。高等学校根据考生成绩,按已确定的招生计划,德、智、体全面衡量,择优录取。 高考应具有较高的信度、效度,必要的区分度和适当的难度. Ⅱ、命题指导思想 1. 数学科(湖北卷)命题以中华人民共和国教育部 2003 年颁布的《普通高中数学课 程标准(实验) 》 、 《2012 普通高等学校招生全国统一考试大纲(课程标准实验版) 》和本考 试说明为依据. 2.命题遵循“有助于高校选拔人才,有助于中学实施素质教育,有助于推动高中数学 新课程改革”的原则,确保安全、公平、公正、科学、规范. 3.命题体现新课程理念,注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想方法, 考查考生对数学本质的理解水平和应用数学知识分析问题解决问题的能力. 试题在源于教材 的同时又具有一定的创新性、探究性和开放性,既考查考生的共同基础,又考查考生的学习 潜能,以满足选拔不同层次考生的需求. Ⅲ、考核目标与要求 一、知识要求 对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握三个层次. 分别用 A,B,C 表示. (1)了解(A) 要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照一定的 程序和步骤照样模仿,并能解决相关的简单问题. (2)理解(B) 要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识的逻辑关系,能够对所列知识作正 确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨 论,并加以解决. (3)掌握(C) 要求系统地掌握知识的内在联系,能够利用所学知识对具有一定综合性的问题进行分 析、研究、讨论,并加以解决. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识. (1)空间想象能力 能根据条件作出正确的图形, 根据图形想象出直观形象; 能正确地分析出图形中的基本元素 及其相互关系; 能对图形进行分解、 组合; 会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质. (2)抽象概括能力 能在对具体的实例抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从足够的信息材料中,概括出 一些合理的结论. (3)推理论证能力 会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性. (4)运算求解能力

会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理,能根据问题的条件寻找和设计合理、 简捷的运算途径,能根据要求对数据进行估计和近似运算. (5)数据处理能力 会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出判断. 数 据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题. (6)应用意识 能够运用所学的数学知识、思想和方法,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解 决. (7)创新意识 能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题. 三、考查要求 (1) 对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,注重学科的内在联系和知识的综 合.突出试题的基础性、综合性和层次性,合理调控综合交汇程度,坚持多角度、多层次考 查. (2) 对数学思想和方法的考查,与数学知识融合,从学科整体意义和价值上立意,注 重通性通法,淡化特殊技巧. (3) 对数学能力的考查,以抽象概括能力和推理论证能力为核心,全面考查各种能 力. 注重问题的多样性,体现思维的严谨性、抽象性和发散性. 具体内容及层次要求详见下表. 柱、锥、台、球及其简单组合体 简单空间图形的三视图 用斜二侧法画简单空间图形的直观图 柱、锥、台、球的表面积和体积 空间直线、平面的位置关系 公理 1、公理 2、公理 3、公理 4、定 理? 空间直线、平面平行或垂直的判定 空间直线、平面平行或垂直的性质 证明直线、平面位置关系的简单命题 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 空间向量的概念 空间向量基本定理 空间向量的正交分解及其坐标表示 空间向量的线性运算及其坐标表示 空间向量的数量积及其坐标表示 运用向量的数量积判断向量的共线与 垂直 空间直线的方向向量 空间平面的法向量 用向量方法计算直线与直线、直线与 平面、平面与平面的夹角 用向量方法证明直线、平面位置关系 的简单命题 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

空间几何体 立体几何 初步

点、直线、 平面间的位 置关系 空间直角坐 标系

空间向量及 其运算(仅限 空 间 向 量 理科) 与立体几 何 空间向量的 应用(仅限理 科)

2014 年考纲调整: 1、立体几何初步中,点、直线、平面间位置关系的考查内容, “空间图形的公理和定

理”调整为“公理 1、2、3、4 和定理” 。 2、立体几何初步中,点、直线、平面间位置关系的考查内容,新增“异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角的概念”的“了解” 。 湖北近三年高考立体几何题比较

考 点
1. 三视图的 辨别、应 用、计算 2. 求几何体 的 表 面 积、体积

2012 年高考
(理 2 小 1 大 22 分
文 1 小 1 大 17 分)

2013 年湖北高考 2014 年湖北高考
(理科 1 小 1 大 17 分 文科 1 小 1 大/18 分) (理科 2 小 1 大 22 分 文科 2 小 1 大 23 分)

理 4(小题)
求几何体的体积

理科 8(小题)
求几何体的体积

文 7/理 5(同题目) (小题)
作三视图 评析:试题对读图、作图、试图 能力提出了更高的要求,从而更深层 次地考查了空间想象能力。

文 15(小题)
求几何体的体积

理 10(小题)
《九章算术》中“开立 圆术” 考察球的体积公式以及 估算

文 16(小题)
《数书九章》 中 “天 池盆测雨” 。 求体积

文 10/理 8(同题目) (小题)
体积公式( 《算数书》 上记载的圆锥的 近似体积公式为背景) 评析:考查圆锥的体积等基础知 识,考查运算能力、应用意识、重新 意识;考查函数与方程思想、化工与 转化思想、数形结合思想。

文 19(Ⅱ )
求体积

文 20(大题)
求体积

理科 19(1)
求体积的最大值 3. 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直

文 19(Ⅰ)
证明线面平行

理科 19(大题) 文 20/理 19(同题) (大题)
证明线面平行 文 20/线面平行证明、线面垂直证明 理 19/ 线面平行证明、面面垂直 ( 探 索) 评析:本题主要考查线面平行、 面面垂直等基础知识, 考查推理能力、 运算求解能力。

4. 线线角 线面角 二面角 5. 空间向量 6. 探索问题

理科 19(Ⅱ)
探索线面角成立的条件

理科 19 题(2)
证明线线角、线面 角、二面角的关系

理科 19(2)
探索二面角成立的条件 评析:此问题也可以看成求二面 角

理科 19(Ⅱ)
(可用向量法)

理科 19(2)
(可用向量法)

理科 19(Ⅱ)
探索线面角成立的体积

理科 19(2)
评析: 第(2)问的探究过程中,解 题经验告诉我们,当λ=1,时,平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角达到 最大,且可感知其为钝角。因此存在 满足题意的λ存在,但是依然需要进 行严格的演绎推理,从感性认识上升 到理性认识。因此此题引导我们重新 审视理性精神的教育价值。

2014 年全国高考立体几何试题选填题分类比较 类型 省份名称
1 空间几 何体的结 构 (2 省) 2 空间 几何体的 三视图和 直观图 (12 省) 20[2014·安徽卷] 8.[2014·湖北卷]

考点
画三视图

7.[2014·安徽卷] 2.[2014·福建卷] 5.[2014·湖北卷] 7.[2014·湖南卷] 5.[2014·江西卷] 7. 、[2014·辽宁卷] 3.[2014·浙江卷] 6.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 6.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 10.[2014·天津卷] 7.[2014·重庆卷] 13.[2014·山东卷] 7. 、[2014·湖南卷] 8. 、[2014·全国卷] 5.[2014·陕西卷] 4.[2014·辽宁卷] 11.[2014·新课标全国卷Ⅱ]

求表面积 求体积

3 多面 体与球 (4 省) 4 选填题 其他类型

求表面积 求体积

线线关系 线线角

2014 年全国高考立体几何试题选填题分类比较
考点 线线平行 证明平行 线面平行 省份 17. 、[2014·北京卷] (1) 18.[2014·新课标全国卷Ⅱ(1) 19.[2014·湖北卷] (1) 17.[2014·山东卷](1) 18.[2014·广东卷] (1) 8.[2014·新课标全国卷Ⅱ](1) 17.[2014·福建卷](1) 17.[2014·福建卷](1) 19.[2014·辽宁卷] (1) 19.[2014·湖南卷] (1) 20.[2014·浙江卷] (1) 19.[2014·湖北卷] (2) (探究条件) 18. 、[2014·广东卷] (1) 19.[2014·江西卷] (1) 17.[2014·天津卷] (1) 个 数

2 4

面面平行 线线垂直 证明垂直 线面垂直 面面垂直

6

2 1

线线角 线面角 17.[2014·北京卷] (2) 17.[2014·福建卷](2) 17.[2014·陕西卷](2) 17.[2014·天津卷] (2) 17. [2014· 福建卷] (2) 20.[2014·安徽卷] (3) 18. [2014· 广东卷](2) 19. [2014· 辽宁卷](2) 20.[2014·浙江卷] (2) 18.[2014·四川卷] (1) 20.[2014·安徽卷] (1) 18.[2014·四川卷] (1) 20.[2014·安徽卷] (1) 17.[2014·陕西卷](1)证明矩形 求线段长 求体积 计算 19.[2014·重庆卷](1) 17.[2014·北京卷] (2) 20.[2014·安徽卷] (1) 18.[2014·新课标全国卷Ⅱ(2) 19.[2014·江西卷] (2) (探究条件) 8. 、[2014·新课标全国卷Ⅱ](2) 20.[2014·安徽卷] (2) (求体积比) 18.[2014·四川卷] 17.[2014·陕西卷]

4

求角 二面角

18. [2014· 四川卷](2) 10 17.[2014·山东卷](2) 19. [2014· 湖南卷](2) 17. [2014· 天津卷](3) 19.[2014·重庆卷](2)

证明中点

4

其他证明

1 2 5

(大题)三视 图背景

2

2014 年全国高考立体几何中热点问题
纵观 2014 年全国各地的高考试题,对立体几何部分的考查基本上集中在以下几个热点 问题上: 热点一、空间几何体的结构及其三视图、直观图(有 14 省份) 从形式上看,以选择、填空为主,考查形式呈现多样化: 一是几何体三视图的识别与判断;(有 2 省份) 二是简单几何体及组合体的三视图与几何体的表面积、体积计算(有 12 省份) 三是与多面体和球有关的求表面积、体积(有 4 省份) 四是以三视图推断原图为背景,作为解得题的条件应重视(有四川、陕西 2 省) 热点二、直线、平面的位置关系 解得题中第(1)问:(多为容易题) 证明中点问题(有 4 省份) 考查线线、线面、面面平行(有 6 省份) 考查线线、线面垂直的判定和性质。(有 8 省份) 解得题中第(2)问:(难度较大) 考查线面角、二面角的计算(有 14 省份) 考查面面垂直的判定和性质(有 1 省份湖北) 考查体积计算(有 5 省份) 热点三、空间向量在立体几何中的应用

各地高考试题中立体几何的综合题。用向量法来解可以降低难度,并且多数情况下传 统法、向量法都可以解题。

近三年湖北高考立体几何试特点
特点 1:题量、题号、分值相对稳定 近年来高考试题中立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面,均保持相对稳定, 1 大 1 小或 1 大 2 小。 特点 2:考小题,推陈出新 有关立体几何的小题,其考查的重点在于基础知识。 三视图的推断和计算, 以数学史为背景的体积公式的应用及计算,三年分别为球的体积、圆台的体积、圆锥 的体积, 有关数学史问题在全国考题中是一个亮点, 教材中也要许多关于数学史的问题它向 学生展现了中国古代数学成就,培养学生的民族自豪感,同时也考查了学生阅读理解能力, 也契合了考纲中的几个能力要求: (1)运算求解能力。 “会根据法则、公式进行正确的运算、 变形和数据处理,能根据问题的条件寻找和设计合理、简捷的运算途径,能根据要求对数据 进行估计和近似运算. ”(2)数据处理能力。 “会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽 取对研究问题有用的信息, 并作出判断. 数据处理能力主要依据统计方法对数据进行整理、 分析,并解决给定的实际问题. ”(3)应用意识。 “能够运用所学的数学知识、思想和方法, 将一些简单的实际问题转化为数学问题, 并加以解决. ” 因此湖北省的高考题中关于数学史 的问题应该会保留,考查类型可以涉及到各个方面,但还是与计算有关。 特点 3:考大题,全面考查 文科解答题分两问,考查线面平行或垂直或体积计算,难度较小。应该是学生必得分 的题目。 理科解答题分为两问,第一问考查线面平行或垂直,第二问涉及到与角度有关,并探 索使结论成立的条件, 这也是湖北命题中的一大特色及亮点, 由于探索性问题对于考查学生 的空间想象能力及推理能力要求较高, 一般情况下解答题可以用向量方法解决, 但对学生的 计算能力要求也较高,使得这一问难度增大。 特点 4:文理科试题题目相同。 文 7/理 5(同题目) (小题) ,文 10/理 8(同题目) (小题) ,文 20/理 19(同题) (大题) 。 可以看出小题题目完全相同;解答题题目基本相同,文理第一问完全相同,理科第二问难度 较大为探索性问题。这也体现了向文理不分科逐步过渡的精神。

立体几何复习的几点建议
1.认真研究考试说明、高考试题及教材,把握好复习的方向 即依纲靠本,控制难度,强化通性通法,提高解题能力,重视数学基础知识(基本概念、 公式、定理)、基本技能和数学思想方法。以课本例题、练习题和习题重组为中心,切实抓 好基础题型和常规方法, 提高对数学本质的理解和应用数学知识分析问题、 解决问题的能力。 加强对不熟练的知识和题型的训练。控制好题目的难度,不出偏题、怪题。应注重加强对典 型例题的研究,挖掘题目中的隐含条件,弄清问题所表述的含义,做到对问题的真正理解, 并可尝试改变题目中某些条件,认真比较它们之间的联系与区别,真正做到举一反三。在复 习过程中还应该加强常规思路在解题中的应用。重视答题的规范性,在细节处下功夫。 2. 扎实基础,狠抓规范 基础知识、基本技能、基本方法、基础练习要到位,解题步骤要规范,注重通性通法, 体现“大众化”.从近年立体几何解答题的答题情况来看,学生“会而不对,对而不全”的

问题比较严重,很值得引起我们的重视。因此,在平时的训练中,我们就应当培养学生规范 答题的良好习惯,要使学生在做解答题时作到“一看、二证、三求解”。充分利用好每次模 拟考试后的讲评机会,给学生讲评分标准和答题技巧。 3.加强数学思想的培养 贯穿于立体几何中的化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及立体几何特有的平 移法、模型法、反证法、翻折法、割补法和等积变换法等都极大地丰富了中学数学的思想和 方法. 4.注重方法,加强学法指导 (1)求角的问题时,注意紧扣定义,将空间角(异面直线所成角、线面角、二面角) 转化为平面上两相交直线所成的角来处理, 并可以归纳为: 求角先找角, 三角形中去解决. 若 是当余弦值为负值时,异面直线所成角、线面角应取锐角; (2)线面平行与垂直相关的问题,注意转化的思想方法:面面平行(垂直)转化为线面 平行(垂直),再转化为线线平行(垂直); (3)在求距离时,即求位于有关点集上任两点间的距离的最小值,可转化为求线段的长 度的最小值,而寻求垂足落点的位置是求距离问题的关键.对于距离可归纳为:距离多是垂 线段,放到三角形中去计算,若是垂直难作出,等积等高来转化; (4)在计算体积时,要从多方位、多角度看问题,要注意用“换底法”来求其体积,并注意 “割补法”的运用,而“等体积法”则是求解立体几何问题的特殊方法,用它可求点到平面的距 离,异面直线间的距离,多面体的内切球的半径等。 5.理科注意合理建立坐标系,突出向量方法 向量法把证明与计算都在一定条件下转化为空间向量的计算问题, 使复杂问题程序化、 公式化。 利用空间向量坐标解决立体几何问题的关键是找准位置建立适当的空间直角坐标系 或基底,难点是在坐标系中表示已知点(或向量)的坐标,通过向量的坐标运算,实现几何 问题代数化。向量法和坐标法解决立体几何问题,为立体几何问题的解决建立了新的角度, 是新课标的倡导重点, 向量的知识体系可以从向量法和坐标法中体现出来, 要从整体上加深 理解. 由于高考数学加强了对能力的考查,所以在立体几何的备考过程中,应重视空间想象 能力、逻辑思维能力、化归转化能力的培养,坚持培养识图、用图的能力,做题时应多画、 多看、多想、多算。总之,只有打下坚实的基础才能,才能赢得高考。


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