函数综合


选择题

若函数

的图象如右图所示, 则下列函数图象正确的是

B

本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象.由题意可得 a=3,由基本初等函数 的图象和性质逐个选项验证即可.

选项 A,y=
3

=

单调递减,故错误;

选项 B,y=x ,由幂函数的知识可知正确;

选项 C,y=

,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误;

选项 D,y=loga(-x)=

,当 x=﹣3 时,y=1,

但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误.

选择题

若曲线 y=2

的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则切线 l 的方程为(

).

A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0 C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0

D

设切点坐标为(x0,y0),y′=4x,由题意得 4x0=4,解得 x0=1,y0=2,故切线 l 的方程为 y -2=4(x-1),即 4x-y-2=0.

选择题

函数

的图象大致是(

)

【答案】 C

【解析】 由函数的定义域知 ,排除 A;

又 x<0 时,



,排除 B;

取 x=2,x=4 分别计算知 y=1,

,逐渐减小,故排除 D

选择题

若函数

在点

处连续,则

的值为(



A.10

B.20

C.15

D.25

【答案】C.

【解析】 试题分析:根据函数在 处连续,有等式 然后直接代入即可得到结论. 考点:函数的性质及应用. 成立,即可求出 的值为 4,

选择题

若不等式

对任意的

上恒成立,则

的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D.

【解析】

试题分析:∵

,又∵



,∴



又∵



根据二次函数的相关知识,可知当



时,



综上所述,要使不等式

对于任意的

恒成立,实数

的取值

范围是 . 考点:1.函数求最值;2.恒成立问题的处理方法.

选择题

将函数

的图象向左平移 1 个单位,再将位于 轴下方的图象沿 轴翻折得到函



的图象,若实数 的值是( )

满足



A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】 试题分析:据题意得 ,



.因为



所以

,由



,所以



.

所以

.





(0 舍去),



所以 . 考点:1、图象的变换;2、对数运算;3、方程与不等式.

选择题

已知函数 f(x)满足 2f(x)-f(

)=

,则 f(x)的值域为(

)

A.[2,+∞) C.[3,+∞)

B.[2 ,+∞) D.[4,+∞)

【答案】B

【解析】由 2f(x)-f(

)=



令①式中的 x 变为

可得

2f(

)-f(x)=3x ②

2

由①②可解得 f(x)= +x ,由于 x >0, 因此由基本不等式可得

2

2

f(x)=

+x ≥2
2

2

=2

, ,值域为[2 ,+∞).选 B.

当且仅当 x =

时取等号,因此其最小值为 2

选择题

函数 y=

的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是(

)

B.(-∞,2] A.(-∞,0)∪( ,2] D.(0,+∞) C.(-∞, )∪[2,+∞)

【答案】A

【解析】∵x∈(-∞,1)∪[2,5),y= 数,

在(-∞,1)上为减函数,在[2,5)上也为减函



∈(-∞,0)∪(

,2].

选择题



是定义在 ,且

上的函数,且对任意实数 ,都有 , ,则 的值是







A.2014

B.2015

C.2016

D.2017

【答案】C

【解析】 试题分析: , ,综 上可得 ,所以 考点:放缩法解绝不等式问题。 。故 C 正确。

选择题

设函数



, 为自然对数的底数)。若存在 )

使

成立,则 的取值范围是(

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】 -1 -1 试题分析:由 f(f(b))=b,可得 f(b)=f (b)其中 f (x)是函数 f(x)的反函数 因此命题“存在 b∈[0,1]使 f(f(b))=b 成立”,转化为,“存在 b∈[0,1],使 f -1 -1 (b)=f (b)”,即 y=f(x)的图象与函数 y=f (x)的图象有交点,且交点的横坐标 b -1 ∈[0,1],∵y=f(x)的图象与 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称,∴y=f(x)的图象 -1 与函数 y=f (x)的图象的交点必定在直线 y=x 上,由此可得,y=f(x)的图象与直线 y=x 有交点,且交点横坐标 b∈[0,1],根据 ,化简整理得 e =x -x+a
x 2

记 F(x)=e ,G(x)=x -x+a,在同一坐标系内作出它们的图象,可得

x

2

,即

,解之得 1≤a≤e,即实数 a 的取值范围为[1,e],故选:A

考点:含有根号与指数式的基本初等函数; 基本初等函数的图象与性质、函数的零点存在 性定理和互为反函数的两个函数的图象特征

选择题

已知函数 为 ① ⑤ 中是

的定义域为

,若存在常数

,对任意

,有

,则称

函数.给出下列函数: ; ② ; ③ ; 均有 ④ ; .其

是定义在 R 上的奇函数,且满足对一切实数 函数的序号是( )

A.①②④

B.①②⑤

C.①③④

D.①④⑤

【答案】D

【解析】 试题分析:由函数 ,则称 ①正确;若 数 ,对任意 的定义域为 为 ,若存在常数 ,对任意 使得 ,有 恒成立,所以

函数,因为

,所存在

成立,则 都有

,显然不存在这样的 成立,当

,所以②不正确;若存在常 时不成立,所以③不正

确;

显然存在

,所以④正确;若

是定义在

上的奇函数,且满

足对一切实数 均有 ,令 或 等于零时,即符合要求;综 上所述,可知①④⑤正确,故选 D. 考点:1.新定义的问题;2.不等式恒成立问题;3.函数的最值;4.假命题的证明方法;5. 特值法的思想.

选择题

若函数 ( )



上单调递增,则实数 的取值范围为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

试题分析:根据正切函数的图像与性质可知,



单调递增,而作为一次

函数

要在

为增,则须 即

,要使函数 ,综上可知

在 ,故选 A.

上单调递

增,还须 即 考点:1.分段函数;2.函数的单调性.

选择题

在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线 ,另一种平均价格曲线 时价格为 3 元; 示 ,虚线表示 ,如 表示股票开始买卖后 2 小时的即

表示 2 小时内的平均价格为 3 元.下面给出了四个图像,实线表 ,其中可能正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】 试题分析:法一:刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,故可排除 A、C 选项;开 始交易后,平均价格应该跟随即时价格变动,在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变 化幅度,对于 B 选项中,即时价格不断下降,此时平均价格却保持不变,这是不可能的, 而 D 选项符合,故选 D; 法二:根据已知中,实线表示即时曲线 ,虚线表示平均价格曲线 ,根 据实际中即时价格升高时,平均价格也随之升高,价格降低时平均价格也随之减小的原 则,对四个选项进行分析即可得到结论,因为即时价格与平均价格同增同减,故 A,B,C 均错误,只有 D 符合要求,故选 D. 考点:1.函数的图像;2.函数的综合应用.

选择题

函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象关于直线 对称。据此可推测对任意的非 0 实数 2 a、b、c、m、n、g 关于 x 的方程 m[f(x)] +n f(x)+g=0 的解集不可能是( )

2

A.{1,3}

B.{2,4}

C.{1,2,3,4}

D.{1,2,4,8}

【答案】D

【解析】

试题分析:∵ 的解为

的对称轴为直线 , ,则必有 ,

,令设方程 , 是一条平行于 轴的直线它 的两个解 、 要关于直线

,那么从图象上看, 们与 有交点,由于对称性,则方程

对称,也就是说

,同理方程

的两个解



要关

于直线 对称,那就得到 ;在 C 中,可以找到对称轴直线 , 也就是 1,4 为一个方程的解,2,3 为一个方程的解,所以得到的解的集合可以是{1,2, 3,4},而在 D 中,{1,2,4,8}找不到这样的组合使得对称轴一致,也就是说无论怎么分 组,都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和,故答案 D 不可能.故选 D. 考点定位:二次函数的性质.

选择题

已知函数

是定义在

上的奇函数,当

时,

,若 围为( )



,则实数 的取值范

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

试题分析:当

时, ,

,由 ,所以

是奇函数,可作出 的图像恒在

的 图

图像,如下图所示.又因为 像的下方,即将

的图像往右平移一个单位后恒在

图像的下方,所以

,解得

.故选 B.

考点:函数的奇函数的性质、分段函数、最值及恒成立,难度中等.

选择题

若函数



满足

,则称



在区间

上的一组

正交函数,给出三组函数:① ;③ 其中为区间 的正交函数的组数是( ) .

;②

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】C

【解析】

试题分析:对① 为区间 上的正交函数;

,则



对② 上的正交函数;

,则



不为区间

对③ ,则 、 为区间 所以满足条件的正交函数有 2 组,故选 C. 考点:新定义题型,微积分基本定理的运用,容易题.

上的正交函数.

填空题

已知函数



.若方程

恰有 4 个互异的实数根,

则实数 的取值范围为__________.



本题考查二次函数的图象与性质、函数与方程等知识以及数形结合思想,有一定难度. 显然 .

(ⅰ)当 3 个互异的实数根.



相切时,

,此时

恰有

(ⅱ)当直线

与函数 恰有 2 个互异的实数根.

相切时,

,此时

结合图象可知



.

解 2:显然

,所以

.



,则

.

结合图象可得



.

填空题

已知函数 值范围为_______

若函数

恰有 4 个零点,则实数 的取

(1,2)

本题主要考查函数零点个数的应用,利用数形结合是解决本题的关键,综合性较强,难度 较大.由 y=f(x)﹣a|x|=0 得 f(x)=a|x|, 作出函数 y=f(x),y=a|x|的图象, 当 a≤0,不满足条件, ∴a>0, 当 a=2 时,此时 y=a|x|与 f(x)有三个 交点, 当 a=1 时,此时 y=a|x|与 f(x)有五个 交点, ∴要使函数 y=f(x)﹣a|x|恰有 4 个零点, 则 1<a<2, 故答案为(1,2)

填空题



表示值域为

的函数组成的集合,

表示具有如下性质的函数 的值域包含于区间

组成的集合:对 。例如,当

于函数

,存在一个正数 , 时,

,使得函数 ,

。现有如下命题:

①设函数 ”;

的定义域为

,则“

”的充要条件是“





②若函数

,则

有最大值和最小值;

③若函数



的定义域相同,且



,则



④若函数





)有最大值,则



其中的真命题有____________。(写出所有真命题的序号)。

①③④

本题考查集合的概念、函数及其表示、函数的解析式、函数的函数综合,考查导数的运 算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求最值和极值,考查命题的真假判断、含量词 命题的真假判断、充分条件与必要条件的判断,考查综合利用知识分析问题解决问题的能 力,难题.

对①:若对

,都

,使得 ,都

,则函数 ,使得

的值域必为 R;反之, ,故正确;

的值域必为 R,则对任意的

对②:如函数 对③:正确;

属于 B,但是它既无最大值也无最小值,故错误;

对④:记函数



,由



,由

得,



,所以函数在-1 与 1 处分别取得极小值

与极大值

,又

,而

时,

,所以

的最小值

与最大值



又函数

,当



时,值域都是 R,而本题函数

有最大值,所以 所以④正确.

,所以函数



填空题



表示值域为 R 的函数组成的集合, ,存在一个正数 , 时,

表示具有如下性质的函数 的值域包含于区间

组成的集合:对 .例如,当

于函数

,使得函数 ,

.现有如下命题:

①设函数 ,

的定义域为 ”;

,则“

”的充要条件是“



②函数

的充要条件是

有最大值和最小值;

③若函数 ;



的定义域相同,且



,则

④若函数 其中的真命题有





)有最大值,则



.(写出所有真命题的序号)

①③④

本题考查集合的概念、函数及其表示、函数的解析式、函数的函数综合,考查导数的运 算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求最值和极值,考查命题的真假判断、含量词 命题的真假判断、充分条件与???要条件的判断,考查综合利用知识分析问题解决问题 的能力,难题.

对①:若对

,都

,使得 ,都

,则函数 ,使得

的值域必为 R;反之, ,故正确;

的值域必为 R,则对任意的

对②:如函数 对③:正确;

属于 B,但是它既无最大值也无最小值,故错误;

对④:记函数



,由



,由

得,



,所以函数在-1 与 1 处分别取得极小值

与极大值

,又

,而

时,

,所以

的最小值

与最大值



又函数

,当



时,值域都是 R,而本题函数

有最大值,所以 所以④正确.

,所以函数



填空题

已知函数

是定义在

上的单调增函数,且对于一切实数 x,不等式 恒成立,则实数 b 的取值范围是 .

【答案】

.

【解析】

试题分析:由题意可知有:

恒成立,即为

恒成立,又 以 , ,又

,则

,所

,当

时,

,由上有:

解得:

. 考点:恒成立问题,三角函数的值域,解一元二次不等式.

填空题

已知函数

是定义在

上的单调增函数,且对于一切实数 x,不等式 恒成立,则实数 b 的取值范围是 .

【答案】

.

【解析】

试题分析:由题意可知有:

恒成立,即为

恒成立,又 以 , ,又

,则

,所

,当

时,

,由上有:

解得:

. 考点:恒成立问题,三角函数的值域,解一元二次不等式.

填空题

关于函数,有下面四个结论: ①是奇函数;②恒成立;③的最大值是;④的最小值是. 其中正确结论的是_____________________________________.

【答案】②④.

【解析】

试题分析:①:∵

,∴





是偶函数,①错误;②:∵



,∴

,②正确;③:由②可知,③错误;

④:由①可知,根据对称性,要求



上的最小值,只需求





的最小值即可,而显然



上单调递增,∴

,④正确. 考点:函数的性质综合.

填空题

已知函数 ① 其中能使 ; ② ; ③

,对于任意的 ; ④ . .

,有如下条件:

恒成立的条件序号是

【答案】①④.

【解析】 试题分析:首先原函数可化为 单调递增,则 在 于①,即为 对于④,由于 在 上为增函数,且可知 ,在 , 单调递减,

上为减函数,同理可判断 为偶函数,因此,对 成立, 恒成

立,而对于②与③,不能肯定



是落在定义域的正还是负区间内,所以不能保证使

恒成立,综上所述选择①④. 考点:偶函数满足: ,函数的单调性定义,化归思想.

填空题

已知函数 f(x)=

若 f(f(1))>3a ,则 a 的取值范围是________.

2

【答案】(-1,3)

【解析】由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=3 +6a,若 f(f(1))>3a ,则 9+ 2 2 6a>3a ,即 a -2a-3<0,解得-1<a<3.

2

2

填空题

根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 f(x)=

(A,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用 时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是________.

【答案】60,16

【解析】因为组装第 A 件产品用时 15 分钟,

所以

=15, ①

所以必有 4<A,且 = =30. ② 联立①②解得 c=60,A=16.

填空题

已知函数 f(x)=

,则使 f[f(x)]=2 成立的实数 x 的集合为________.

【答案】[0,1]∪{2}

【解析】当 x∈[0,1]时,f(f(x))=f(2)=2 成立;当 x?[0,1]时,f(f(x))=f(x)=x,要 使 f(f(x))=2 成立,只需 x=2,综上所述,实数 x 的集合为{x|0≤x≤1 或 x=2}.

填空题

设 a>0,函数 f(x)=x+ ,g(x)=x-ln x,若对任意的 x1,x2∈[1,e],都有 f(x1)≥ g(x2)成立,则实数 a 的取值范围为________.

【答案】[

,+∞)

【解析】问题可转化为 f(x)min≥g(x)max,当 x∈[1,e]时,g′(x)=1-

≥0,故 g(x)单

调递增,则 g(x)max=g(e)=e-1.又 f′(x)=1- = ,令 f′(x)=0,得 x= 2 2 a,易知,x=a 是函数 f(x)的极小值,当 0<a≤1 时,f(x)min=f(1)=1+a ,则 1+a ≥e -1,所以 ≤a≤1;当 1<a≤e 时,f(x)min=f(a)=2a,则 2a≥e-1,显然成立,所

以 1<a≤e;当 a>e 时,f(x)min=f(e)=e+ 综上,a≥ .

,则 e+

≥e-1,显然成立,所以 a>e.

填空题

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则 f(-3) =________.

【答案】6

【解析】令 x=y=0? f(0)=0;令 x=y=1? f(2)=2f(1)+2=6;令 x=2,y=1? f(3) =f(2)+f(1)+4=12;再令 x=3,y=-3,得 f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=0? f(-3)=18-f(3)=6.

填空题

对任意实数 a,b,函数 F(a,b)= (a+b-|a-b|),如果函数 f(x)=-x +2x+3,g(x) =x+1,那么函数 G(x)=F(f(x),g(x))的最大值等于________.

2

【答案】3

【解析】由题可知 F(a,b)= (a+b-|a-b|)= ,则在同一坐标系中画出 f(x) 2 =-x +2x+3,g(x)=x+1 的图象,数形结合可知 x=2 时,G(x)max=3.

填空题

已知 y=f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上两个点,则不等式|f(x+ 1)|<1 的解集是________.

【答案】(-1,2)

【解析】|f(x+1)|<1?-1<f(x+1)<1?f(0)<f(x+1)<f(3),又 y=f(x)是 R 上的增函 数,∴0<x+1<3. ∴-1<x<2.

填空题

已知函数 f(x)=ln x+2 ,若 f(x +2)<f(3x),则实数 x 的取值范围是________.

x

2

【答案】(1,2)

【解析】由 f(x)=ln x+2 ,x∈(0,+∞)得 f′(x)= 2 ∞)上单调递增.又 f(x +2)<f(3x), 2 得 0<x +2<3x,所以 x∈(1,2).

x

+2 ln 2>0,所以 f(x)在(0,+

x

填空题

若直线 与曲线 直线 在点

满足下列两个条件: 处与曲线 相切; 曲线 在 附近位于直线 的两侧,则称直

线 在点 处“切过”曲线 . 下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线 ②直线 ③直线 ④直线 ⑤直线 在点 在点 在点 在点 在点 处“切过”曲线 处“切过”曲线 处“切过”曲线 处“切过”曲线 : : : : :

处“切过”曲线

【答案】①③④

【解析】 试题分析:由题意,① 切线的两侧,满足条件;② 上在 处的切线方程为 上在 ,曲线 在 附近位于 ,曲线 在 ,

处的切线方程为 上在

附近位于切线的同侧,不满足条件;③ 曲线 在 附近位于切线的两侧,满足条件;④ 在

处的切线方程为 上在

处的切线方程为 上在 处的切线

,曲线 方程为

附近位于切线的两侧,满足条件;⑤ 在

,曲线

附近位于切线的同侧,不满足条件.故选①③④.如下图:

考点:1.函数的切线方程;2.对定义的理解.

解答题

设 ,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,求 f(-5)+ f(-4)+?+f(0)+?+f(5)+f(6)的值.

见解析

解:∵









. 设 S=f(-5)+f(-4)+?+f(6), 则 S=f(6)+f(5)+?+f(-5),









解答题

如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米. 某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y= kx- (1+k )x (k>0)表本的曲线上, 其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3. 2 千米,试问它的横坐 标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
2 2

见解析.

(1)在 y= kx-

(1 +k )x (k>0)中,令 y=0,得 kx -

2

2

(1 +k )x =0.

2

2

由实际意义和题设条件知 x>0,k >0.

∴x=

=



= 10,当且仅当 k = 1 时取等号.(

≥2k· =2)

∴炮的最大射程是 10 千米.

(2)∵ a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k >0,使 kx即关于 k 的方程 a k -20ak + a +64=0 有正根. 由 ? = ( -20a) -4a (a + 64)≥0 得 a≤6.
2 2 2 2 2 2

(1 +k )a =3.2 成立,

2

2

此时, ∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标.

(不考虑另一根).

解答题

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速 度ν (单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度ν 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数ν (x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小 时)f(x)= x·ν (x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时)

(1)ν (x) = ;(2)当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可 以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

(1)由题意:当 0≤x≤20 时,ν (x) =60;当 20≤x≤ 200 时,设 ν (x) =ax + b, 显然ν (x)= ax + b 在[20,200 ]是减函数,由已知得

解得 故函数ν (x) 的表达式为

ν (x) = (2)依题意并由(1)可得

f(x) = f(x)在[20,200]上是连续函数,当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值
为 60×20 =1 200;

当 20≤x≤200 时,f(x)= x=100 时,等号成立.

x(200 -x) =-

( x-100) +

2



.当且仅当

所以,当 x = 100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值

.

综上,当 x = 100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333,即当车流密 度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时.

解答题

对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为函数 f(x)的不动点,已知函 2 数 f(x)=ax +(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当 a=1,b=-2 时,求函数 f(x)的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有一个不动点,求 a 的值。

(1) f(x) 的不动点为-1 或 3; (2) a 的值为 1. 抓住函数 f(x)的不动点概念列出方程,即可解决问题(1);利用方程恒有一个实数解的 条件可解决问题(2)。 (1)依题意得 x0 - x0-3= x0, ∴x0 - 2x0-3=x0. ∴x0=-1 或 x0=3. ∴函数 f(x) 的不动点为-1 或 3. (2)由函数 f(x)恒有一个不动点,得
2 2

ax2+(b+1)x+b-1= x,∴ax2+bx+b-1=0,
∴Δ =b -4a(b-1)=0(a≠0). ∵b -4ab+4a=0 恒成立, ∴Δ =(-4a) -4×4a=0. ∴a(a-1)=0. ∴a=0 或 a=1. 故 a 的值为 1. 【点评】本题中的新情境——不动点,它的实质就是方程 f(x)=x 的根。
2 2 2

解答题

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑 物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能 源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:

,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热 层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

见解析

(1)设隔热层厚度为 xcm,由题意,每年能源消耗费用为



再由 C(0)=8,得 k=40,因此 而建造费用为 C1(x)=6x,



所以可得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为



(2)

,令 f′(x)=0,即

,解得 x=5 或

(舍去).

当 0<x<5 时,f′(x)<0;当 5<x<10 时,f′(x)>0.故 x=5 是 f(x)的最小值点,对

应的最小值为



故当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.

解答题

已知 f(x)是定义在[-1,1)上的奇函数,且 f(1)=1,若 m、n∈[-1,1],m+n≠0 时 . (1)用定义证明 f(x)在[-1,1]上是增函数;

(2)解不等式:
2



(3)若 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取恒范 围.

(2) (3){t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2}

(1)证明:任取 x1<x2,且 x1,x2∈[-1,1],

则 ∵-1≤x1<x2≤1,

∴x1+(-x2)≠0,由已知

,又 x1-x2<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在[-1,1)上为增函数. (2)解:∵f(x)在[-1,1)上为增函数,



解得:



(3)解:由(1)可知 f(x)在[-1,1)上为增函数,且 f(1)=1, 故对 x∈[-1,1],恒有 f(x)≤1, 所以要使 f(x)≤t -2at+1 对所有 x∈[-1,1],a∈[-1,1]恒成立,即要 t -2at+1≥ 1 成立, 故 t -2at≥0,记 g(a)=t -2at,对 a∈[-1,1],有 g(a)≥0, 只需 g(a)在[-1,1)上的最小值大于等于 0,g(-1)≥0,g(1)≥0, 解得,t≤-2 或 t=0 或 t≥2. ∴t 的取值范围是:{t|t≤-2 或 t=0 或 t≥2}.
2 2 2 2

解答题

已知函数 (1)若直线 (2)设 与 ,讨论曲线

. 的反函数的图象相切,求实数 k 的值; 与曲线 公共点的个数;

(3)设

,比较



的大小,并说明理由.

(1)

(2)见解析;

(3)

(1) 设直线

的反函数为 与

. 的图象在 处相切,则

,解得



(2)曲线



的公共点个数等于曲线

与 y=m 的公共点个数.

令 当 当

,则 时, 时, , ,

,∴



在(0,2)上单调递减; 在(2,+∞)上单调递增,



在(0,+∞)上的最小值为





时,曲线

与 y=m 无公共点;



,曲线

与 y=m 恰有???个公共点;



时,在区间(0,2)内存在 ,使得 .

,使得

,在(2,+∞)内存在



的单调性知,曲线

与 y=m 在(0,+∞)上恰有两个公共点.

综上所述,当 x>0 时,



,曲线



没有公共点;



,曲线



有一个公共点;



,曲线



有两个公共点.

(3)解法一:可以证明

.事实上,

.(*)









(当且仅当 x=0 时等号成立),

∴ ∴ 令

在[0,+∞)上单调递增, 时, .

,即得(*)式,结论得证.

解法二:

, 设函数 则 令 ∴ ,则 单调递增, ,∴ 单调递增. , (当且仅当 x=0 时等号成立), ,

∴当 x>0 时, 当 x>0 时,u(x)>u(0)=0. 令 ,得







因此,



解答题

已知函数 ⑴求实数 的取值范围 ⑵当 为

在 ;

上是增函数.

中最小值时,定义数列

满足: 与 的大小.

,且



用数学归纳法证明

,并判断

【答案】(1)

,(2)

.

【解析】 试题分析:(1)本小题即为 在 上恒成立,利用分离变量完成此题; ,对于判断 与 的大小

(2)用数学归纳法证明时,要注意用到归纳假设 可用求差比较法完成. 试题解析:⑴ ⑵用数学归纳法证明: (ⅰ) (ⅱ)假设 时,由题设 时, 即 . ; ;则当 时, 在

恒成立,



,由⑴知:



上是增函数,又

,所以 合(ⅰ)(ⅱ)得:对任意 , ,

,综

,因为 ,即 . 考点:恒成立问题(分离变量法),数学归纳法,化归思想.

,所以

解答题

已知函数 ⑴当 ⑵当 时,函数

,函数 的图象与函数

. 的图象有公共点,求实数 的最大值; 的图象的公共点的个数; 的取值范围;若不

时,试判断函数

的图象与函数

⑶函数 的图象能否恒在函数 能,请说明理由.

的上方?若能,求出

【答案】(1) 的最大值为

,(2)

时,无公共点,

时,有一个公共点, 函数 的图象恒在函数

时,有两个公共点;(3)当 的图象的上方.





【解析】 试题分析:(1)当 时,由图形可知一次函数 与对数函数 相切时, 取最 大值,可以用导数的几何意义完成;(2)要研究两函数的公共点个数,由函数

的定义域可知只需考虑

情况,当

时,令





则原命题等价于研究直线

与函数

的图象的公共点的个数,因此利用导数研

究函数

图象变化情况,易得结论;(3)把问题转化为: 取值情况的讨论.





恒成立问题,要注意对 试题解析:⑴

,由一次函数与对数函数图象可知两图象相切时 取最

大值,设切点横坐标为





,

即实数 的最大值为

,⑵

,即原题等价于

直线

与函数

的图象的公共点的个数,





递增且





递减且



时,无公共点, 有两个公共点;⑶函数 时恒成立,① 时 时 的图象恒在函数 图象开口向下,即 ,

时,有一个公共点, 的上方;即 在 时 在

时,

时不可能恒成立,② 恒成立, 时

,由⑴可得

不成立,③ 值,故 则

时,若

则 则

,由⑵可得 ,故 恒成立,综上,

无最小 恒成立,若 或

不可能恒成立,若 ,故

时,函数 的图象恒在函数 的图象的上方. 考点:导数的几何意义,用导数分析函数的单调性,最值,恒成立问题,渗透数形结合思 想,分类讨论的数学思想

解答题

已知函数 ⑴若 ⑵设 ,且函数



为实数, ,求

), 的表达式; .



的值域为 ,且函数

为偶函数,求证:

【答案】(1)

,(2)证明略.

【解析】 试题分析:(1)由于 数 的表达式与 有关,而确定 的表达式只需求出待定系 为偶函数可 的表达式即可判

,因此只要根据题目条件联立关于 可不妨假设

的两个关系即可;(2)由 ,则 ,代入

先确定 ,而



的符号. ,所以 ,因为 的值域为 ,所以

试题解析:⑴因为

,所以

,所以

,所以

; ⑵因为 是偶函数,所以 ,又 ,所以

,因为 ,此时

,不妨设

,则

,又 ,所以

,所以

; 考点:二次函数表达式的求解,分段函数求值问题,化归与转化的思想.

解答题

已知函数 (1)求 (2)若函数

(x∈R,且 x≠2). 的单调区间; 与函数 在 x∈[0,1]上有相同的值域,求 a 的值.

【答案】(1) (2) .

的单调递增区间为

;单调递减区间为



【解析】 试题分析:解题思路(1)分离参数转化从基本不等式求最值;(2)由(1)得出 的

值域,再利用一元二次函数的单调性求 值.规律总结:涉及分式求最值,往往利用分离 参数法,出现定值,以便运用基本不等式求解;求一元二次函数的值域要注意运用数形结

合思想.

试题解析:(1)





,由于

在 的单调递增区间为 上单调递减,∴其值域为 .

内单调递增,在 ;单调递减区间为 ,

内单调递 .

减,∴容易求得 (2)∵ 即 ∵ 在 时,

为最大值,∴最小值只能为





,则

;若

,则



综上得 . 考点:1.分离常数法;2.一元二次函数的值域.

解答题

对于函数

若存在



成立,则称



的不动点.已知

(1)当

时,求函数

的不动点; 恒有两个相异的不动点,求 的取值范围.

(2)若对任意实数 ,函数

【答案】(1)函数

的不动点为-1 和 3;(2)

.

【解析】 试题分析:(1)根据不动点的定义知 ,当 时求解该一元二次方程 有两个不等

的解即为所求的不动点;(2)首先将题意等价转化为方程

实根,即需其判别式大于 0 恒成立,即可求出 的取值范围. 试题解析:(1)当 时, ,

函数 (2)

的不动点为-1 和 3; 有两个不等实根,

转化为 有两个不等实根, 需有判别式大于 0 恒成立,即 , 的取值范围为 ; 考点:一元二次方程的解法;一元二次方程的恒成立.

解答题

某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究,发现一天中环境污染指数

与时刻 (时)的关系为



,其中 是与气象有

关的参数,且

,用每天

的最大值作为当天的污染指数,记作

.

(1)令 , ,求 的取值范围; (2)按规定,每天的污染指数不得超过 2,问目前市中心的污染指数是否超标?

【答案】(1) 的取值范围是

;(2)当

时,污染指数不超标;当

时,污染指数超标.

【解析】 试题分析:(1)从 的表达式可知,可以考虑利用基本不等式求 的取值范围,首先讨论

当当

时,

,而当

时:



当且仅当

,即

时取等号,而显然

,因此 的取值范围是



(2)根据条件结合(1)分析可知,可将污染指数转化为与 有关的函数

,利用(1)中求得的 的取值范围,可知

,显然



上单调递减,在

上单调递

增,∴

的最大值只可能在



时取到,通过比较可知

,从而若市中心的污染指数未超标,则等价于

,解关于 的不等式组

,从而可以得到相应结论:当

时,污染指数不超标;当 试题解析:(1)当 时: ,

时,污染指数超标. 1分



时:



4分

当且仅当

,即

时取等号,

5 分 而显然



综上所述, 的取值范围是



6分

(2)记



,则



8分

显然



上单调递减,在

上单调递增,∴

的最大值只可能在



时取到,



,∵

,∴





,∴



11 分







13 分

故当 时,污染指数不超标;当 时,污染指数超标. 考点:1.基本不等式求函数值域;2.分段函数的综合运用.

14 分

解答题

对于函数

,若存在实数对( 是“( 是否为 “( 是“( 是“

),使得等式 )型函数”. )型函数”,并说明理由;

对定义域中的每一个

都成立,则称函数 (1) 判断函数 (2) 若函数 (3)已知函数

)型函数”,求出满足条件的一组实数对 型函数”,对应的实数对 ,若当 时,都有 为 ,当 ,试求

; 时, 的取值范围.

【答案】(1) 足 的实数对

不是“

型函数”,理由详见解析;(2) 的取值范围是 .

(满

均是正确答案);(3)

【解析】 试题分析:(1)根据条件中的描述,若 ,使得 对任意 “ 对于任意 是“ 型函数”,则需存在实数 , 不是

都成立,即

都成立,这显然是不可能的,因此假设不成立,即 是“ 型函数”需存在实数对

型函数”;(2)根据条件描述, ,使得 对于任意

都成立,即 即可,例如 ,即 ;

对任意

均成立,故所取的实数对只需满足等式 (3)根据 当 时, ,因此要使当 是“ 型函数”可知: ,故当 时,若有 时,都有

,而 时, 时,

,必有当 即等价于当

恒成立,因此可以得到不等式 在 上恒成立,若 :显然不等式在 上成立,若

:参变分离后可转化为转化为 立,而要使不等式(2)成立,

,显然,当

时,不等式(1)成

只需 可知 在

,通过构造函数令 上单调递增,故 . 是“( 对于任意

及 ,因此只需

, 即可从而得到实数

的取值范围是 试题解析:(1)假设

)型函数”,则由题意存在实数对 都成立,即 , 不是 ,即 即可,如

,使得 对任意 型函数; ,对任意

都成立,这显然是不可能的,因此假设不成立,即 (2)由题意,若 是“( )型函数”,则 只需满足

都成立,故所求实数对

等;

(3) 由题意得: 故由题意可得,要使当 恒成立即可,即 在

,即 时,都有

,而当 ,只需使当

时, 时,

,

上恒成立,若

:显然不等式在

上成立,若

:则可将不等式转化为

,因此只需上述不等式组在

上恒成立,

显然,当

时,不等式(1)成立,令

,则

,∴



上单调递增,∴ 的取值范围是 .

,故要使不等

式(2)恒成立,只需 即可,综上所述,所求 考点:1.新定义问题;2.恒成立问题的处理方法.

解答题

已知二次函数

(1)当 (2)对于任意的

时, ,总有

的最大值为

,求

的最小值;

,试求 的取值范围.

【答案】(1)

的最小值为

(2)

【解析】 试题分析:(1)由已知条件可知,当 解析式,进而得到 f(x)的最小值. 时 取得最大值,由此得到 的

(2)根据已知条件结合换元法把命题转化为:任给 立.由此入手,能够求出实数 a 的取值范围.

,不等式

,恒成

试题解析:(1)由



,故当



取得最大值

,即

,所以 值为 .

,所以

,所以

的最小

(2)对于任意的

,总有

,令



则命题转化为:任给 当 时, 满足

,不等式 ;





时,有

对于任意的

恒成立;





,所以



所以要使 恒成立,则有 考点:二次函数的性质;正弦函数的定义域和值域.

.

解答题

已知函数 f(x)=ax -2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围.

2

【答案】(1)

(2)(-∞,2]∪[6,+∞)

【解析】解:(1)f(x)=a(x-1) +2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,

2



,?

? 当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,



?

? (2)∵b<1,∴a=1,b=0, 2 即 f(x)=x -2x+2. 2 g(x)=x -2x+2-mx 2 =x -(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调,

∴ ≤2 或 ≥4. ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).

解答题

已知

,若 恒成立,求实数 的取值范围.

对于所有的

【答案】实数 的取值范围为





.

【解析】 试题分析: 大值都小于 等于 ;即 对于所有的 恒成立,即 的最

对于所有的

恒成立,



,只要

,即可解出实数 的取值范围.

容易得出 即 则 的最大值为 1, 对于所有的 对于所有的 即 对于所有的 恒成立, 恒成立,



恒成立

令 ,只要 ,∴ 考点:恒成立问题、等价转换思想.







解答题



( 是自然对数的底数, 的单调区间;

),且



(1)求实数 的值,并求函数

(2)设 立.求实数 的取值范围; 满足

,对任意

,恒有



(3)若正实数



,试证明: 满足

;并进一步判断:当正实数 ,且

是互不相等的实数时,不等式 是否仍然成立.

【答案】(1)参考解析;(2)

;(3)成立,参考解析

【解析】 试题分析:(1)由 ,即可求出 ( 是自然对数的底数, .再根据导函数的值即可求出单调区间. ),且

(2)对任意 数的单调性的问题即

,恒有 ,则 在

成立,通过去分母,整理成两个函 上单调递增,又

,再通过求导即可得到 m 的取值范围. (3)若正实数 满足 , ,则

.通过代入函数关系式消元再用基本不等式即可得到结 论.当 ,且 是互不相等的实数时,不等式 是否仍然成立.有数学归纳

法证明,当 n=k+1 时利用 造即可得到结论. (1)∵ 令 所以 得 的单调递增区间为 , ;令 ,故 . 得 ;单调递减区间为

转化为 k 项的形式.再通过构

1分 . . 3分 4分

(2)由 令函数 ,则 即 而 所以 . ,由

变形得: 在 在 上单调递增. 上恒成立. 6分 7分 (当且仅当 9分 得:



5分

时取“=”)

(3)证明:不妨设

其中 令

,故上式的符号由因式“ ,则函数 ,其中 .即 在 上单调递减,且 成立. . ,得 .所以

”的符号确定.

,故 .

从而有 该不等式能更进一步推广: 已知 ,

是互不相等的实数,若正实数

满足 .

,则 下面用数学归纳法加以证明: i)当 ii)假设当 时,由(2)证明可知上述不等式成立; 时,上述不等式成立.即有: .

则当 于是有:

时,由

得:



. 在该不等式的两边同时乘以正数 可得:

. 在此不等式的两边同时加上 又可得:

. 该不等式的左边再利用 i)的结论可得:

.整理即得: . 所以,当 时,上述不等式仍然成立.

综上,对 上述不等式都成立. 考点:1.函数单调性.2.构造新函数的思想.3.数学归纳法.

解答题

已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ (1)求函数 f(x)的解析式;

+2 的图象关于点 A(0,1)对称.

(2)若 g(x)=f(x)+

,g(x)在区间(0,2]上的值不小于 6,求实数 a 的取值范围.

【答案】(1)f(x)=x+ (2)[7,+∞)

【解析】解:(1)设 f(x)图象上任一点坐标为(x,y),∵点(x,y)关于点 A(0,1)的对称点 (-x,2-y)在 h(x)的图象上,

∴2-y=-x+

+2,∴y=x+

,即 f(x)=x+

.

(2)由题意 g(x)=x+ ,且 g(x)=x+ ≥6,x∈(0,2]. ∵x∈(0,2],∴a+1≥x(6-x), 2 2 即 a≥-x +6x-1.令 q(x)=-x +6x-1,x∈(0,2], 2 2 q(x)=-x +6x-1=-(x-3) +8,∴x∈(0,2]时, q(x)max=q(2)=7, 故 a 的取值范围为[7,+∞).

解答题

已知不等式 x -logax<0,当 x∈(0,

2

)时恒成立,求实数 a 的取值范围.

【答案】[

,1)

【解析】解:由 x -logax<0,得 x <logax. 2 设 f(x)=x ,g(x)=logax.

2

2

由题意知,当 x∈(0,

)时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)的图象的下方,

如图,可知



解得

≤a<1.

∴实数 a 的取值范围是[

,1).

解答题

已知

是定义在

上的奇函数,且

,若





恒成立. (1)判断 (2)若 围. 在 上是增函数还是减函数,并证明你的结论; 对所有 恒成立,求实数 的取值范

【答案】(1)见解析(2)

.

【解析】 试题分析:(1)先在定义域内取 ,然后用作差法判断出 , ,

根据单调性的定义即可得到结果.(2)转化不等式为

,再看成关于 a 的一次函数,满足 (1)增函数, 证明: 设

即可得到结果.

由题知:

(2) 由(1)知 要使 对所有 ,即 恒成立



只要



考点:单调性的判断方法;恒成立问题;

解答题

已知函数 . (1)求 (2)判断 (3)若

满足对任意的

恒有

,且当

时,

的值; 的单调性 ,解不等式 .

【答案】(1)

;(2)



单调递减;(3)

.

【解析】 试题分析:(1)采用附值:将 代入 即可出 ;

(2)由题中条件 单调性的定义,转为判断

时,

,先设 的符号即可,而

,进而得到

,由函数

,进而可得 ,这样即可得到 ,进而结合(2)中函数 在 的单调性;(3)先由 推出

的单调性,可将不等式

,进而求解不等式即可. (1)令 故 ,可得 ,即 3分

(2)任取

,且

,则

由于当

时,

,∴

5分

∴ ∴函数 (3)由 ∴ 函数 ∴不等式 ∴不等式的解集为 14 分. 考点:1.抽象函数;2.函数的单调性的证明;3.函数的单调性在求解不等式的应用;4.绝 对值不等式. 在区间 上是单调递减函数 在 上是单调递减函数 得 10 分 8分

解答题

有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的 a,b,c, ,z 的 26 个字母(不分 大小写),依次对应 1,2,3, ,26 这 26 个自然数,见如下表格: a 1 n 14 b 2 o 15 c 3 p 16 d 4 q 17 e 5 r 18 f 6 s 19 g 7 t 20 h 8 u 21 i 9 v 22 j 10 w 23 k 11 x 24 l 12 y 25 m 13 z 26

给出如下变换公式:

将明文转换成密文,如 (1)按上述规定,将明文

,即 变成 ;如 译成的密文是什么?

,即 变成 .

(2)按上述规定,若将某明文译成的密文是

,那么原来的明文是什么?

【答案】(1)明文 good 的密文为 dhho;(2)密文 shxc 的明文为 love.

【解析】 试题分析:(1)由题意先找出“good”中各个字母对应的数,判断出奇偶数,然后依据不 同的解析式进行翻译成数,然后根据数与字母的对应关系,将相应的数变成字母,这样就

得到了“good”的密文;(2)先逆变换公式 ,进 而找出“shxc”中各字母对应的数,由对应的数的范围选择不同的解析式进行翻译成数, 再由数与字母的对应关系,将数变成字母,这样就得到了“shxc”的明文.

(1)





所以明文 good 的密文为 dhho

5分

(2)逆变换公式为 则有 ;

; 故密文 shxc 的明文为 love 10 分 考点:1.函数的解析式;2.分段函数;3.函数的实际应用.

解答题



是定义在 ,

上的函数,且 的直线与 轴的交点为

,对任意 ,则称 为

,若经过点 关于函数 的平均

数,记为 为 当

,例如,当 的算术平均数. 时, 为

时,可得

,即

的几何平均数;

当 时, 为 的调和平均数 (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)



【答案】(1)

;(2)

.

【解析】 试题分析:设 ,则三点共线:

①依题意, 故可以选择

,则 .



,化简得



②依题意,

,则



,化简得



故可以选择 . 考点:两个数的几何平均数与调和平均数,难度中等.新定义型试题是高考的热点试题,考 生错误往往有二,其一为不能正确理解题意,将新问题转化为所熟悉的数学问题;其二, 不具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力.但纵观湖北近四年高考试题,新定义型试题是 必考试题,在专题复习中应加强训练.

解答题

已知函数 是函数 (1)求函数

(a≠0)满足 的一个零点.又 的解析式; 在 ,求 (

, >0).

为偶函数,且 x=-2

(2)若关于 x 的方程 (3)令

上有解,求实数 的单调区间.

的取值范围;

【答案】(1)函数

的解析式为

; (2)实数

的取值范围为



(3)当

时,

的单调递减区间为

,单调递增区间为





时,

的单调递减区间为





单调递增区间为





【解析】 试题分析:(1)由 的一个零点,得出关于 (2) 可求实数 在 的取值范围; 的解析式,再分 、 两种情况求出 得 ,又 为偶函数, 的解析式; 在 上有解, 是函数

的方程,即可求函数 上有解,等价于

(3)先求出 的单调区间. (1)由 ∵ 又∵ 为偶函数 ∴ 得

1分 即 ① ∴ 2分 ②

∵ 是函数 解①②得 a=1,b=-2

的一个零点 ∴

∴ (2) 在 上有解,即 在

4分 上有解.







上单调递增

∴实数 (3)

的取值范围为 即

8分

9分

①当

时,

的对称轴为

∵m>0 ∴

总成立





单调递减,在

上单调递增.

11 分

②当

时,

的对称轴为









单调递减

13 分

若 增. 15 分 综上,







单调递减,在

上单调递



时,

的单调递减区间为

,单调递增区间为





时,

的单调递减区间为



;单调递增区间为

和 . 考点:函数性质综合应用、分类讨论思想.

16 分

解答题

已知二次函数 小值为 ⑴求函数 ⑵设 ⑶设函数 范围. . 的解析式; ,若 在





的最

上是减函数,求实数

的取值范围;

,若此函数在定义域范围内不存在零点,求实数 的取值

【答案】(1)

;(2)

;(3)



【解析】 试题分析:(1)由 的值;(2)首先对 可设 ,再由 的最小值 求a

二次项系数分 间





三种情况讨论,然后确定对称轴

与给定区

端点的关系;(3)要满足题意,须有 后求 的最小值,令 围。 ⑴ 由题意设 ∵ ∴ ⑵ ∵ ①当 时, 的最小值为 . , 在[-1, 1]上是减函数,∴ , ∴ , ,且 , ∴ ,但 不属于

有解,且

无解.然

的值域,即可得实数 的取值范



符合题意.

② 当 ⅰ)当

时,对称轴方程为: ,即



时,抛物线开口向上,

由 ⅱ)当

, 得 , 即

, ∴



时,抛物线开口向下,

由 综上知,实数

,得 的取值范围为

, ∴ .

.

⑶法一:∵ 函数 有解,且 ∴ 又∵ ∴ ∴ 的最小值为 ,且 . ,令 ,得 , ,且 不属于 ,

在定义域内不存在零点,必须且只须有 无解. 的值域,

的值域为



∴ 的取值范围为 法二: 必有 因为函数 得 ,即 ,又

, ,

在定义域内不存在零点,



(否则函数定义域为空集,不是函数),

的取值范围是 。 考点:(1)待定系数法求函数的解析式;(2)二次项系数及二次函数对称轴与给定区间 引起的分类讨论;(3)构造函数研究函数的零点个数。

解答题

已知函数 (1)若 (2)设 ,求函数 在区间

( 为实常数). 的单调区间; 上的最小值为 ,求 的表达式.

【答案】(1)

的单调递减区间为





(2)

.

【解析】 试题分析:(1)根据绝对值的含义,取绝对值符号写出函数的分段形式; (2)根据二次函数的对称轴方程与区间位置,分类讨论求最小值 的解析式.

(1)



的单调递减区间为 (2)当 所以当 时, 时, , ;



; ,在 上单调递减,



时,



.

(ⅰ)当 ;

,即

时,此时



上单调递增,所以

时,

(ⅱ)当

,即

时,当

时,



(ⅲ)当

,即

时,此时



上单调递减,所以

时,

当 在

时,

, 时, .

,此时

上单调递减,所以

综上: 考点:二次函数的性质;函数的图象与图象变化.


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